专题10 三角形中三线与三边关系的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形三线（高线、中线、角平分线）与三边关系，构建“方法总结+解题技巧+典例变式”体系，从单一性质到综合应用，逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高线求解|1典例+3变式|面积法、直角三角形法|从面积关系到直角三角形性质，渗透数形结合| |中线求解|1典例+3变式|等积性质、倍长中线|从面积等分过渡到全等构造，强化转化思想| |角平分线求解|1典例+3变式|定义分角、内角和建方程|通过角的等量关系建立方程，培养运算能力| |网格作图|1典例+3变式|网格垂直/对称定位|结合网格特性，发展空间观念与几何直观| |三线综合|1典例+3变式|三线性质综合应用|整合高线垂直、中线等积、角平分线分角，提升综合解题能力| |三边关系化简|1典例+3变式|三边关系定号去绝对值|利用三角形边的不等关系，培养模型意识与符号运算能力|

专题10 三角形中三线与三边关系的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据三角形的高线求解 类型二、根据三角形的中线求解 类型三、根据三角形的角平分线求解 类型四、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 类型五、三角形中高线、中线、角平分线综合问题 类型六、利用三边关系去绝对值化简 压轴专练 类型一、根据三角形的高线求解 方法总结 1. 面积法：利用同一三角形面积相等，建立不同底边与其对应高的关系方程。 2. 直角三角形法：高线将原三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。 解题技巧 1. 面积相等优先：已知两边及高，求第三边上的高时，常用等面积法。 2. 注意钝角三角形：当高在三角形外部时，需结合图形分析线段关系，避免遗漏。 例1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则 ． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 类型二、根据三角形的中线求解 方法总结 1. 等积性质：中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 2. 倍长中线：遇到中线相关的线段或角度问题，常倍长中线构造全等三角形。 解题技巧 1. 面积法：已知中线长或底边长，可利用面积相等列方程求解。 2. 构造全等：倍长中线后，利用SAS证明三角形全等，转移边角关系。 例2．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为 ，若，则 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差 ． （2）若的面积为64，则的面积为 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【变式2-3】（25-26八年级上·广东韶关·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 类型三、根据三角形的角平分线求解 方法总结 1. 定义分角：角平分线将顶角分成两个相等的小角，设其中一个小角为a，用a表示相关角。 2. 内角和建方程：在包含平分角的三角形中，利用内角和定理建立关于a的方程求解。 解题技巧 1. 设元列式：设被平分的角为2a或直接设小角为x，便于方程简化。 2. 多次运用：若多条角平分线交织，可在多个三角形中分别应用内角和列方程。 例3．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 类型四、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 方法总结 1. 高线：利用网格的垂直关系，过顶点向对边所在格线作垂线，交点即垂足。 2. 中线：利用网格的对称性，取对边中点（常为格点或网格交点），连接顶点与中点。 解题技巧 1. 数格子定中点：对边两端点坐标已知时，中点坐标取平均值，在网格上定位。 2. 垂直辅助线：画高线时，若对边非水平或垂直，可先作水平或垂直线段再旋转，或用网格对角线垂直判定。 例4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【变式4-3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 类型五、三角形中高线、中线、角平分线综合问题 方法总结 1. 三线识别：明确题目中涉及的是高线、中线还是角平分线，分别运用其性质。 2. 综合应用：在同一三角形中，三线可能重合（等腰三角形），或相互交织，需结合全等、勾股定理、面积法等求解。 解题技巧 1. 性质对应：高线→垂直（勾股）、中线→等积或倍长、角平分线→等角或比例，各用其法。 2. 数形结合：在图形上标注已知条件，寻找包含这些线的三角形，建立方程或全等关系。 例5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）在中，平分，为延长线上一点，于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，试判断与的面积关系，并说明理由． 【变式5-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 类型六、利用三边关系去绝对值化简 方法总结 1. 三边关系定号：利用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的性质，判断绝对值内代数式的正负。 2. 去绝对值化简：根据正负结果，去掉绝对值符号（正数直接去，负数添负号），合并同类项化简。 解题技巧 1. 结合三角形边条件：将代数式与三边关系对比，快速确定其正负。 2. 分组处理：若有多组绝对值，按上述方法逐组化简，再整体合并。 例6．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知a，b，c为三角形三边的长，化简： ． 【变式6-1】（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 5．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 10．（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，将面积为S的的各边依次延长使得，顺次连接、、得到，再将的各边依次延长使得，顺次连接、、得到，则的面积是_________．（结果用含S的代数式表示） 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 12．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 17．（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 18．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 19．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形中三线与三边关系的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据三角形的高线求解 类型二、根据三角形的中线求解 类型三、根据三角形的角平分线求解 类型四、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 类型五、三角形中高线、中线、角平分线综合问题 类型六、利用三边关系去绝对值化简 压轴专练 类型一、根据三角形的高线求解 方法总结 1. 面积法：利用同一三角形面积相等，建立不同底边与其对应高的关系方程。 2. 直角三角形法：高线将原三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。 解题技巧 1. 面积相等优先：已知两边及高，求第三边上的高时，常用等面积法。 2. 注意钝角三角形：当高在三角形外部时，需结合图形分析线段关系，避免遗漏。 例1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点D，，于点F，则线段与的比值为 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作为桥求解是解的关键． 设，则，令,，根据求出，即可求解比值． 【详解】， 设，则， ， ， 令,， ，， ， ， ，， ， ， ； 故答案是． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 类型二、根据三角形的中线求解 方法总结 1. 等积性质：中线将三角形分成两个面积相等的三角形。 2. 倍长中线：遇到中线相关的线段或角度问题，常倍长中线构造全等三角形。 解题技巧 1. 面积法：已知中线长或底边长，可利用面积相等列方程求解。 2. 构造全等：倍长中线后，利用SAS证明三角形全等，转移边角关系。 例2．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为 ，若，则 ． 【答案】 30 32 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；32 【变式2-1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差 ． （2）若的面积为64，则的面积为 ． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 【变式2-3】（25-26八年级上·广东韶关·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2；（4）4 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义与性质、三角形中线的性质、三角形面积的计算以及等高三角形面积比与底边比的关系，熟练掌握三角形重心分中线成2:1的比例、中线分三角形面积为相等的两部分是解题的关键． （1）根据三角形重心的定义，即三条中线的交点，先作出边的中线，再与已知中线相交，交点即为重心． （2）利用重心的性质，即重心将三角形分成面积相等的三部分，以及中线分三角形面积为相等的两部分，通过面积的等量代换，得出与面积相等． （3）连接，利用重心分中线的比例关系，结合等高三角形面积比等于底边比，从而求出的值． （4）先根据重心分中线为的比例求出、的长度，结合算出的面积，再利用（2）的结论得到和的面积，进而求出的总面积，最后用总面积减去三个三角形的面积得到四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，作出边的中线，连接与，交点即为重心； （2）∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵点是的重心，的面积为， ∴是边上的中线， ∴， ∴ 由（2）知， ∵和同高 ∴； （4）∵点G是△ABC的重心， ∴BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， ∴， ， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵，， ∴． 类型三、根据三角形的角平分线求解 方法总结 1. 定义分角：角平分线将顶角分成两个相等的小角，设其中一个小角为a，用a表示相关角。 2. 内角和建方程：在包含平分角的三角形中，利用内角和定理建立关于a的方程求解。 解题技巧 1. 设元列式：设被平分的角为2a或直接设小角为x，便于方程简化。 2. 多次运用：若多条角平分线交织，可在多个三角形中分别应用内角和列方程。 例3．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 【答案】 45 4 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用角度关系推导角的度数，结合角直角三角形的特殊性质及勾股定理计算线段长度． （1）通过直角三角形角度关系、角平分线性质及等腰三角形性质，推导角度间的数量关系，得出的度数． （2）通过角平分线和直角三角形性质推导出，结合 判定 为等腰直角三角形，得 ；再利用 角所对直角边等于斜边一半，在 中得 ，在 中得 ，进而得 ． 【详解】（1）在中，，，则． ∵ 是的平分线， ∴． 由于为等腰三角形，，故． ，则． 在中，． 又因为与互补，所以． 故答案为：． （2）∵平分，， ∴，又， ∴，又得， ∴，又由（1）知 ∴， 结合知，是等腰直角三角形， ∴． 在中，，则， 在中，，则， 因，则． 故答案为： 类型四、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 方法总结 1. 高线：利用网格的垂直关系，过顶点向对边所在格线作垂线，交点即垂足。 2. 中线：利用网格的对称性，取对边中点（常为格点或网格交点），连接顶点与中点。 解题技巧 1. 数格子定中点：对边两端点坐标已知时，中点坐标取平均值，在网格上定位。 2. 垂直辅助线：画高线时，若对边非水平或垂直，可先作水平或垂直线段再旋转，或用网格对角线垂直判定。 例4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、画三角形的高 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【知识点】格点作图题、利用网格求三角形面积、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式4-3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）确定边的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：的面积． 类型五、三角形中高线、中线、角平分线综合问题 方法总结 1. 三线识别：明确题目中涉及的是高线、中线还是角平分线，分别运用其性质。 2. 综合应用：在同一三角形中，三线可能重合（等腰三角形），或相互交织，需结合全等、勾股定理、面积法等求解。 解题技巧 1. 性质对应：高线→垂直（勾股）、中线→等积或倍长、角平分线→等角或比例，各用其法。 2. 数形结合：在图形上标注已知条件，寻找包含这些线的三角形，建立方程或全等关系。 例5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）在中，平分，为延长线上一点，于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理及外角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出角的度数，根据角平分线的定义得出相等的角，最后利用三角形外角定理进行求解即可； （2）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，然后根据角平分线得出角的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ∵平分， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，试判断与的面积关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与的面积相等，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，中线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据已知条件得出的度数，再利用角平分线的定义得出，最后利用直角三角形两锐角互余得出的度数； （2）由三角形面积公式可得，，结合中线的定义将的面积表达式进行转化，再由得出，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：与的面积相等， 理由：由三角形面积公式可得，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 类型六、利用三边关系去绝对值化简 方法总结 1. 三边关系定号：利用三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的性质，判断绝对值内代数式的正负。 2. 去绝对值化简：根据正负结果，去掉绝对值符号（正数直接去，负数添负号），合并同类项化简。 解题技巧 1. 结合三角形边条件：将代数式与三边关系对比，快速确定其正负。 2. 分组处理：若有多组绝对值，按上述方法逐组化简，再整体合并。 例6．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知a，b，c为三角形三边的长，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系及绝对值的性质．先根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负性，再依据绝对值性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 2．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 5．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，连接，设的面积为，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为，点到的高为， ∵，， ∴，， ∵， ∴，则， ∵，设点D到的高为，点A到的高为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ， 解得，， ∴的面积为2． 二、填空题 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是的2倍． 故答案为：2． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，将平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______． 【答案】10 【分析】如图，连接，根据题意得到，，然后根据三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，连接， 由平移得， 因为点M是的中点， 所以， 因为 所以当点A在上时，取得最大值，即的长度， 因为 所以的最大值为10． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】5 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：5 10．（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，将面积为S的的各边依次延长使得，顺次连接、、得到，再将的各边依次延长使得，顺次连接、、得到，则的面积是_________．（结果用含S的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积． 连接，，先求出，再求出，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵的面积为S，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理得， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系． （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定三角形的另一边，进而求出周长． 【详解】（1）解：∵两边为和， ∴， 解得； （2）解：∵，a为小于8的偶数， 当时，该三角形周长为． 12．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高、全等三角形的性质和判定、无刻度直尺作图、网格中三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义解题即可； （2）通过构造全等三角形解题； （3）通过割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，由网格知点是线段的中点， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （3）解：． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即①， 又②， ①②得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 【答案】（1）16；（2）． 【分析】本题考查了三角形中线与三角形的面积关系，角平分线的定义． （1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可； （2）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 18．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 19．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【详解】（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $