专题09 三角形重难点题型汇编（七大高频题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形核心重难点，按7大题型系统汇编33道题，覆盖三边关系、中线、高、等腰三角形等关键知识点，梯度设计兼顾基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |三角形的三边关系|5|三边关系应用|结合木工选木条、池塘距离估计等情境| |三角形中线与面积问题|4|中线性质与面积计算|通过中点关系层层推导面积（如E是AD中线，F是CE中点）| |三角形中线与周长问题|4|中线与周长关系|利用中线转化边长求周长（如CD是AB中线，△ACD周长20）| |根据三角形的三边关系化简|5|三边关系与绝对值化简|结合方程（如a²-4a+4=0）求边长并化简| |与三角形的高有关的计算问题|5|高的作图与计算|动态问题（点P在边或延长线上）及等面积法应用| |等腰三角形的有关计算问题|5|等腰三角形边长与周长|分类讨论腰与底边（如两边4和9求第三边）| |与三角形的高、角平分线和中线的综合问题|5|三线综合应用|融合高和角平分线求角度（如AD是高，AE是角平分线）|

专题09 三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................3 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................5 【题型04：根据三角形的三边关系化简】..............................................................................8 【题型05：与三角形的高有关的计算问题】.......................................................................12 【题型06：等腰三角形的有关计算问题】.............................................................................16 【题型07：与三角形的高，角平分线和中线的综合问题】.......................................................19 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 2．一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 3．三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 【答案】8 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可求出第三边的最长值 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得：， 即 ， 第三边长为整数， 第三边的最长值为 4．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到的取值范围，进而根据各选项数值即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴，即， 只有选项D中不可能是，两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D． 5．已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是关键． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边，列不等式求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得， ， 解得，，只有选项D符合． 故选：D． 【题型02：三角形中线与面积问题】 6．如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 【答案】5 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 7．如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是________． 【答案】4 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由是中线的中点，的面积是1，得出，再由中线的意义即可得解． 【详解】解：∵是中线的中点，的面积是1， ∴， ∵为中线， ∴， 故答案为：． 8．如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴的面积． 故答案为：6． 9．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是_________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【题型03：三角形中线与周长问题】 10．如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．根据的周长为20，，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴的周长是． 故选：A． 11．如图，是的中线，，，的周长为10，则的周长为（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的周长为10， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴. ∴ ∵， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 12．如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长 的周长 求解，即可解题． 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长 的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 13．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 14．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 15．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 【答案】(1)等边三角形； (2)． 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定，整式的加减等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据绝对值和平方的非负性得到，，进而推出，即可判断的形状； （）根据三角形三边关系得到，，，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ∴根据非负数的性质，，， 解得，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴根据三角形的三边关系得，，，， ∴，，， 则 ． 16．已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长为，，，且，， ， 即． 故答案为：； （2）解：是的三边长， ∴，则， 原式 ． 17．已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 18．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 【题型05：与三角形的高有关的计算问题】 19．如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查作图-基本作图， 解题的关键是掌握三角形高线的定义和三角形的面积公式． （1）根据三角形高的定义作图即可得； （2） 依据求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ． 20．如图，在中，，，，，点D是上的点，于点E，且，连接． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1)24 (2)3 【分析】本题考查了三角形的面积公式，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 22．如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 23．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 【题型06：等腰三角形的有关计算问题】 24．已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论第三边长度，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：已知等腰三角形的两条边长分别为4和9 根据等腰三角形的定义，第三边可能为4或9 情况一：第三边长为4。此时三边长为4，4，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，不满足三角形三边关系，因此不能构成三角形 情况二：第三边长为9。此时三边长为4，9，9 根据三角形两边之和大于第三边的原则，检验：，，满足三角形三边关系，因此能构成三角形 综上所述，第三边的长只能是9． 故选：B． 25．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 【答案】D 【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 26．已知等腰三角形的一边长为3，一边长为7，则这个三角形的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系应用，根据等腰三角形有两边相等，需分情况讨论哪边为腰，并根据三角形三边关系进行验证，是否能够组成三角形． 【详解】解：①当腰为3，底为7时，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故不成立； ② 当腰为7，底为3时，则三边为7、7、3， ∵，，均成立， ∴周长为． 故选：B． 27．若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需分类讨论是腰长或底边长的情况，并验证三边是否满足关系，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一边长为， ∴当为腰长时，底边长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 当为底边长时，腰长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 综上所述：底边长为或； 故选：D； 28．如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（    ） A． B．4 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形的腰长为时；当等腰三角形的底边长为时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的底边长， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为时， 等腰三角形的周长为， 等腰三角形的腰长为， ， 能组成三角形； 综上所述，腰长为， 故选：． 【题型07：与三角形的高，角平分线和中线的综合问题】 29．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 30．如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数，即可求出的大小； （2）根据中线的定义得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 为高， ， ， ∴； （2）解：∵，为的中线 ∴， ∵ ∴ 即． 31．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 32．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解： 为的角平分线，， ． （2）解： 为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 33．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形重难点题型汇编 【题型01：三角形的三边关系】................................................................................................1 【题型02：三角形中线与面积问题】......................................................................................2 【题型03：三角形中线与周长问题】......................................................................................2 【题型04：根据三角形的三边关系化简】..............................................................................3 【题型05：与三角形的高有关的计算问题】......................................................................。..4 【题型06：等腰三角形的有关计算问题】.............................................................................6 【题型07：与三角形的高，角平分线和中线的综合问题】.......................................................6 【题型01：三角形的三边关系】 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 4．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 【题型02：三角形中线与面积问题】 6．如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 7．如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是________． 8．如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________． 9．如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是_________． 【题型03：三角形中线与周长问题】 10．如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 11．如图，是的中线，，，的周长为10，则的周长为（　　）    A．8 B．9 C．10 D．11 12．如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 13．如图，是的中线，的周长比的周长大，，则_____． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 14．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 15．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)在任意中，化简：． 16．已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 17．已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 18．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【题型05：与三角形的高有关的计算问题】 19．如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 20．如图，在中，，，，，点D是上的点，于点E，且，连接． (1)求； (2)求的长． 21．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 22．如图．在中，，点，分别在边，上，且，， ，垂足分别为．若，求的值． 23．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【题型06：等腰三角形的有关计算问题】 24．已知某等腰三角形的两条边长分别为4和9，则其第三边的长是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．13 25．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 26．已知等腰三角形的一边长为3，一边长为7，则这个三角形的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 27．若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（  ） A． B． C． D．或 28．如果一个等腰三角形的周长为，一边长为，那么腰长为（    ） A． B．4 C． D．3或 【题型07：与三角形的高，角平分线和中线的综合问题】 29．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 30．如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若，，，求边上的高的长． 31．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 32．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 33．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $