专题3.1～3.2 感受可能性和频率的稳定性重难点题型专训（5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

本讲义聚焦“感受可能性和频率的稳定性”，系统梳理随机事件分类、可能性大小比较、概率定义与计算、用频率估计概率、频率与概率关系五大知识点，构建从概念理解到计算应用的完整学习支架。 资料以7大题型+2大拓展训练为框架，结合沙棘树苗成活率、投壶游戏等实例，通过即时训练与经典例题，培养学生抽象能力（事件分类）、推理意识（概率计算）和数据观念（频率估计概率），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题3.1~3.2 感受可能性和频率的稳定性重难点题型专训 （5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 拓展训练一 事件分类与可能性判断综合题 拓展训练二 频率计算与概率估计综合应用 知识点一：随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江温州·开学考试）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任选三角形的两边，其差小于第三边 B．打开电视，正在播放动画片 C．a为实数， D．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合相关性质判断各选项即可． 【详解】解：∵根据三角形三边关系可知，任意三角形的两边之差一定小于第三边，该事件一定发生， ∴A是必然事件，符合题意． ∵打开电视播放内容不确定，有可能是动画片也有可能是其他节目， ∴B是随机事件，不符合题意． ∵任意实数的绝对值都满足，一定不会发生， ∴C是不可能事件，不符合题意． ∵抛掷纸杯后，杯口可能朝上也可能朝下，结果不确定， ∴D是随机事件，不符合题意． 2．（25-26七年级下·福建泉州·课后练习）下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题主要考查了事件的性质判定，准确理解是解题的关键．先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，筛选出属于必然事件的序号． 【详解】解：根据事件的分类定义：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件. ①掷两次骰子，点数和为，存在点数和不为的情况，属于随机事件，不符合题意； ②守株待兔，兔子撞到树桩是偶然情况，属于随机事件，不符合题意 ③猴子捞月，月亮在水中的倒影无法被捞取，属于不可能事件，不符合题意； ④由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 故答案为：④． 知识点二：事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·重庆忠县·课后练习）若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 2．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 【答案】 黑 5 【分析】本题考查的是可能性的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 先求出摸出各种颜色的袜子的可能性，再比较出其大小；根据4种颜色的袜子，故至少要摸出5只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子，即可作答． 【详解】解：∵黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只， ∴从中任意摸出1只袜子，摸出黑色袜子的可能性， 摸出白色袜子的可能性， 摸出黄色袜子的可能性， 摸出红色袜子的可能性， ∵， ∴摸出黑色袜子的可能性比较大； 依题意，黑色袜子，白色袜子，黄色袜子和红色袜子，即有4种颜色的袜子， ∴至少摸出只袜子后，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 故答案为∶黑，5． 知识点三：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 【即时训练】 1．（2025·七年级下 江苏泰州）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：“马”移动一次能够到达的所有位置共有个，在虚线下方的有个， “马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了概率公式，解决本题的关键是理解题意，掌握概率公式． 知识点四： 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·北京丰台·课后练习）投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了模拟试验、由频率估计概率、近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键． 根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近， ∴投中的概率约为，结果保留到小数点后1位为． 故答案为：． 知识点五：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·课后练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【经典例题一 事件的分类】 【例1】（25-26七年级下·浙江金华·课后练习）下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A．某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B．13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D．这次数学考试乐乐能考满分 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的概念可得答案． 【详解】解：A、某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖，属于随机事件，不符合题意； B、 一年有12个月，13名学生中至少有两人生日在同一个月是必然发生的，属于必然事件，符合题意； C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目，属于随机事件，不符合题意； D、这次数学考试乐乐能考满分，属于随机事件，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·课后练习）请你以“盒中装有4只白球和5只黑球”为背景，举一个“不可能事件”的例子：_________． 【答案】在只装有4个白球和5个黑球的袋子里，摸出一个红球（答案不唯一） 【分析】本题考查的是随机事件，不可能事件，不可能事件是随机事件的特殊情况之一，指在相同条件下每次试验一定不发生的事件，从而可得答案. 【详解】解：事件：“盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球”是不可能事件， 故答案为：盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·湖南张家界·课后练习）下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件的定义，掌握确定事件是指必然事件和不可能事件的总称，是解题的关键．根据确定事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：同位角相等只有在两直线平行时成立，否则不一定，是随机事件，不是确定事件； 标准大气压下，水在零下会结冰，是必然事件，是确定事件； 三角形内角和恒为，不是，是不可能事件，是确定事件； 电影票座号可能是偶数或奇数，是随机事件，不是确定事件； 一个月最多天，在同一个月出生的个人中至少两人生日相同，是必然事件，是确定事件； 三条线段需满足三角形三边关系才能组成三角形，是随机事件，不是确定事件． 确定事件有，共个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆大渡口·课后练习）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件、必然事件、不确定事件的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》不是不可能事件，故选项不符合题意； B、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件，正确，故选项符合题意； C、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是不确定事件，故选项不符合题意； D、随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则不确定全市学生都没看过《哪吒2》，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键． 根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 【经典例题二 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的可能性，掌握随机事件的结果具有不确定性，可能出现多种情况是解题的关键． 掷一枚质地均匀的硬币，每次结果是随机的，正面向上的次数可在0到10之间任意取值，据此判断每个选项中说法的确定性或可能性是否正确． 【详解】解：A、每2次必有1次正面向上，掷硬币结果随机，可能连续反面，故错误，不符合题意； B、可能有5次正面向上，正面向上次数可在0到10之间任意取值，5次是其中一种可能，故正确，符合题意； C、必有5次正面向上，正面次数是随机的，不一定恰好为5次，故错误，不符合题意； D、不可能有10次正面向上，虽然概率低，但掷硬币结果是随机的，10次正面向上有发生的可能，故错误，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·课后练习）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是________.（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 【答案】②①③ ④ 【分析】本题考查了事件的可能性，在所有球中红球占的比例越高，摸到红球的可能性越大，由此可解． 【详解】解：①一共13个球，其中2个红球，摸到红球的可能性为； ②一共13个球，其中1个红球，摸到红球的可能性为； ③一共13个球，其中3个红球，摸到红球的可能性为； ④一共13个球，其中4个红球，摸到红球的可能性为； ， 因此摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是②①③④， 故答案为：②①③④． 1．（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·课后练习）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【答案】C 【分析】本题考查求概率，求出任意50人中有两个人生日相同的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为， 第3人与其余2人生日均不相同的概率为：， 第4人与其余3人生日均不相同的概率为：， 第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：， ∴（50人中至少有2人生日相同的概率）； ∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高； 故选C． 3．（2025·七年级下 北京丰台）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 4．（25-26七年级下·全国·课后练习）在古代某地，有一县令用抽“生死签”的方法决定犯人的生死，有一犯人与该县令有仇，县令为了报复他，偷偷在两张纸片上都写下了“死”字，聪明的犯人抽到一张后吞到肚子里，要求打开另一张，县令只好把剩下的另一张公布于众，并认定犯人吞下去的那张为“生”签，犯人因此死里逃生．请你用所学的知识分析犯人死里逃生的原因． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了条件概率和必然事件的知识，考查学生运用逆向思维和概率思想分析问题的能力，关键在于理解犯人利用了“一生一死”的公平规则假设来破解必死之局． 本题根据条件概率和必然事件的知识，进行分析作答，即可求解． 【详解】解：正常抽签规则下的概率：     正常抽签规则中，两张纸片应为1张“生”1张“死”，抽到任意一张的概率均为，若犯人抽到一张后，另一张为“死”，则可推断犯人抽到的是“生”，这里应用了条件概率：在剩余签为“死”的条件下，犯人抽到‘生’签的条件概率为1； 县令作弊使两签均为“死”，此时，犯人无论抽哪张均为“死”，但吞下后，剩余签必然为“死”，根据原规则（默认有1生1死），剩余签为“死”时，犯人抽到的应为“生”，这一逻辑迫使县令无法证明作弊，只能接受结果． 综上所述： 犯人的策略利用了人们对正常抽签规则（1生1死）的条件概率理解，虽然两签均为“死”，但展示剩余签为“死”后，根据常规逻辑，犯人抽到的应为“生”，县令因作弊破坏规则，无法反驳这一结论，因此犯人逃脱． 【经典例题三 求某事件的频率】 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【例2】（25-26七年级下·山东东营·课后练习）暑假将至，广饶县教育局向全县师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”和“沟”两字出现的频率为_____． 【答案】 【分析】根据“河”和“沟”两字出现的次数除以总的字的个数即可． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中河”和“沟”两字出现的次数为：4次， ∴“河”和“沟”两字出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键． 1．（23-24七年级下·青海果洛·课后练习）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·课后练习）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)选乙袋成功的机会大，理由见解析 (2)选甲袋成功的机会大，理由见解析 【分析】本题考查了频率计算公式，熟练掌握频率计算公式，并准确进行实数的大小比较是解答本题的关键． （1）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可； （2）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可． 【详解】（1）解：选乙袋成功的机会大，理由如下： 在甲袋中取出个红球的频率是， 在乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以选乙袋成功的机会大； （2）解：此说法不正确，理由如下： 因为从乙袋中取出个红球后，从乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以此时若想取出个红球，选甲袋成功的机会大． 【经典例题四 概率的意义理解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义逐一判断即可． 【详解】解：盲盒开出6种普通款的概率相同，开出隐藏款的概率为，所有抽取结果均为随机事件． 选项A：购买6个盲盒可能出现普通款重复的情况，无法保证集齐6种普通款，A错误； 选项B：购买7个盲盒可能出现重复的情况，无法保证集齐6种普通款，B错误； 选项C：是开出隐藏款的概率，购买100个盲盒是随机事件，并非必然会出现隐藏款，C错误； 选项D：共有6种普通款种隐藏款种不同玩偶，根据抽屉原理，将8个盲盒的结果归入7种类别中，，肯定会重复出现某款玩偶，D正确； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·天津河东·课后练习）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 【答案】C 【分析】本题考查了事件的概率，事件的分类，理解概率、事件分类的概念是解题的关键．根据概率、事件分类的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意； B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意； C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意； D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南三门峡·课后练习）下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据相应的概率判断出事件类型再进行解答即可． 【详解】解：A. “抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖，故此选项错误； B、小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是，故此选项错误； C、“任意画一个四边形，其内角和是”是确定事件，故原说法错误， D. “天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大，说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2023·七年级下 江苏泰州）某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率，某保险公司为乘客提供保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币．平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取__________元保险费才不亏本． 【答案】30 【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答． 【详解】解：每次约有200名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿60万人民币，共计12000万元， 一次飞行中飞机失事的概率为， 故赔偿的钱数为元， 故至少应该收取保险费每人元， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是概率在现实生活中的运用，部分数目=总体数目乘以相应概率． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 【经典例题五 关于频率与概率关系说法的正误】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·山西运城·课后练习）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 1．（23-24七年级下·广东潮州·课后练习）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 2．（25-26七年级下·河南三门峡·课后练习）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【点睛】本题考查求事件发生的概率，理解事件发生的概率的意义，会区分确定事件与随机事件，能根据所学概率知识对各个选项作出正确判断是解答的关键． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 【经典例题六 由频率估计概率】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·课后练习）石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率与频率的关系：当试验(移植树苗)次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近． 【详解】解：观察表格数据：随着移植数量从40增加到1000，成活率依次为，逐渐稳定在左右， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·课后练习）10名学生，每人做10次抛瓶盖的实验，实验数据如下表： 姓名 小王 小陈 小明 小红 小亮 小朵 小凡 小果 小凯 小梅 盖口向上的次数 6 4 6 7 7 8 9 7 5 8 根据表中数据，可以估计：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为________． 【答案】0.67 【分析】本题考查了用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键． 通过统计所有试验中盖口向上的次数，除以试验总次数即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：0.67． 1．（25-26七年级下·山西晋城·课后练习）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 2．（25-26七年级下·河北邢台·课后练习）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（    ） A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数 C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数 【答案】B 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动,即其概率P≈，计算四个选项的概率约为者即为正确答案． 【详解】解：A、牌面数字是2的倍数的概率为，故本选项不符合题意； B、牌面数字是3的倍数的概率是，故本选项符合题意； C、牌面数字是4的倍数的概率为，故本选项不符合题意； D、牌面数字是5的倍数的概率为0，故本选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟记频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·课后练习）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约______元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 4．（23-24七年级下·山东泰安·期中）综合实践 实践任务：测量不规则草地面积（下图阴影图形）    实践方案设计：在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率．分别求出四组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比，估计出石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可求解． 【详解】解：四组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比： 一组：； 二组：； 三组：； 四组：， 估计石子落在草地内的概率约为， 长方形的面积（平方米）， 草地的大体面积（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． 【经典例题七 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·课后练习）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是得到这张纸与圆的面积比；根据题干的数据计算出石子落在圆内的频数与落在纸上的频数的比值即可解答． 【详解】解：这张破纸面积大约为（）， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河北承德·课后练习）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意得：＝， 解得：x≈6， 经检验：x＝6是分式方程的解， 即红球有6个， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·课后练习）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是________． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 【拓展训练一 事件分类与可能性判断综合题】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（　　） A．买彩票中奖是必然事件 B．“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 C．“清明时节雨纷纷”是随机事件 D．若a是有理数，则“”是不可能事件 【答案】C 【分析】本题主要考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据必然事件、随机事件、不可能事件的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、买彩票中奖是随机事件，原说法不正确，不符合题意； B、“明天的降水概率为”，意味着明天可能下雨，是随机事件，原说法不正确，不符合题意； C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，正确，符合题意； D、若a是有理数，则“”是必然事件，原说法不正确，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【答案】(1)④⑥ (2)①③⑤ (3)②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 1．（2024·七年级下 湖北武汉）小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．只有说法①正确 B．只有说法①错误 C．说法①②都正确 D．说法①②都错误 【答案】D 【分析】本题考查的是可能性的大小及随机事件，根据可能性大小的定义解答即可，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于4是不可能事件，故①错误； ∵每个标号只有一个小球， ∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误， 故选：D． 2．（23-24七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·课后练习）在20以内的素数中，随机抽取其中的一个素数，则所抽取的素数是偶数的可能性大小是______． 【答案】 【分析】先确定素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2，根据定义计算即可． 【详解】∵20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19有8个，是偶数的只有一个2， ∴所抽取的素数是偶数的可能性大小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了素数即除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，可能性大小的计算，熟练掌握可能性大小的计算是解题的关键． 4．（25-26七年级下·北京通州·课后练习）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：可能性的大小=所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）由于转盘分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个，即可求解可能性大小； （3）画出黄色区域占了整个圆的即可． 【详解】（1）解：①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针不一定会落在红色区域，故原说法错误； ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，说法正确； ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数不一定为20，故原说法错误； 故答案为：②； （2）解：自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域，其中红色部分有2个， ∴随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小为； （3）解：转盘如图： ∵黄色区域占了整个圆的， ∴指针指向黄色区域的可能性大小是． 【拓展训练二 频率计算与概率估计综合应用】 【例1】（23-24七年级下·江西吉安·课后练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【例2】（25-26七年级下·全国·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__． 【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 1．（2023·七年级下 湖南长沙）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 2．（24-25七年级下·安徽六安·课后练习）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 3．（2023·七年级下 浙江杭州）下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 【答案】① 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 4．（23-24七年级下·河南平顶山·课后练习）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 1．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C．描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D．调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 【答案】B 【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》， ∴A选项错误； ∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件， ∴B选项正确； ∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图， ∴C选项错误； ∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查， ∴D选项错误． 2．（25-26七年级下·福建·课后练习）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 3．（25-26七年级下·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、概率的意义，逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：∵随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，打开电视播放《新闻联播》符合随机事件的定义，∴A说法正确． ∵概率为的事件只是发生的可能性较小，仍有可能在一次试验中发生， ∴“可能性是的事件在一次试验中一定不会发生”的说法错误，即B说法不正确． ∵抛掷一枚均匀硬币，共有两种等可能的结果， ∴正面朝上的概率为，C说法正确． ∵一年最多有366天， ∴367人中一定至少有2人同月同日生，该事件是必然事件，D说法正确． 综上，说法不正确的是B． 5．（23-24七年级下·江苏苏州·课后练习）关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 6．（2026·广东深圳·一模）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 【答案】A 【详解】解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53． 7．（2021·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 8．（25-26七年级下·云南昭通·课后练习）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、必然事件的定义及用样本估计总体的方法，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 9．（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 10．（24-25七年级下·河南郑州·课后练习）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 【答案】 随机 100 【分析】本题考查了事件的分类，可能性大小，根据事件的分类可知该事件为随机事件，再计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开即可． 【详解】解：王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是随机事件， 四位数字，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则百位上的数字即有可能是中的一个，有10种可能， 同样，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也有10种可能， 依此类推，要打开该锁有种可能， 在最差的情况下，即前99次试验都失败，则第100次必定成功， 故最多可能试验100次． 故答案为：随机；100． 12．（25-26七年级下·福建泉州·课后练习）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 13．（23-24七年级下·陕西榆林·月考）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为_____． 【答案】 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．（25-26七年级下·辽宁盘锦·课后练习）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为___________（用含m．n，的式子表示）． 【答案】 【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案． 【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次． ∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的， ∴铜钱的实际面积为（）， ∴铜钱的体积为（）， ∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）抛掷一枚普通正方体骰子． (1)写出这个试验中的一个随机事件； (2)写出这个试验中的一个必然事件； (3)写出这个试验中的一个不可能事件． 【答案】(1)点数是合数的面朝上（答案不唯一） (2)点数不大于的面朝上（答案不唯一） (3)点数大于的面朝上（答案不唯一） 【分析】本题主要考查事件的分类，根据正方体骰子上面的点数可知最大值为6，且可能是素数也可能是合数，结合事件分类即可写出符合条件得事件． 【详解】（1）解：根据正方体骰子的数可知，点数是合数的面朝上为随机事件， 故答案为：点数是合数的面朝上． （2）解：根据正方体骰子的数可知，点数不大于的面朝上为必然事件， 故答案为：点数不大于的面朝上． （3）解：根据正方体骰子的数可知，点数大于的面朝上为不可能事件， 故答案为：点数大于的面朝上． 17．（25-26七年级下·甘肃天水·课后练习）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，但第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数不一定为128，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）解：，， 根据表格信息可知，随着转动次数的增加，转到黄色区域的频率稳定在， 故． 18．（25-26七年级下·甘肃天水·课后练习）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 19．（25-26七年级下·江苏盐城·课后练习）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 20．（25-26七年级下·陕西西安·月考）不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 【答案】(1)，，，； (2)； (3)个 【分析】（1）根据“频率=出现红色的次数÷摸球次数”的公式，分别计算对应摸球次数下的红色球频率，精确到； （2）观察频率数据，随着试验次数增加，频率会稳定在某一常数附近，该常数即为摸出红球的概率； （3）用袋中总球数乘以估计的红球概率，即可得到红球的估计个数． 【详解】（1）解：根据频率计算公式“频率”，计算： 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 当摸球次数为次时，频率为； 故补充表格如下： 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 （2）解：观察表中频率数据，随着摸球次数的增加，出现红色的频率逐渐稳定在附近， ∴估计从袋中摸出一个球恰为红球的概率是； （3）解：∵袋中共有个小球，摸出红球的概率约为， ∴估计袋中红球的个数为(个)． 答：袋中约有红球个． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1~3.2 感受可能性和频率的稳定性重难点题型专训 （5个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 求某事件的频率 题型四 概率的意义理解 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 题型六 由频率估计概率 题型七 用频率估计概率的综合应用 拓展训练一 事件分类与可能性判断综合题 拓展训练二 频率计算与概率估计综合应用 知识点一：随机事件的概念 事件类型 定义 举例 确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针 不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂 随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼 【即时训练】 1．（25-26七年级下·浙江温州·开学考试）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任选三角形的两边，其差小于第三边 B．打开电视，正在播放动画片 C．a为实数， D．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 2．（25-26七年级下·福建泉州·课后练习）下列事件中，①掷两次骰子，点数和为；②守株待兔；③猴子捞月；④相似三角形对应高的比等于相似比；其中是必然事件的有_____ ．（填序号） 知识点二：事件发生的可能性大小 1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同． 2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）． 3. 随机事件的可能性大小比较的步骤 （1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； （2）计算：计算每一个要素的数量； （3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·重庆忠县·课后练习）若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 2．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）在一个不透明的箱子里有一些大小、形状、材质均相同的袜子，其中黑色袜子10只，白色袜子8只，黄色袜子和红色袜子各有5只．如果从中任意摸出1只袜子，摸到( )色袜子的可能性最大；至少要摸出( )只袜子，才能保证摸到有两只颜色相同的袜子． 知识点三：概率的定义及计算公式 1. 概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． 2. 概率的计算公式 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝． 【即时训练】 1．（2025·七年级下 江苏泰州）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在一棋盘中，“马”的位置在图中虚线的下方，“马”移动一次能够到达的所有位置已用“·”标记，则“马”随机移动一次，到达的位置在虚线下方的概率是 ． 知识点四： 用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京丰台·课后练习）投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为______（结果保留小数点后一位）． 知识点五：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 2．（25-26七年级下·浙江宁波·课后练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【经典例题一 事件的分类】 【例1】（25-26七年级下·浙江金华·课后练习）下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A．某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B．13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D．这次数学考试乐乐能考满分 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·课后练习）请你以“盒中装有4只白球和5只黑球”为背景，举一个“不可能事件”的例子：_________． 故答案为：盒中装有4个白球和5个黑球的袋子里，从盒中摸出一个红球（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·湖南张家界·课后练习）下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·重庆大渡口·课后练习）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列事件中是确定事件的是______（填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【经典例题二 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·课后练习）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是________.（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 1．（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 2．（24-25七年级下·河南郑州·课后练习）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 3．（2025·七年级下 北京丰台）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 4．（25-26七年级下·全国·课后练习）在古代某地，有一县令用抽“生死签”的方法决定犯人的生死，有一犯人与该县令有仇，县令为了报复他，偷偷在两张纸片上都写下了“死”字，聪明的犯人抽到一张后吞到肚子里，要求打开另一张，县令只好把剩下的另一张公布于众，并认定犯人吞下去的那张为“生”签，犯人因此死里逃生．请你用所学的知识分析犯人死里逃生的原因． 【经典例题三 求某事件的频率】 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【例2】（25-26七年级下·山东东营·课后练习）暑假将至，广饶县教育局向全县师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”和“沟”两字出现的频率为_____． 1．（23-24七年级下·青海果洛·课后练习）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·课后练习）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【经典例题四 概率的意义理解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【例2】（25-26七年级下·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 1．（25-26七年级下·天津河东·课后练习）下列说法，正确的是（    ） A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件 B．概率很大的事件一定会发生 C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖 2．（24-25七年级下·河南三门峡·课后练习）下列说法正确的是（   ） A．“抽奖活动中得奖的概率是”，表示买100张奖券一定有一张能得奖 B．小明抛掷一枚质地均匀的骰子10次，出现1点的次数为3次，则小明第11次抛掷骰子，出现1点的概率是 C．“任意画一个四边形，其内角和是”是随机事件 D．“天气预报明天下雪的概率是”，表示明天下雪的可能性很大 3．（2023·七年级下 江苏泰州）某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率，某保险公司为乘客提供保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币．平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取__________元保险费才不亏本． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【经典例题五 关于频率与概率关系说法的正误】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【例2】（25-26七年级下·山西运城·课后练习）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 1．（23-24七年级下·广东潮州·课后练习）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 2．（25-26七年级下·河南三门峡·课后练习）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【经典例题六 由频率估计概率】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·课后练习）石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·课后练习）10名学生，每人做10次抛瓶盖的实验，实验数据如下表： 姓名 小王 小陈 小明 小红 小亮 小朵 小凡 小果 小凯 小梅 盖口向上的次数 6 4 6 7 7 8 9 7 5 8 根据表中数据，可以估计：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为________． 1．（25-26七年级下·山西晋城·课后练习）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 2．（25-26七年级下·河北邢台·课后练习）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（    ） A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数 C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数 3．（23-24七年级下·湖南湘西·课后练习）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约______元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 4．（23-24七年级下·山东泰安·期中）综合实践 实践任务：测量不规则草地面积（下图阴影图形）    实践方案设计：在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程． 【经典例题七 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·课后练习）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）小华想估测一张不规则破纸的面积，他把它放在一个半径为1米的圆圈内，随后他向圈内抛小石子，掷了100粒石子在圈内，其中有30粒石子在这张纸上，那么这张破纸面积大约为________． 1．（25-26七年级下·河北承德·课后练习）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（23-24七年级下·山西吕梁·课后练习）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是________． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【拓展训练一 事件分类与可能性判断综合题】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（　　） A．买彩票中奖是必然事件 B．“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 C．“清明时节雨纷纷”是随机事件 D．若a是有理数，则“”是不可能事件 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 1．（2024·七年级下 湖北武汉）小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．只有说法①正确 B．只有说法①错误 C．说法①②都正确 D．说法①②都错误 2．（23-24七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 3．（25-26七年级下·上海浦东新·课后练习）在20以内的素数中，随机抽取其中的一个素数，则所抽取的素数是偶数的可能性大小是______． 4．（25-26七年级下·北京通州·课后练习）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 100 400 500 1000 1500 2000 指针转到红色区域的次数 37 126 160 331 498 667 (1)下列说法正确的是______（填写序号）． ①从表格中数据可知，转动转盘100次已经有37次指针落在红色区域．那么转盘转动第101次，指针一定不会落在红色区域． ②转动转盘10次，指针指向蓝色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数． ③转动转盘60次，指针指向蓝色区域的次数一定为20． (2)求随机转动转盘“指针指向红色区域”的可能性大小． (3)请你用红、黄、绿三种颜色设计一个转盘，使得转动后指针指向黄色区域的可能性大小是．画出你设计的转盘（画一种情况即可）． 【拓展训练二 频率计算与概率估计综合应用】 【例1】（23-24七年级下·江西吉安·课后练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【例2】（25-26七年级下·全国·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__． 1．（2023·七年级下 湖南长沙）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 2．（24-25七年级下·安徽六安·课后练习）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 3．（2023·七年级下 浙江杭州）下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 4．（23-24七年级下·河南平顶山·课后练习）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 1．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C．描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D．调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 2．（25-26七年级下·福建·课后练习）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 3．（25-26七年级下·贵州黔西南·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 5．（23-24七年级下·江苏苏州·课后练习）关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．（2026·广东深圳·一模）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（    ）．（精确到0.01） A．0.53 B．0.52 C．0.51 D．0.50 7．（2021·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 8．（25-26七年级下·云南昭通·课后练习）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 9．（25-26七年级下·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 10．（24-25七年级下·河南郑州·课后练习）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是___________事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试___________次，才能正确输入密码． 12．（25-26七年级下·福建泉州·课后练习）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 13．（23-24七年级下·陕西榆林·月考）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为_____． 14．（25-26七年级下·辽宁盘锦·课后练习）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为___________（用含m．n，的式子表示）． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）抛掷一枚普通正方体骰子． (1)写出这个试验中的一个随机事件； (2)写出这个试验中的一个必然事件； (3)写出这个试验中的一个不可能事件． 17．（25-26七年级下·甘肃天水·课后练习）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 18．（25-26七年级下·甘肃天水·课后练习）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 19．（25-26七年级下·江苏盐城·课后练习）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 20．（25-26七年级下·陕西西安·月考）不透明的袋中装有个大小相同，红、白两种颜色的小球，现在每次从袋中摸1个，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据． 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 (1)将数据表补充完整．(精确到) (2)根据表中数据可知，从袋中摸出一个球，恰为红球的概率是多少？(精确到 (3)由以上结果估计袋中约有红球多少个？ 摸球次数 出现红色的频数 出现红色的频率 学科网（北京）股份有限公司 $