专题4.2 全等三角形重难点题型专训（3个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题4.2 全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 全等三角形的概念 题型二 全等三角形的性质 拓展训练一 全等三角形性质的综合应用 知识点一：全等图形和全等三角形 1. 能够完全重合的两个图形称为全等图形． 2. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 3. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 知识点二：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 2．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 知识点三：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【经典例题一 全等三角形的概念】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【经典例题二 全等三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，若，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．2.5 【例2】（25-26七年级下·山西长治·期中）如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等． 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 2．（25-26七年级下·河北沧州·月考）如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值． 嘉嘉的答案是， 淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”． 下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是 C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值 3．（25-26七年级下·山东日照·月考）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【拓展训练一 全等三角形性质的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 1．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为_________； ②若，则_________； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，，求一块三角板的面积． 1．（24-25七年级下·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·课后作业）如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 5．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 12．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 13．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为________________． 14．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 15．（2023七年级下·全国·专题练习）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是______． 16．（24-25七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 18．（25-26七年级下·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 19．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 全等三角形的概念 题型二 全等三角形的性质 拓展训练一 全等三角形性质的综合应用 知识点一：全等图形和全等三角形 1. 能够完全重合的两个图形称为全等图形． 2. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 3. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 知识点二：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25七年级下·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点三：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 【经典例题一 全等三角形的概念】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可． 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项． 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 4．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 【经典例题二 全等三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，若，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【例2】（25-26七年级下·山西长治·期中）如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是关键． 根据题意得到，结合全等三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，设运动时间为秒， ∴， ∵，是的中点， ∴， 当，时， ∵， ∴， ∴， 解得，； 当时， 又∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，，故此种情况不符合题意； 综上所述，时，与全等． 故答案为：3 ． 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 2．（25-26七年级下·河北沧州·月考）如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值． 嘉嘉的答案是， 淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”． 下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是 C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分为当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，， 则点的运动时间， ∵， ∴， 则， 当时，，， 则点的运动时间， 则， 综上所述：淇淇说得对，的另外一个值是， 故选： ． 3．（25-26七年级下·山东日照·月考）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】根据题意利用割补法，通过全等三角形将阴影部分面积转化为两个直角三角形面积之和，进而化简为，最后利用完全平方公式变形求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ∴，，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 【拓展训练一 全等三角形性质的综合应用】 【例1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为_________； ②若，则_________； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①；②13；（2）22 【分析】本题考查了根据完全平方公式变形求解，整体数学思想等知识． （1）①根据，得到，进而求出，进一步求出，即可求出； ②根据，得到，把变形为，整体代入即可求解； （2）由题意得，设，即可得到，进而得到，再求出，即可求出． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：13 （2）由题意得， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·课后作业）如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等先得到的长，再根据线段差求解即可． 【详解】，， ， ， ． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 【答案】2 【分析】由，，，可得当或时，与全等，解得：或（舍去）． 【详解】解：∵， ， ，， ∴当或时，与全等， 或， 解得：或， ， ， 即当秒时，与全等． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 11．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 12．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据题意可得，分别表示出的代数式，列出方程求解，即可求得t值． 【详解】解：点N从B到C的时间：，点N出发4秒后，点M开始运动，则点M到点C的时间为：， 则时，两点停止运动， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等， ∴只存在， ∴， 根据题意，得，， ∴，， ∴， 解得（符合题意）． 则当秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为________________． 【答案】21 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 连接，，过点E作，交的延长线于点G，证明，，，即可． 【详解】解：连接，， ∵D是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：21． 14．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ∴ ， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴ ，解得：； 当时，，， ∴ ，解得：； 综上所述，点Q运动速度为 或． 故答案为： 或． 15．（2023七年级下·全国·专题练习）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是______． 【答案】 【分析】先连接、、，找到全等三角形，进而得到，理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解． 【详解】 解：如图1，连接、、． ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（HL）， ∴ ∴ ∴， ∵G、I分别为、中点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形，是等边三角形， ∴， ∴， 同理， 即， ∵等边三角形的边长是a， ∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 如图2，过F作于Z，过E作于N， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵，（已证）， ∴， ∴， 同理， ∴，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是； 同理第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是； 第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是； … 第n个正六边形的边长是， ∴第七个正六边形的边长是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是图形变化规律以及结合全等三角形，等边三角形的知识内容，关键在于通过证明全等三角形的基础上去研究边的变化规律． 16．（24-25七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等图形的概念，网格线作图，角平分线的性质． （1）利用网格线的特点，取矩形各边中点，分别连接对边中点即可； （2）同理（1）取直角三角形各边中点，分别将连接直角边中与斜边中点连接，再连接直角顶点与斜边中点即可； （3）利用网格线的特点，取格点D，连接交于点P，由网格线的性质得到为的角平分线，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示为所求：    （2）解：如图2所示为所求：    （3）解：如图3，点P所示为所求：    18．（25-26七年级下·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）由得到，然后列方程求解即可； （4）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；； （2）解：当时，P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 19．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【答案】2或10 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质得到，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，． 分下列两种情况讨论： ①当点在射线上时． 由题意可知，， 所以， 所以； ②当点在的反向延长线上时，如图． 由题意可知，， 所以，所以． 综上所述，当时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $