第四章 三角形重难点检测卷-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）
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摘要：
**基本信息**
本卷为七年级三角形单元重难点检测卷，覆盖全章知识，通过基础辨析、动态探究及综合应用，梯度化考查数学抽象、几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|选择题|10/30|三角形概念、全等判定、中线性质|如第2题通过4个表述辨析分类与性质，培养推理意识|
|填空题|8/24|等腰三角形、重心、概率与三角形|如第14题结合5条线段构成钝角三角形概率，体现数学语言表达|
|解答题|10/66|动点问题、全等证明、综合探究|如第27题三问递进，从基础证明到中点性质探究，发展创新意识|
内容正文：
第四章 三角形重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共28题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：三角形全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】B
【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）现有以下表述：
①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点；
③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查三角形，三角形的分类等知识．
①按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；②根据三角形的中线，高的性质判断即可；③四点共线，不能构成三角形；④三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形，由此判断即可．
【详解】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形，故原说法错误；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高所在直线也一定交于一点，故原说法错误；
③平面上有四个点A、B、C、D，当四点共线时，不能组成三角形，故原说法错误；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种，故原说法正确；
理由如下：
三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形．
因为，且满足；且满足；且满足；且满足．
故选：A．
3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，根据全等三角形的性质可得的度数，进一步即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵于点A，于点B，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（25-26七年级下·广东广州·期末）现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键．
需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可．
【详解】解：设另两边为a、，需满足且，
∵a、b从1至6中取不同整数，
∴满足的有：，
其中的只有：差，差．
∴共有2个三角形：和．
故选：A．
5．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用已知条件对式子变形，结合边长为正和三角形三边关系（两边之和大于第三边）得到的取值范围，逐一对比各选项用排除法选出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
∵、是正数，
∴，即，
对于选项A，，不符合，排除选项A；
由，
将，代入得，
，即，
对于选项D，，不符合，排除选项D；
∵，
∴，
∵，，
∴，即，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，，，
对于选项B，，不符合排除选项B；
综上，答案选C．
6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（ ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用．设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，，
解得：，
；
②，，
则，，
解得：，，
故选：D．
7．（2023七年级下·浙江宁波）如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是进行面积之间的转化．
先证明，则，证明，则，那么，故；连接， 同理可证明：，则，， 那么点共线，再证明，则，那么；；．
【详解】解：∵四边形，是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
连接，
同理可证明：，
∴，，
∴点共线，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4.8 B．7 C． D．2.4
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长，
∵在中，，，，，
∴，
∴，
解得：．
故选：A．
9．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．
延长至点，使，连接，证明，得出，然后利用三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A．
10．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④平分．
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接根据已知条件可以证明，延长到点使连接可证明，进而证明，据此判断各项即可．
【详解】解；如图连接
∵，
∴°，
在与中，
，
∴，
∴故结论①正确；
根据已知条件不能推出，故结论②不正确；
如图2，延长到点使连接
∵，
∴°，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
故结论③正确；
∵，
∴，
即平分
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①③④，共3个，
故选B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（25-26七年级下·北京·月考）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°．
【答案】31
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论．
【详解】解：连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：31．
12．（25-26七年级下·上海·月考）已知等边三角形的边长为6，该三角形的重心到其中一个顶点的距离为______．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的重心，由等边三角形的性质推出，由勾股定理求出，由三角形重心的性质求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，等边中，是中线，边长是6，G是的重心，
是等边三角形，是中线，
，
，
，
是的重心，
，
三角形的重心到其中一个顶点的距离为
故答案为：．
13．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论
①；②；
③；④．
其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）．
【答案】①③④
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项不正确；
即,
∴，本选项正确；
，本此选项正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
14．（25-26七年级下·湖南长沙）从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是______．
【答案】
【分析】本题考查等可能事件概率的计算，涉及三角形三边的关系，关键是分析出可以构成钝角三角形的情况；列举所有可能的三条线段组合，找到能构成钝角三角形的组合，最后求出概率即可．
【详解】解：∵从5条线段中任取3条，共有种可能组合：，，，，，，，，，，
其中能构成三角形的组合有，，，
∵由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，
∴当三角形中较小的两边的平方和小于第三边的平方时，三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，构成的是钝角三角形，
∴能构成钝角三角形的概率是．
故答案为：．
15．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形面积，掌握等长的长方形面积比等于宽的比是解题的关键．
设长方形面积为S，则阴影部分面积为，由Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，可得 ，根据Ⅰ的面积为7，知 ，然后求解即可．
【详解】解：如图：
设长方形面积为S，则阴影部分面积为，
∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，
∴ ，
∵Ⅰ的面积为7，
∴，解得：，
∴，即阴影部分面积为．
故答案为．
16．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等．
【答案】秒或5秒或6.5秒
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，分点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】解：由题意得，，，
则，
由轴对称的性质可知直线l垂直平分，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴当时，与全等，
当点N沿F→C路径运动时，，
解得，（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，，
解得，，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当秒或5秒或6.5秒时，与全等．
故答案为：秒或5秒或6.5秒
17．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．
（1）若，，则的长为_____；
（2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______．
【答案】 4 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度．
（1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度；
（2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴；
如图，过点N作交直线l于点G，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
18．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号）
【答案】①③④
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
作，交于点H，，交延长线于点K，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
，
即，故③正确；
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（23-24七年级下·山东临沂·月考）已知：如图，在中，，垂足为，相交于点，且，．与有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定及直角三角形的性质，注意：直角三角形全等的判定定理有，，，，．全等三角形的对应边相等，对应角相等．求出，根据证，得出，求出，即可求出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案．
【详解】解：，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知一等腰三角形的周长为．
甲同学认为：“如果该等腰三角形其中一条边的长是，那么这样的等腰三角形会有个”．
乙同学认为：“如果该等腰三角形其中一条边的长是，那么这样的等腰三角形也有两个．
问题：
(1)以上说法正确的是________．
(2)请对其中一个同学的说法加以证明．
【答案】(1)甲
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）分别求出甲乙组成三角形的情况即可判断；
（2）分类讨论给出的边的情况求解即可．
【详解】（1）解：甲：当等腰三角形的腰长为时，则底边长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况成立；
当等腰三角形的底边长为时，则腰长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况成立；
综上，甲说法正确；
乙：当等腰三角形的腰长为时，则底边长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况不成立，
当等腰三角形的底边长为时，则腰长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况成立，
综上，乙说法错误；
故答案为：甲；
（2）解：选择甲：
当等腰三角形的腰长为时，则底边长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况成立；
当等腰三角形的底边长为时，则腰长，此时三角形三边长为，，，
∵，
∴此种情况成立；
∴甲的说法成立．
21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．
(1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________．
(2)画出边AB上的高CD．
(3)若，，，求边AB上的高CD的长．
【答案】(1)AC，BC
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义．
（1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可；
（2）根据三角形高的定义即可完成作图；
（3）根据即可求出的值．
【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为．
故答案为：，．
（2）解：如图所示．
（3）解：∵，
∴．
22．（25-26七年级下·河南漯河·期末）综合与探究．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则_____．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】（）；（）；（）一块直角三角板的面积为．
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（）利用完全平方公式解决问题即可；
（）设，则，由，即，可得 ；
（）由，得，，，又点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，所以，，设，，利用面积关系，构建方程组求解．
【详解】解：（）∵，，，
∴，
∴；
（），则，
∵，即，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，，，
∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，
∴，，
设，，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
答：一块直角三角板的面积为．
23．（25-26七年级下·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．
【答案】见解析
【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．
【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．
24．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、．
(1)与相等吗？请说明理由；
(2)求证：．
【答案】(1)与相等，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义，
（1）在和 中，利用即可证明，则；
（2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有．
【详解】（1）解：与相等，
理由如下：连接，
在和 中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵点E与F分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
25．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）已知在中，，，．点为边上一点，且，过点作射线，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接．
(1)如图，当时，线段与相等吗？请直接写出结论；
(2)当线段与的其中一边垂直时，求出点运动的时间的值．
【答案】(1)当时，线段与相等．证明见解析；
(2)的值为或．
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
（1）证明，即可得出；
（2）分类讨论：当时和当时，分别证明，，即可求解．
【详解】（1）解：当时，线段与相等，证明如下：
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点在上运动，且，
不可能与的边垂直，
或，
如图1所示，当时，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
点的运动速度为每秒个单位长度，
点运动的时间．
如图2所示，当，垂足为点时，，
，
，
，
在和中，
，
，
点的运动速度为每秒个单位长度，
点运动的时间．
综上，当线段与的其中一边垂直时，点运动的时间的值为或．
26．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）．
【答案】(1)见讲解；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键．
（1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证；
（2）结合（1），证明；
（3）结合（1），证明．
【详解】（1），
，
（2）猜想：
由（1）可知，
，，
，
得证；
（3）当成立
由（1）可知，
，，
，
得证．
27．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：；
(3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论；
（3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到．
【详解】（1）证明：∵在与中，
∴
．
（2）证明：延长至点，使得，连接，
，
为中点，
，
∵在与中，
，
，
，
，
，即．
∵在与中，
由（1）得，
∴，
，
，
，
，即，
，即，
∴．
∵在与中，
．
（3）解：延长至点K，使得，连接，则
∵点H是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
延长至点L，使得，连接，
∵，，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，（其中和是一组对应点）
(1)如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________；
(2)如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：；
(3)如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据全等对应边，对应用角即可求解；
（2）过、分别作于点，于点，得，再证，即可求证；
（3）在延长线上取点．令，连，证得，再证，即可求解.
【详解】（1）解：∵（其中和是一组对应点）
∴的对应点是：；的对应边是：；的对应角是：
故答案为：，，；
（2）证明：如图：过、分别作于点，于点
，
为中点
在和中
在和中
（3）解：在延长线上取点．令，连．
、为、中点．
，．
，
．
在和中
，
，
在和中
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点应用和理解.
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第四章 三角形重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共28题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：三角形全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）现有以下表述：
①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点；
③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级下·广东广州·期末）现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，则点的运动速度为（ ），使得、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A． B． C．或 D．或
7．（2023七年级下·浙江宁波）如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4.8 B．7 C． D．2.4
9．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）如图，以的边向外作，过点D作的延长线，的延长线，垂足分别为点E和点F，若，，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④平分．
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（25-26七年级下·北京·月考）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°．
12．（25-26七年级下·上海·月考）已知等边三角形的边长为6，该三角形的重心到其中一个顶点的距离为______．
13．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论
①；②；
③；④．
其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）．
14．（25-26七年级下·湖南长沙）从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是______．
15．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________．
16．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，直线l经过点C．若，，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．当____时，与全等．
17．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．
（1）若，，则的长为_____；
（2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______．
18．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号）
三、解答题（10小题，共66分）
19．（23-24七年级下·山东临沂·月考）已知：如图，在中，，垂足为，相交于点，且，．与有怎样的位置关系？证明你的结论．
20．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知一等腰三角形的周长为．
甲同学认为：“如果该等腰三角形其中一条边的长是，那么这样的等腰三角形会有个”．
乙同学认为：“如果该等腰三角形其中一条边的长是，那么这样的等腰三角形也有两个．
问题：
(1)以上说法正确的是________．
(2)请对其中一个同学的说法加以证明．
21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，．
(1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________．
(2)画出边AB上的高CD．
(3)若，，，求边AB上的高CD的长．
22．（25-26七年级下·河南漯河·期末）综合与探究．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则_____．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
23．（25-26七年级下·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．
24．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、．
(1)与相等吗？请说明理由；
(2)求证：．
25．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）已知在中，，，．点为边上一点，且，过点作射线，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接．
(1)如图，当时，线段与相等吗？请直接写出结论；
(2)当线段与的其中一边垂直时，求出点运动的时间的值．
26．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）．
27．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：；
(3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长．
28．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，（其中和是一组对应点）
(1)如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________；
(2)如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：；
(3)如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值．
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