专题12.1 复数的概念重难点题型讲义（2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题12.1 复数的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的基本概念 题型二 求复数的实部与虚部 题型三 根据相等条件求参数 题型四 复数的分类及辨析 题型五 已知复数的类型求参数 拓展训练一 复数的相关求值 知识点一： 复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏·月考）已知复数（），则“”是“z为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用纯虚数的定义，从充分性和必要性分别讨论即可. 【详解】复数（）为纯虚数，则，解得：. 反之，时，为纯虚数. 所以“”是“z为纯虚数”的充要条件. 故选：C 2．（2026高三·全国·专题练习）以下四个命题：①两个共轭复数的差是纯虚数；②若，则；③若、，且，则；④，则.其中正确的有______个. 【答案】0 【分析】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，即可判断出结果;(2)设, 则，即可判断出结果;(3)设, 则, 但不能比较大小，从而判断出结果;(4) 设,则，但并不相等，从而判断出结果. 【详解】(1)设互为共轭复数的两个复数分别为及则,当时，差不是纯虚数，故错误; (2)设, 则，故错误; (3)设, 则, 但不能比较大小，故错误; (4) 设,则，但并不相等，故错误. 综上所述，四个命题都错误，故正确的有0个. 故答案为：0. 知识点二： 复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 【经典例题一 复数的基本概念】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期中）虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（    ） A．复数､小数､整数 B．复数､无理数､自然数 C．复数､无理数､整数 D．复数､整数､小数 【答案】C 【分析】根据实数和复数的概念，直接判断即可. 【详解】由复数的分类可得：1处填入复数； 由实数的分类可得：2处填入无理数； 由有理数的分类可得：3处填入整数. 故选：C. 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【分析】（1）根据是实数，可得出复数的虚部为零，分母不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值； （2）根据是虚数，可得出复数的虚部不为零，实部为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的取值范围； （3）根据是纯虚数，可得出复数的实部为零，虚部不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值. 【详解】（1）因为是实数，则，解得； （2）因为是虚数，则，解得且； （3）因为是纯虚数，则，解得或. 1．（24-25高三上·河南·月考）复数满足，则（  ） A．恒等于1 B．最大值为1，无最小值 C．最小值为1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 【答案】C 【分析】设，（），由可得，由即可求解. 【详解】设，（）， 因为， 所以， 即， 解得， 所以， 所以有最小1，无大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，属于中档题. 2．(多选)（2025高一·全国·专题练习）有下面四个命题，真命题的是（    ） A． B．若，且，则 C．，则 D．两个虚数不能比较大小 【答案】AD 【分析】根据复数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确. 故选：AD 3．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知，则_______ 【答案】3 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）把下列复数表示为代数形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用特殊角三角函数值即可将题给复数表示为代数形式． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【经典例题二 求复数的实部与虚部】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值. 【答案】3 【分析】首先判断不等式两边的复数是实数，再根据虚部为零和不等关系解得参数值即可. 【详解】由题意，不等式两边复数可比较大小，即两个复数均为实数，其虚部为零，故， ∴，∴m＝3. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可求解. 【详解】对分子分母同乘，则， 所以，所以的虚部为. 故选：B. 3．（2025·上海奉贤·一模）若复数满足，，则复数______． 【答案】或． 【分析】先设复数，再计算得出即可求解. 【详解】设复数， 复数满足，， 所以， 所以，或(当时，，与矛盾，故舍去)， 所以， 则复数或． 故答案为：或． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1)2 (2)或. 【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果； （2）利用纯虚数定义即可求出结果. 【详解】（1）∵，，， ∴， 从而， 解得， 所以的值为2. （2）依题意得： ， 因为是纯虚数， 所以， 解得或. 【经典例题三 根据相等条件求参数】 【例1】（2025·全国·模拟预测）已知是复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设（，），代入后由复数相等的定义求解． 【详解】设（，），则， 所以，解得，因此﹒ 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）（2）根据实部与虚部对应关系解方程即可；（3）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【详解】（1）由可得，解得； （2）由可得，解得或 （3）由可得，解得或，或，故答案为：或或或. 1．（2025·全国·模拟预测）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再代入式子根据复数相等，结合共轭复数的定义求解即可 【详解】设，则，故，即，故，解得，故，故 故选：A 2．（多选）（24-25高三·山东·月考）已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】AC 【解析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】令，代入， 得， 解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 3．（24-25高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则___________. 【答案】0 【分析】利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 4．（2026高一·江苏·专题练习）若关于x的方程（1+i）x2﹣2（a+i）x+5﹣3i＝0（a∈R）有实数解，求a的值（i为虚数单位）. 【答案】﹣3或. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、方程的解法即可得出. 【详解】解：将原方程整理得：（x2﹣2ax+5）+（x2﹣2x﹣3）i＝0 设方程的实数解为x0，代入上式得：（5）+（3）i＝0， 由复数相等的充要条件，得：5＝0，3＝0， 联立解得x0＝3，或x0＝﹣1， x0＝3时，解得a； x0＝﹣1时，解得a＝﹣3. 故答案为：-3或 【经典例题四 复数的分类及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确的是（    ） A． B．若，则； C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由复数的定义和复数运算可得结果. 【详解】纯虚数不能比较大小，所以A不正确； ，当时成立，所以B不正确； ，当时成立，所以C不正确； ，,所以D正确 故选：D 【例2】（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解， （2）根据为实数且小于0即可求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 1．（24-25高三下·上海金山·月考）设表示复数z的共轭复数，则与“复数z为实数”不等价的说法是（    ） A． B． C． D．(表示复数z的虚部) 【答案】C 【分析】根据复数的基本概念，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，则， 对于A中，若，可得，解得，此时复数z为实数，符合题意； 对于B中，若，即，可得，此时复数z为实数，符合题意； 对于C中，若，即，解得，此时，不符合题意； 对于D中，若，即，此时复数z为实数，符合题意. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·河北沧州·月考）下列关于复数的说法，其中正确的是（    ） A．复数是实数的充要条件是 B．复数是纯虚数的充要条件是 C．若、互为共轭复数，则是实数 D．若、互为共轭复数，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的类型确定充要条件，可判断A、B的正误；由共轭复数的概念及性质可判断C、D的正误. 【详解】是实数的充要条件，纯虚数的充要条件是，故A正确，B错误； 、互为共轭复数，则为实数，C、D正确； 故选：ACD 3．（24-25高二下·上海青浦·期末）设为复数，给出下列四个命题∶①若，则∶②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的序号是___________. 【答案】③ 【分析】利用特殊值法：①中令，即可判断正误；②中令即可判断正误；③中由有，即可判断正误；④令，即可判断正误. 【详解】①当，时，成立，但，错误； ②当时，有，但不一定相等，错误； ③，即，故成立，正确； ④当，，此时，但，错误； 故答案为：③ 4．（2025高二下·全国·专题练习）写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部，据此可得到各个复数的实部和虚部；，若，则为实数，若，则是虚数，若，则为纯虚数. 【详解】，，0，，，的实部分别是，，，，，； ，，0，，，的虚部分别是，，，，，． 其中，，是实数； ，，，是虚数； 是纯虚数． 【经典例题五 已知复数的类型求参数】 【例1】（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)5 【分析】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【详解】（1）若是实数，则有，解得或； （2）若是纯虚数，则有. 1．（2025·河北·一模）若复数为纯虚数则实数a的值为(     ) A． B．0 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】不妨设，则：， 由复数相等的充分必要条件可得：，即， 即实数的值为1. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．或4 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念求的值. 【详解】由或， 由或. 因为复数是纯虚数，所以. 故选：D 3．（2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 4．（25-26高一·全国·课前预习）复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1)z∈R； (2)z为虚数. 【答案】(1)x＝4 (2)且x≠4 【分析】（1）根据复数为实数的概念，列出方程，从而可得出答案，注意对数的真数大于零； （2）根据复数为虚数的定义，列出不等式，从而可得出答案，注意对数的真数大于零. 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得x＝4， 所以当x＝4时，z∈R； （2）解：因为z为虚数， 所以， 解得且x≠4， 所以当且x≠4时，z为虚数. 【拓展训练一 复数的相关求值】 【例1】（24-25高二下·河南郑州·期中）已知为虚数单位，,若为纯虚数，则复数的模等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 因此，所以，选D. 【例2】（24-25高二下·福建宁德·期末）已知是复数，且，均为实数(为虚数单位). (1)求复数； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设,根据复数为实数条件列方程组求解即可； （2）根据复数模的定义得方程,解方程可得实数的值. 【详解】（1）设则， . 均为实数， ， （2）由得，，即 或 1．（24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 2．(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数（，）为实数的充要条件是 【答案】ABC 【分析】对A，根据纯虚数的定义即可判断；对B，根据纯虚数的定义即可判断以及集合满足充要条件；对C，根据纯虚数的定义即可判断；对D通过复数的基本性质，以及复数的模，即可判断. 【详解】对A，当且时，为纯虚数，故A错 对B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B错； 对C，当时，为纯虚数，故C错； 对D，，则，，故D正确． 故选：ABC 3．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为__________. 【答案】5 【分析】根据复数模长可得，即可根据虚部和实部定义求解. 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 4．（24-25高一下·江苏淮安·期中）当实数m为何值时，复数是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)； (2)且； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】（1）复数是实数，则，解得， 所以当时，复数是实数. （2）复数是虚数，则，解得且， 所以当且时，复数是虚数. （3）复数是纯虚数，则，解得， 所以当时，复数是纯虚数. 1．（24-25高二下·江西宜春·月考）若复数为纯虚数，则实数=（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】C 【分析】由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值. 【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数， 所以， 由，得或， 由，得且， 所以， 故选：C 2．（24-25高三上·河南商丘·月考）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，代入后利用复数的定义求得关系，然后由复数模的定义计算求得，从而得结论． 【详解】设，则， 因为为纯虚数，所以所以，，因为，所以， 解得，则，即z的虚部为. 故选：A. 3．（2025·山东潍坊·二模）下面四个命题中，正确的是 A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则或 D．若复数，满足，则， 【答案】A 【详解】分析：由复数的基本概念及基本运算性质逐一核对四个选项得答案. 详解：对于A，若复数，则，故A正确； 对于B，取，则，而，故B错误； 对于C，取，，满足，但不满足或，故C错误； 对于D，取，，满足，但不满足，，故D错误. 故选A. 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，复数的共轭复数为，模长为. 4．（25-26高二下·安徽·期中）若复数满足且为实数，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，则，利用复数的除法得出，结合为实数，即可得出. 【详解】设，则 因为为实数，所以，结合，得出或 即或 故选：D 【点睛】本题主要考查了由复数的类型求参数以及复数的运算，属于中档题. 5．（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知复数对应的点落在虚轴上且满足，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，结合复数的模长公式，即可得到结果. 【详解】因为复数对应的点落在虚轴上，设 , 则 , 故选:C. 6．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题错误的是（    ） A．是纯虚数 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念、性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以是纯虚数，故A正确； 对于B：，所以，故B错误； 对于C：复数不能比大小，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：BCD 7．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）下列命题，其中不正确的是（    ） A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．若，则z1＝z2＝0 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 【答案】ABC 【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可． 【详解】解：在A中a＝0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i＝0，故C错误；在D中复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故D正确. 故选：ABC 8．(多选)（25-26高一·全国·课后作业）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（    ） A．z的虚部为 B．z的虚部为1 C．z＝－－i D．z＝＋i 【答案】BD 【分析】设复数，、，由复数相等列方程求出的值即可． 【详解】解：设复数，、， 由，得， 即； 所以，所以，所以 即的虚部为1． 故选：． 9．（多选）（24-25高一下·辽宁·月考）已知复数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】BCD 【分析】根据复数的模的定义，复数的分类，复数的运算判断各选项，错误命题可举反例说明． 【详解】设，则， ，A正确； 若，则，但，B错； 若，则，但，C错； 若，满足1，但，D错． 故选：BCD． 10．（多选）（24-25高一下·浙江·期末）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B． C． D．复数z的共轭复数 【答案】CD 【分析】复数 的实部为a，虚部为b，模为 ，共轭复数为，以及 . 【详解】复数z的虚部是2; ; ; 复数z的共轭复数. 故选：CD 【点睛】对复数的相关基础知识要熟练，特别是复数 的虚部为b，而不是. 11．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）________． 【答案】/ 【分析】利用的性质计算可得答案. 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【分析】借助纯虚数定义列不等式组计算即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数______. 【答案】（或）答案不唯一，写出一个即可 【分析】根据题意，设复数，由，求得的值，即可得到答案. 【详解】根据题意，设复数，可得，解得， 所以或. 故答案为：（或）答案不唯一，写出一个即可 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则实数的取值分别为______． 【答案】1，1或 【分析】由复数相等的定义，列出方程组，即得解 【详解】因为， 所以 解得或 故答案为：1，1或 15．（25-26高三上·上海·月考）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 【答案】 【分析】根据纯虚数的概念列式计算即可. 【详解】因为为纯虚数，所以，解得， 故答案为：. 16．（24-25高一下·浙江·期末）（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） （Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：． 【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值； （Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解. 【详解】（Ⅰ）① ，即，解得或 ②z为纯虚数 ，解得 ③z为实数，，解得 （Ⅱ）， 17．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 【答案】(1)或 (2)且 (3)2 【分析】根据复数的相关概念列出关于m的方程或不等式，即可求得答案. 【详解】（1）当，即或时， 复数为实数； （2）当，即且时， 复数为虚数； （3）当，即时， 复数为纯虚数. 18．（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数相等即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由题意得，解得. 19．（24-25高一下·安徽池州·月考）已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可. 【详解】（1）因为是虚数， 所以，解得， （2）因为是纯虚数， 所以，解得. 20．（2026高三·全国·专题练习）当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i. （1）是虚数； （2）是纯虚数. 【答案】（1）m≠5且m≠－3；（2）m＝3或m＝－2 【分析】（1）解不等式组即得解； （2）解不等式组即得解. 【详解】（1）当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 复数的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的基本概念 题型二 求复数的实部与虚部 题型三 根据相等条件求参数 题型四 复数的分类及辨析 题型五 已知复数的类型求参数 拓展训练一 复数的相关求值 知识点一： 复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏·月考）已知复数（），则“”是“z为纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2026高三·全国·专题练习）以下四个命题：①两个共轭复数的差是纯虚数；②若，则；③若、，且，则；④，则.其中正确的有______个. 知识点二： 复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【经典例题一 复数的基本概念】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期中）虚数单位的引入，使得数系由实数系扩充到了复数系.下面的结构图中，其中1，2，3三个方框中应依次填入（    ） A．复数､小数､整数 B．复数､无理数､自然数 C．复数､无理数､整数 D．复数､整数､小数 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 1．（24-25高三上·河南·月考）复数满足，则（  ） A．恒等于1 B．最大值为1，无最小值 C．最小值为1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 2．(多选)（2025高一·全国·专题练习）有下面四个命题，真命题的是（    ） A． B．若，且，则 C．，则 D．两个虚数不能比较大小 3．（24-25高一下·新疆喀什·期中）已知，则_______ 4．（25-26高一下·全国·课后作业）把下列复数表示为代数形式． (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 求复数的实部与虚部】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D．3 3．（2025·上海奉贤·一模）若复数满足，，则复数______． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【经典例题三 根据相等条件求参数】 【例1】（2025·全国·模拟预测）已知是复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3). 1．（2025·全国·模拟预测）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三·山东·月考）已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 3．（24-25高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则___________. 4．（2026高一·江苏·专题练习）若关于x的方程（1+i）x2﹣2（a+i）x+5﹣3i＝0（a∈R）有实数解，求a的值（i为虚数单位）. 【经典例题四 复数的分类及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确的是（    ） A． B．若，则； C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 1．（24-25高三下·上海金山·月考）设表示复数z的共轭复数，则与“复数z为实数”不等价的说法是（    ） A． B． C． D．(表示复数z的虚部) 2．（多选）（24-25高一下·河北沧州·月考）下列关于复数的说法，其中正确的是（    ） A．复数是实数的充要条件是 B．复数是纯虚数的充要条件是 C．若、互为共轭复数，则是实数 D．若、互为共轭复数，则 3．（24-25高二下·上海青浦·期末）设为复数，给出下列四个命题∶①若，则∶②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的序号是___________. 4．（2025高二下·全国·专题练习）写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． ，，，，，． 【经典例题五 已知复数的类型求参数】 【例1】（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【例2】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为虚数单位，，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值． 1．（2025·河北·一模）若复数为纯虚数则实数a的值为(     ) A． B．0 C．1 D．－1 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．或4 C．6 D．4 3．（2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 4．（25-26高一·全国·课前预习）复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1)z∈R； (2)z为虚数. 【拓展训练一 复数的相关求值】 【例1】（24-25高二下·河南郑州·期中）已知为虚数单位，,若为纯虚数，则复数的模等于（    ） A． B． C． D．2 【例2】（24-25高二下·福建宁德·期末）已知是复数，且，均为实数(为虚数单位). (1)求复数； (2)若，求实数的值. 1．（24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 2．(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．若，，，则仅当时为纯虚数 B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 C．若，则为纯虚数 D．复数（，）为实数的充要条件是 3．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为__________. 4．（24-25高一下·江苏淮安·期中）当实数m为何值时，复数是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 1．（24-25高二下·江西宜春·月考）若复数为纯虚数，则实数=（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 2．（24-25高三上·河南商丘·月考）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·二模）下面四个命题中，正确的是 A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则或 D．若复数，满足，则， 4．（25-26高二下·安徽·期中）若复数满足且为实数，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二下·湖南长沙·月考）已知复数对应的点落在虚轴上且满足，则为(    ) A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题错误的是（    ） A．是纯虚数 B． C．若，则 D．若，则 7．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）下列命题，其中不正确的是（    ） A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．若，则z1＝z2＝0 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 8．(多选)（25-26高一·全国·课后作业）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（    ） A．z的虚部为 B．z的虚部为1 C．z＝－－i D．z＝＋i 9．（多选）（24-25高一下·辽宁·月考）已知复数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 10．（多选）（24-25高一下·浙江·期末）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．复数z的虚部是 B． C． D．复数z的共轭复数 11．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）________． 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 13．（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数______. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则实数的取值分别为______． 15．（25-26高三上·上海·月考）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为______. 16．（24-25高一下·浙江·期末）（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） （Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：． 17．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 18．（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 19．（24-25高一下·安徽池州·月考）已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 20．（2026高三·全国·专题练习）当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i. （1）是虚数； （2）是纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $