专题13.2 圆柱、圆锥、圆台重难点题型讲义（3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题13.2 圆柱、圆锥、圆台重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 圆柱轴截面的有关计算 题型二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型三 圆锥中截面的有关计算 题型四 圆锥的展开图及最短距离问题 题型五 圆台的结构特征辨析 题型六 圆台的展开图。 拓展训练一 圆柱、圆锥、圆台相关求解 知识点一： 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 【即时训练】 1．（2025·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论 【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 2．（25-26高二·全国·课后作业）一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________. 【答案】12 【分析】由圆柱的轴截面的面积为求解. 【详解】因为圆柱的母线长为3，底面半径为2， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故答案为：12 知识点二： 圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 【即时训练】 1．（24-25高三上·四川·期末）若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥的高和底面半径与母线长，满足勾股定理，再由底面的周长等于母线长，列方程求圆锥的高. 【详解】设该圆锥的高为，依题意有，则， 解得. 故选：A 2．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 知识点三： 圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 【即时训练】 1．（25-26高一·江苏·课后作业）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7，再画出图形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R， 由题意可知：，解得， 如图可得：， 满足关系式，即，求得， 即两底面之间的距离为. 故选：D. 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的母线长为_________. 【答案】8 【分析】根据圆台侧面展开图扇环的性质，结合弧长公式建立关于母线长的方程，进而求解母线长. 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 故答案为： 【经典例题一 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得底面直径等于圆柱母线，则得到，则底面积为. 【详解】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径， 则，得. 所以底面面积为. 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 【答案】. 【分析】圆柱的底面直径，即为轴截面的边长，进而可得答案． 【详解】解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为， 故此正方形的边长为， 故此圆柱的底面直径为， 故此圆柱的底面半径为， 故答案为：． 1．（24-25高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 2．（24-25高一下·福建南平·期中）（多选）下列命题正确的（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用平面截圆柱，得到的截面不可能是等腰梯形 D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱 【答案】AC 【分析】根据棱柱的概念，棱台的概念，圆柱的性质，正四棱柱的概念，即可分别求解． 【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，则A选项正确； 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体，不一定是棱台，还需强调所有梯形的两腰延长线都交于同一点，则B选项错误； 用平面截圆柱得到的截面可能是曲边梯形，不可能是等腰梯形，则C选项正确； 底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱，可能为斜棱柱，则D选项错误． 故选：AC． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，此圆柱的底面半径为______． 【答案】 【详解】∵圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为，故此正方形的边长为， 故此圆柱的底面直径为，故此圆柱的底面半径为，故答案为. 4．（25-26高一·全国·课后作业）轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高. 【答案】该等边圆柱的底面周长为，高为 【分析】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，设图柱的底面半径为r，根据面积计算得到，再计算底面周长和高得到答案. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形 设图柱的底面半径为r，则. 轴截面ABCD的面积，解得. 所以该等边圆柱的底面周长为，高为 . 【经典例题二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算即可得到答案. 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选：A. 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）如图，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长． 【答案】 【分析】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形，利用勾股定理求两点间距离即为最小值. 【详解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B'ADC'，如图，连接AC'， 则AC'的长即为所求最短绳长， 由题意可知，B'C'=5，AB'=2π， ∴AC'=，即最短绳长为． 1．（25-26高一下·安徽·月考）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【答案】B 【分析】由题，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，可得长方形的宽就是灯柱的高，长方形的长即为圆柱底面周长的3倍，装饰带的长度即为该长方形的对角线长，计算得解. 【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽灯柱的高米， 长方形的长三个圆柱的底面周长（米）， 装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为（米）. 2．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 3．（24-25高一下·广西贺州·月考）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    【答案】 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，   ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是一个圆锥形物体，其母线长为3cm，一只小虫子从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫子爬行的最短路程为，求圆锥底面圆的半径.    【答案】1cm. 【分析】由圆锥侧面展开图已知最短距离与两条母线组成等腰三角形，通过余弦定理可得解三角形顶角，再由扇形弧长公式得解. 【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，易知该小虫子爬行的最短路程为，，，在中，由余弦定理得， 因为为三角形的内角， 所以，设圆锥底面圆的半径为，则，解得. 故圆锥底面圆的半径为1cm.    【经典例题三 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出轴截面的角度是钝角还是锐角，然后结合三角形面积公式即可求解. 【详解】设轴截面为，则， 所以，所以截面三角形面积的最大值为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径. 【答案】. 【分析】根据圆的周长公式及梯形面积公式和线面角列方程求解即可. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h. 由题意，得，即R＝3r.① ，即(R＋r)h＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则.③ 联立①②③，得. 1．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出等边三角形边长为4，则由题意可得圆锥的底面半径为2，母线长为4，从而可求出其侧面积. 【详解】设圆锥的轴截面的等边三角形的边长为， 则，解得， 所以圆锥的底面半径为2，母线长为4， 所以圆锥的侧面积为. 2．（2025·云南玉溪·二模）已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】过正方体的一组对棱作圆锥的截面，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解. 【详解】过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示，    由题意可得： ， 面对角线 ， 所以 ， 由 ，可得 ， 所以 解得： ， 故选：C． 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 【答案】8 【分析】由已知得、，进而可得，最后由及，即可得最大值. 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，求该圆锥的内接正方体的棱长. 【答案】. 【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h，再利用圆锥的轴截面求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h，则， 因为圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形， 所以，解得，又，所以. 作该几何体的轴截面，如图所示：    设正方体的棱长为a，则，，，， 易得，即，解得， 所以该圆锥的内接正方体的棱长为. 【经典例题四 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可. 【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由题意可得，从而可判断出轴截面是等边三角形，进而可求得答案. 【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r． 由侧面展开图恰好是一个半圆知， 所以轴截面是等边三角形， 故母线与底面直径所成角的大小是． 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段，利用余弦定理即可求解，过作的垂线，垂足为，由题意得到为上坡路段，为下坡路段，计算即可. 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    由题可得该扇形半径，弧长为，故圆心角， 最短路线即为扇形中的直线段，由余弦定理可得：；， 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小，故为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大，故为下坡路段，下坡路段长， 故选：D 2．（24-25高二上·河北邯郸·开学考试）（多选）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则（    ） A． B．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆锥的几何性质逐项分析即可. 【详解】由，得，所以A选项正确； 假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为，故B选项不正确； 因为，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为，故C选项正确； 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为．故当时，，故D选项不正确． 故选：AC. 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.    (1)求圆台的体积； (2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得圆台的下底面和上底面的半径，又由梯形的面积求得高，最后利用圆台的体积公式即可求解； （2）由圆台性质，延长交于点，由与相似即可计算,设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角为，在侧面展开图中，连接，即可计算出的最短距离. 【详解】（1）由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，则，所以， 所以圆台的体积为. （2）在梯形中，，即母线长为3. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，即，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，则从点到的最短路径为线段， 又在中，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意.    【经典例题五 圆台的结构特征辨析】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】B 【分析】结合空间四边形定义判断A，结合棱锥的分类B，举反例判断C，结合圆台的定义判断D. 【详解】对于A，有可能是空间四边形，故A错误； 对于B，棱锥的底面边数决定其类型，故B正确； 对于C，可举如下反例（如图），故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆台和一个圆锥，故D错误． 故选：B． 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）圆台的两底面圆的半径分别为和，母线长是，求其轴截面的面积. 【答案】 【分析】在轴截面内过点作，根据题意，结合梯形的面积公式，即可求解. 【详解】解：如图所示，在轴截面内过点作，垂足为， 因为圆台的两底面圆的半径分别为和， 可得，，且， 所以，， 所以圆台的轴截面的面积为.    1．（24-25高三上·湖南·开学考试）图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（    ） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【答案】C 【分析】利用组合体的轴截面以及三角形相似即可得出该花盆的总高度. 【详解】截取组合体的轴截面，作，如下图所示： 易知，即为上半部分的圆台的高，所以， 又因为两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，所以； 可得， 易知，所以. 因此该花盆的总高度为. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）上、下底面面积分别为和，母线长为5的圆台，其高为______． 【答案】 【分析】先根据圆台上下底面积求出上下底半径，再利用母线、半径差与高构成的直角三角形，最后通过勾股定理计算圆台的高即可. 【详解】因圆台上、下底面积分别为和，作图如下： 因为 ，解得， 因为 ，解得， 因为 ，且母线长为5， 则圆台的高： ， 所以. 4．（24-25高一·全国·单元测试）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 【答案】高为cm，母线长21cm，两底面半径分边为和cm. 【分析】设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S，得到∠ASO＝45°，从而可得A1O1＝x，OO1＝2x，再由梯形面积公式求解x，从而可得解. 【详解】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S. 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SA1O1＝∠SAO＝45°， 所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x， 又 (6x＋2x)·2x＝441，解得x＝， 所以圆台的高OO1＝ (cm)，母线长l＝OO1＝21(cm)， 两底面半径分别为cm和cm. 【经典例题六 圆台的展开图】 【例1】（24-25高一下·四川泸州·期末）若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，圆台的母线交于点，由已知易求得圆锥的母线，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高. 【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·山西吕梁·月考）一块扇形铁皮AOB，，，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？ 【答案】OD的长为36cm. 【解析】令，由题意知，又即可求OD. 【详解】设圆台下底面半径为R cm，如图， ∵扇形OCD内面积最大的圆是其内切圆，E，F均为切点， ∴，的长为. 由题意可得， ∴. ∵（cm）， ∴OD的长为36cm. 1．（24-25高二上·江西景德镇·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 【答案】ABD 【分析】根据圆台的性质计算判断． 【详解】圆台的轴截面是等腰梯形，D正确； 设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即， 所以，A正确； 表面积为，B正确； 高，C错误． 故选：ABD． 3．（2025·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________. 【答案】2 【分析】先求得圆台的母线长，然后根据圆台的侧面积公式列方程，化简求得. 【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环， 所以圆台的母线长为， 圆台的侧面积为， 所以. 故答案为：2 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【答案】 【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 【拓展训练一 圆柱、圆锥、圆台相关求解】 【例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆锥底面圆的半径为1，高为，要想从底面圆周上一点出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到，求该条细绳的最短长度. 【答案】最短长度为. 【分析】根据展开图，通过底面周长得到弧长，通过母线得到扇形的半径，再求得圆心角，再利用三角形知识求解. 【详解】如图所示：    沿剪开，再展开后得到扇形，连接， 则由题意得细绳的最短长度为的长度. ∵圆锥底面圆的半径为1，高为， ∴扇形的弧长为，母线. 在扇形中，易得， ∴， 即该条细绳的最短长度为：. 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）(多选)以下命题，不正确的有（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABD 【分析】根据圆锥､圆台､圆柱的定义对四个选项逐一判断，即可判断对错. 【详解】解析由圆锥､圆台､圆柱的定义可知： 以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，选项错误， 以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，选项错误， 圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面，选项C正确. 只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，选项不正确. 故选： 【点睛】本题主要考查了圆锥､圆台､圆柱的定义，属于基础题. 3．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为_________ 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， . 故答案为：． 4．（24-25高一下·安徽安庆·月考）一倒置圆锥体的母线长为，底面半径为. （1）求圆锥体的高； （2）若有一球刚好放进该圆锥体（球与圆锥的底面相切）中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积. 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）直接利用勾股定理计算，即可得答案； （2）球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为，利用，可得，圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即可得答案. 【详解】（1）设圆锥体的高为，底面半径为，母线长为，则，所以圆锥体的高为. （2）球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为. 易得，∴ ∴，解得. 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即 ∴此时圆锥体剩余空间的体积为. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆半径分别为，，根据三角函数得到，得到答案. 【详解】如图所示：两圆半径分别为，，    在中，，，故. 故选：A 2．（2026·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出. 【详解】如下图所示： 设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得， 连接AE，则， 连接BE，则，故， 故. 故选：A. 3．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）若是圆锥底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，则（   ） A． B． C．的面积小于的面积 D．的面积小于的面积 【答案】C 【分析】根据圆锥的性质，在和中，可得，再由三角形面积公式可得，与的长度不定，所以无法确定的面积与的面积的大小关系，故可判断. 【详解】在中，无法确定与的大小，A错误； 取中点，连接， 因为圆面，圆，所以， 因为，所以， 则在中，， 在中，， 因为，则，则，B错误； 因为，又， 所以，C正确， ， 因为与的长度不定，所以无法确定的面积与的面积的大小关系， D错误. 故选：C 5．（2025·河北沧州·三模）已知圆台的上、下底面直径分别为和，高为，则圆台的侧面展开图（扇环）的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆台的展开图，根据题目数据，结合弧长公式列方程组求解. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，侧面展开图（扇环）的圆心角为， 由题意，，， 如图，，①，② 联立①②可得，从而. 故选：A      6．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）（多选）下列有6个面的多面体是（    ） A．五棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．圆柱 【答案】AB 【分析】根据五棱锥、四棱柱、四棱锥以及圆柱的概念以及结构特征，即可判断答案. 【详解】对于A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，正确； 对于B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，正确； 对于C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意； 对于D，圆柱为旋转体，不符合题意， 故选：AB 7．（25-26高一下·陕西安康·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱台的侧面都是梯形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形 【答案】BCD 【详解】选项A：直四棱柱的侧棱垂直于底面，但底面可以是任意四边形，不一定为矩形，长方体要求底面为矩形且所有面都是矩形，因此直四棱柱不一定是长方体； 选项B：棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，其上下底面平行且相似，侧面均为四边形，且有一组对边平行，另一组对边不平行，因此侧面都是梯形； 选项C：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面中心，因此所有侧棱相等，底面各边相等。侧面三角形由两条侧棱和一条底边构成，这些三角形全等，且因为侧棱相等，所以每个侧面都是等腰三角形； 选项D：圆锥的轴截面是过圆锥轴线的平面，其与圆锥的交线是一个三角形，两条腰为圆锥的母线，底边为底面直径，因此该三角形是等腰三角形. 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ACD 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B, 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点,有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：ACD 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误； 对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点， 则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确； 对于D，由圆柱的定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 10．（24-25高一下·辽宁·月考）（多选）下列命题中为假命题的有（    ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 【答案】AB 【分析】利用圆台、棱台、棱柱的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，A错误； 对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D正确. 故选：AB 11．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解. 【详解】因为圆柱的底面半径为2， 所以圆柱的底面直径为4， 又因为轴截面的对角线长为5， 所以圆柱的高为， 所以圆柱的侧面展开图的长为，宽为3， 所以这个圆柱侧面展开图的对角线长为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______.（结果保留根式）. 【答案】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 13．（25-26高三上·重庆江北·期中）用半径为4 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm. 【答案】 【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案. 【详解】因为半径为4的半圆弧长为，所以圆锥的底面周长为，则底面半径为， 其轴截面为等腰三角形如下图： 所以圆锥的高. 故答案为： 14．（25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 【答案】 【详解】因为，所以圆锥底面圆周长为，即侧面展开图中扇形的弧长为， 因为，所以扇形的圆心角， 则最短路线长为该圆心角所对应弦长. 15．（24-25高一下·山西忻州·月考）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 16．（2025高三·全国·专题练习）求下列值： （1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长. （2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长. （3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长. 【答案】（1）3； ；（2），，；；（3）5cm. 【解析】（1）根据圆柱的轴截面是正方形，设高为h，由轴截面的面积为求解. （2）根据圆锥的轴截面是正三角形，设母线的长为，由轴截面的面积是求解. （3）根据圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，由求解. 【详解】（1）因为圆柱的轴截面是正方形， 设高为h，底面半径为r， 因为轴截面的面积为， 所以， 解得，则， 所以底面的周长. （2）因为圆锥的轴截面是正三角形， 设母线的长为，则半径为r，高为h， 因为轴截面的面积是， 所以，即， 解得， 所以该圆锥的底面半径为，圆锥的高，母线的长为2. （3）因为圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm， 所以. 17．（24-25高一下·云南昆明·月考）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【答案】(1)12cm (2)cm 【分析】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高. （2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解. 【详解】（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示： 由已知可得上底半径，下底半径， 又腰长， 所以圆台的高为. （2）如图所示，延长交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由，可得， 解得：， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 18．（24-25高二下·安徽滁州·月考）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数； （2）如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，求这根绳子的最短长度． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再由圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长可求出的度数； （2）连接，过作于，则，在扇形中求出的值就是这根绳子的最短长度 【详解】（1）圆锥的高为， 底面圆的周长等于， 解得, 所以， （2）连接，过作于，则． 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 19．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆台的下底面圆的周长是上底面圆的周长的3倍，圆台的高为，母线与旋转轴的夹角为，求这个圆台的轴截面的面积. 【答案】 【分析】根据题意求出圆台的上、下底面半径，再计算轴截面的面积． 【详解】设圆台的下底面圆的半径为，上底面圆的半径为，圆台的高为，则， 由题意得，可得. 由母线与旋转轴的夹角为，可得，如图所示，    则，即，解得， 所以. 所以圆台的轴截面的面积. 20．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，一个圆锥形量杯的高为厘米，其母线与轴的夹角为． （1）求该量杯的侧面积； （2）若要在该圆锥形量杯的一条母线上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少．当液体体积是立方厘米时，刻度的位置与顶点之间的距离是多少厘米(精确到厘米)？ 【答案】（1）平方厘米． （2）当时，刻度的位置与顶点之间的距离约为厘米． 【分析】(1)先求得圆锥底面半径及母线，再利用侧面积公式计算即可． (2)设，用x表示平行于底面的截面半径及顶点到截面的距离，利用体积解得即可. 【详解】(1) 由题设，圆锥底面半径，母线． ． 因此，该量杯的侧面积为平方厘米． (2)设，可得过点平行于底面的截面半径为，顶点到该截面的距离为． 于是．当时，可解得． 因此，刻度的位置与顶点之间的距离约为厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 圆柱、圆锥、圆台重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 圆柱轴截面的有关计算 题型二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型三 圆锥中截面的有关计算 题型四 圆锥的展开图及最短距离问题 题型五 圆台的结构特征辨析 题型六 圆台的展开图。 拓展训练一 圆柱、圆锥、圆台相关求解 知识点一： 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 【即时训练】 1．（2025·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 2．（25-26高二·全国·课后作业）一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________. 知识点二： 圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 【即时训练】 1．（24-25高三上·四川·期末）若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 知识点三： 圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 【即时训练】 1．（25-26高一·江苏·课后作业）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的母线长为_________. 【经典例题一 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 1．（24-25高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 2．（24-25高一下·福建南平·期中）（多选）下列命题正确的（   ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．用平面截圆柱，得到的截面不可能是等腰梯形 D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，此圆柱的底面半径为______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高. 【经典例题二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【例2】（2025高一上·全国·专题练习）如图，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长． 1．（25-26高一下·安徽·月考）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 2．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 3．（24-25高一下·广西贺州·月考）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是一个圆锥形物体，其母线长为3cm，一只小虫子从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫子爬行的最短路程为，求圆锥底面圆的半径.    【经典例题三 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【例2】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径. 1．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南玉溪·二模）已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，求该圆锥的内接正方体的棱长. 【经典例题四 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，圆锥底面半径为，母线，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邯郸·开学考试）（多选）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则（    ） A． B．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.    (1)求圆台的体积； (2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？ 【经典例题五 圆台的结构特征辨析】 【例1】（2025高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）圆台的两底面圆的半径分别为和，母线长是，求其轴截面的面积. 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上､下底面直径分别为30cm和26cm，下半部分的圆台上､下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为（    ） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）上、下底面面积分别为和，母线长为5的圆台，其高为______． 4．（24-25高一·全国·单元测试）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 【经典例题六 圆台的展开图】 【例1】（24-25高一下·四川泸州·期末）若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山西吕梁·月考）一块扇形铁皮AOB，，，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且在剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的下底面，问OD应取多长？ 1．（24-25高二上·江西景德镇·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 3．（2025·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【拓展训练一 圆柱、圆锥、圆台相关求解】 【例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆锥底面圆的半径为1，高为，要想从底面圆周上一点出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到，求该条细绳的最短长度. 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）(多选)以下命题，不正确的有（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 3．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为_________ 4．（24-25高一下·安徽安庆·月考）一倒置圆锥体的母线长为，底面半径为. （1）求圆锥体的高； （2）若有一球刚好放进该圆锥体（球与圆锥的底面相切）中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）若是圆锥底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，则（   ） A． B． C．的面积小于的面积 D．的面积小于的面积 5．（2025·河北沧州·三模）已知圆台的上、下底面直径分别为和，高为，则圆台的侧面展开图（扇环）的圆心角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）（多选）下列有6个面的多面体是（    ） A．五棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．圆柱 7．（25-26高一下·陕西安康·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱台的侧面都是梯形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 10．（24-25高一下·辽宁·月考）（多选）下列命题中为假命题的有（    ） A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 11．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________. 12．（24-25高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_______.（结果保留根式）. 13．（25-26高三上·重庆江北·期中）用半径为4 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm. 14．（25-26高一下·浙江·期中）如图，为圆锥的轴截面，，则从点出发沿圆锥的侧面再回到点的最短路线的长是__________. 15．（24-25高一下·山西忻州·月考）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为__________． 16．（2025高三·全国·专题练习）求下列值： （1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长. （2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长. （3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长. 17．（24-25高一下·云南昆明·月考）一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 18．（24-25高二下·安徽滁州·月考）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． （1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数； （2）如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，求这根绳子的最短长度． 19．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆台的下底面圆的周长是上底面圆的周长的3倍，圆台的高为，母线与旋转轴的夹角为，求这个圆台的轴截面的面积. 20．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，一个圆锥形量杯的高为厘米，其母线与轴的夹角为． （1）求该量杯的侧面积； （2）若要在该圆锥形量杯的一条母线上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少．当液体体积是立方厘米时，刻度的位置与顶点之间的距离是多少厘米(精确到厘米)？ 学科网（北京）股份有限公司 $