专题6.11 平面向量及其应用40道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.11 平面向量及其应用40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 向量线性的几何应用 题型二 根据向量关系判断三角形的心 题型三 数量积的运算律 题型四 平面向量基本定理的应用 题型五 平面向量共线定理的推论 题型六 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型七 向量在几何中的其他应用 题型八 余弦定理边角互化的应用 题型九 正弦定理求外接圆半径 题型十 三角形面积公式及其应用 【经典例题一 向量线性的几何应用】 1．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线， 所以，设 代入可得 即 又因为，即，且 解得 所以可得 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比 所以与的面积之比为 故选D 2．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正确的是（    ） A．∠APB=120° B．∠BPC=120° C．2BP=PC D．AP=2PC 【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，进而可确定P为Rt△ABC的费马点，利用相似可确定BP、 AP、 PC之间的数量关系. 【详解】在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得||=||=||=1， 以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则， ∵，即，即， ∴P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形， ∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A、B正确； ∵AB，BC=1，∠ABC=90°， ∴AC=2，∠ACB=60°， 在△ABC外部分别以BC､AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线CP绕C旋转60°交PD于P’， ∴，即，故， ，即，故， ∴为等边三角形，，则B，P，D三点共线，同理有A，P，E三点共线， ∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正确， 同理：△APC∽△ACB，即2，即AP=2PC，故D正确. 故选：ABCD. 3．已知点是的内心，若，则______. 【答案】 【分析】根据已知条件用表示出，判断出的位置关系，利用三角形内心的特点结合角平分线定理即可计算出的值. 【详解】因为，即， 取中点，连接，则，故，故点共线， 又，故，且，所以. 故答案为：. 4．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 【经典例题二 根据向量关系判断三角形的心】 5．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 6．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案. 【详解】因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 7．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【分析】过作，垂足为，取中点为，连接，根据向量的线性运算，即可判断. 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 8．已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【答案】证明见解析 【分析】抓住各心的几何特征，在图形上进行合理的构造，利用证明三点共线． 【详解】如图，作直径，连结，有，，，，， 故，，即四边形是平行四边形， 故． 由是的重心得， 所以，即三点共线． 【经典例题三 数量积的运算律】 9．如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（    ） A．16 B． C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，由点的位置分类探讨确定取最大值的位置，再取中点，利用数量积的运算律及定义求出最大值. 【详解】当点在半圆或半圆的弧上时，在方向上的投影的数量为非正数； 当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量在内，； 当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量不小于2， 因此当取最大值时，点在半圆的弧上，取中点，则， 而， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值是20. 故选：D 10．如图，AB是直线l同侧的两个定点，由线段AB中点为M向直线l作垂线，垂足为N，定点C，D，E在直线l上，点P是直线l上的一个动点，则命题正确的有（   ）    A．有最小值 B．有最大值 C． D．直线l上有且只有一点F（不与E重合）使得． 【答案】ACD 【分析】把与和定点建立联系，由数量积的运算，计算化简即可判断A，B，作差法化简，判断C，利用，结合向量线性运算和数量积运算即可判断D. 【详解】， 因为为中点，所以，所以 因为,，，为定点，所以为定值，又 ，在直线上，所以为定值，所以是关于的二次函数，由二次函数性质得有最小值，无最大值，所以A正确，B错误； ，由图知，， 所以，所以，所以C正确； 若 ，则，所以，所以，因为在直线上，所以这样的点只有一个，所以D正确. 故选：ACD 11．平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________.    【答案】12 【分析】由“相交弦定理”得到，，再结合由向量数量积的运算律即可求解. 【详解】， ， ， ， 而， . 故答案为：12 12．已知平面上有非零向量（n为不小于4的整数），定义为“联阶解”，当大于时，，即向量到的乘积；当小于时，. (1)若，且与、均不垂直，证明：； (2)若，有（其中），证明：对于所有偶数n，恒成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过平行向量的性质可证明结论； （2）利用已知可得，结合数量积的交换律可证明等式成立. 【详解】（1）由定义得，， 因为，所以设，其中为非零常数， 所以， ， 所以. （2）当 为偶数时，由已知可得，， 因为，所以，，即， 所以，，，， 所以， 因为，所以， 所以对于偶数，恒成立. 【经典例题四 平面向量基本定理的应用】 13．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，， 三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：，，即. 故选：B. 14．设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（    ） A．关于的方程可能有两个不同的实数解 B．关于的方程至少有一个实数解 C．关于的方程最多有一个实数解 D．关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 【答案】CD 【分析】对于A，由题设知对任意向量存在唯一的有序数对使，可得 ，，由唯一的对应性即可判断；对于B，取反例可得方程无实数解即可判断，对于C，判断当时方程有解，结合A的解析可判断；对于D，假设共线，可得，整理得，结合，可得，，推得方程无实数解，否定假设即可. 【详解】，，是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，， 以，作为一组基底，则对任意向量，存在唯一的有序数对，使， 对于A，由方程，可得， 则有，，因与一一对应，故方程不可能两个实数解，故A错误； 对于B，若取，则方程组无解，故B错误； 对于C，当时，方程有解，结合A项结论，可知方程最多有一个实数解，故C正确； 对于D，设向量的公共始点为，终点分别为， 假设三点共线，则必存在实数使：， 即，整理得：， 由为非零向量，且两两不共线，可得， 所以，又， 所以，， 两式相加，，即，该方程无实数解，与题设矛盾， 故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D正确. 故选：CD. 15．如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________. 【答案】/ 【分析】设、分别为、的中点，则，由三点共线可得，此时点与点重合，最小，做直线与平行，且与半圆相切，由三点共线知点在直线上时，最大，设直线与的延长线相交于点， 设，求出，可得答案. 【详解】设为的中点，连接， 设为的中点，即点为以为直径的半圆的圆心， 则， 当点在上时，由三点共线可得，此时点与点重合， 最小，即， 做直线与平行，且与半圆相切，连接点与切点，此时最大， 即由三点共线知点在直线上时， 最大， 设直线与的延长线相交于点， 连接，则，延长与相交于点， 因为，所以为半圆的一条切线，所以， 由得， 可得为等边三角形，，所以， 由得，又，所以四边形为平行四边形， 所以，， 设，则， 由得，， 可得，， 所以， 因为三点共线，所以，可得， 所以的最大值为， 则. 故答案为：. 16．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 【经典例题五 平面向量共线定理的推论】 17．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 18．在平行四边形中，设，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．当时，点在线段上 B．当点在线段上时， C．当时，点在对角线上 D．当时，点在某线段上运动 【答案】BCD 【分析】根据向量的共线关系以及线性运算即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，, 点在线段上,A错误， 对于B，点在线段上时，存在实数使得，因此，故B正确， 对于C,当时，由可知三点共线，故点在对角线上，C正确， 对于D，在边上分别取使得， 所以,当时，则， 故三点共线，因此点在线段上运动,D正确， 故选:BCD 19．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______． 【答案】 【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题. 【详解】如图，延长交于，设，则， 因为在上，所以，即， 所以的最大值为， 设外接圆的半径为，所以， 当最大时，即最小时，即时，取最大值， 所以，解得， 此时是等腰三角形，， . 故答案为：.    20．如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解； （2）设，由及三点共线联立即可求解. 【详解】（1）因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. （2）设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 【经典例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 21．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 22．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取，∵，    ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确； 选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确； 选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确； 故选：BCD. 23．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 24．已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式； （2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；联立方程组求得的解析式；由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值. 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 25．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的 A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解. 【详解】本题采用特殊位置法较为简单. 因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有. 如图：    则有直线AM经过BC的中点， 同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点， 所以点是的重心， 故选B. 26．在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 【答案】AB 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确； 对于B，， ，即，则过的垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， ， 则，即， 由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 27．在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设，，利用向量的数量积，向量的线性运算可得，从而可得答案. 【详解】设，则由三角形性质可得：， 由条件可知： . 故答案为： 28．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 【经典例题八 余弦定理边角互化的应用】 29．设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理的式子，将函数化简为，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案. 【详解】在中，根据余弦定理， ∴， 因此函数可化为：， ∵， ∴函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点. 由此可得，对任意实数x，恒成立. 故选：B. 30．在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A．边上的中线长为2 B．为锐角三角形 C． D．的周长为12 【答案】BCD 【分析】先设边长，再根据余弦定理解三角形，结合勾股定理可以判断各个选项. 【详解】如图，在边AB上取一点D，使. 设，则，∴. ，解得，∴. 在中，， ∴，解得，∴，∴为直角三角形，B错误. CD为斜边AB上的中线，所以A正确；，C错误；的周长为，D错误. 故选:BCD. 31．如下图，中，为重心，P为线段上一点，则的最大值为______，分别是边的中点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围. 【详解】，由于，所以. 设是中点，则共线. ,. ， . 的最大值为，所以的最大值为. ， 其中，即， 所以，， . 即的取值范围是. 故答案为：； 32．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，求角C； (2)在（1）的条件下，设点D满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的定义可得，结合余弦边角关系有，进而确定a，b，c的关系，应用余弦定理求角C； （2）由（1）知是顶角为的等腰三角形，且，根据且，应用向量数量积的运算律求得，即可得. 【详解】（1）由，即，故， 所以，整理得， 由余弦边角关系得，则， 所以，即，则， 由，，故.    （2）由（1）易知：是顶角为的等腰三角形，且， 且，则， 所以，而，故. 【经典例题九 正弦定理求外接圆半径】 33．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正n边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角三角形三角函数值的关系即可得证. 【详解】设是内切圆圆心，、分别是内切圆半径、外接圆半径， 则，，，， 在中，，即，， ，即，， ， 即. 故选：D. 34．如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．四边形的面积为 C．的外接圆的周长为 D． 【答案】ABC 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 【详解】由题意得：，，A正确， ，， ，， 过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，，， 四边形的面积为，B正确 在直角三角形AEC中，， 设外接圆的半径为R，由正弦定理，解得，故外接圆的周长为，C正确； ，，， ，D错误 故选：ABC 35．在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 【答案】/ 【分析】根据条件判断为等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圆半径. 【详解】 如图，梯形内接于圆，则， 因，，，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即为的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得， 则，又由正弦定理得，即． 故答案为： 36．在圆内接四边形中，圆的半径为. (1)求的值； (2)连接，求. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补，以及两个三角形的公共边，结合余弦定理即可求出，再结合正弦定理求出外接圆半径即可； （2）拆分所求数量积，再结合三角形中的向量关系进行化简，最后代入求值即可. 【详解】（1）由余弦定理可知，， 又，所以，，， 由正弦定理可知，. （2） 由于，则， 同理，则， 所以. 【经典例题十 三角形面积公式及其应用】 37．在同一平面内，对于及半径为的圆，若的顶点满足，，，则称被圆完全覆盖.已知，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①； 条件②；条件③ ；条件④.其中，满足可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】对于①,可在中点处，通过计算中线的范围确定可被半径为1的圆完全覆盖；对于②，直接通过的外接圆半径即可判断；对于③，可计算边判断；对于④，由题可知在边上的高为，即点在距离为的直线上，把直线向下移一个单位，计算更大边的最小值即可判断. 【详解】对于①，由正弦定理（为的外接圆），所以， 即在半径的圆上，且，在优弧上运动， 设中点为，，则中线， 又，同时也存在，故①满足； 对于②，，所以，同理可得的外接圆半径，故②显然满足； 对于③，，， 所以，故③不满足； 对于④，设在边上的高为，， 所以点在距离为的直线上，设在距离为的线上， 此时，由对称性，不妨设， 则，故④不满足； 故选：A. 38．记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理推论和三角形面积公式化简得到和，联立方程组解得边长的值，根据边角关系，勾股定理，正弦定理计算验证各个选项. 【详解】因为，所以，化简得，可知， 因为，所以， 因为的面积为，所以，化简得， 联立方程组，解得或 对于A，因为，所以，A错误； 对于B，由上分析可知，B正确； 对于C，由上分析可知，C正确； 对于D，因为正弦定理，所以， 则 当，，时，， 当，，时，，D正确； 故选：BCD. 39．如图所示，在中，，是的中点，是的中点，，，，则________． 【答案】4 【分析】利用之间的关系，将所求表达式进行变形、化简，最后可求结果. 【详解】由题意得，，所以， 所以， 所以 ． 故答案为：4. 40．如图，是的边上的点，是线段上的点，，的面积是面积的2倍． (1)若的面积为的面积的倍，证明：是的外心； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式可得，，设，再由余弦定理可得，进而得到即可证明； （2）由正弦定理得，设，，则，进而得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵若的面积为的面积的倍， ， ，即， 设，由于的面积是面积的2倍，同上可得， 分别在和中，由余弦定理得， ， ，解得， ，即是的外心； （2）解：在中，由正弦定理得， ， 设，由条件知， 由（1）得， ， ，即， 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.11 平面向量及其应用40道压轴题型专训（10大题型） 题型一 向量线性的几何应用 题型二 根据向量关系判断三角形的心 题型三 数量积的运算律 题型四 平面向量基本定理的应用 题型五 平面向量共线定理的推论 题型六 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型七 向量在几何中的其他应用 题型八 余弦定理边角互化的应用 题型九 正弦定理求外接圆半径 题型十 三角形面积公式及其应用 【经典例题一 向量线性的几何应用】 1．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于 A． B． C． D． 2．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正确的是（    ） A．∠APB=120° B．∠BPC=120° C．2BP=PC D．AP=2PC 3．已知点是的内心，若，则______. 4．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【经典例题二 根据向量关系判断三角形的心】 5．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 7．已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 8．已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【经典例题三 数量积的运算律】 9．如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（    ） A．16 B． C．18 D．20 10．如图，AB是直线l同侧的两个定点，由线段AB中点为M向直线l作垂线，垂足为N，定点C，D，E在直线l上，点P是直线l上的一个动点，则命题正确的有（   ）    A．有最小值 B．有最大值 C． D．直线l上有且只有一点F（不与E重合）使得． 11．平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________.    12．已知平面上有非零向量（n为不小于4的整数），定义为“联阶解”，当大于时，，即向量到的乘积；当小于时，. (1)若，且与、均不垂直，证明：； (2)若，有（其中），证明：对于所有偶数n，恒成立. 【经典例题四 平面向量基本定理的应用】 13．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（    ） A． B． C． D． 14．设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（    ） A．关于的方程可能有两个不同的实数解 B．关于的方程至少有一个实数解 C．关于的方程最多有一个实数解 D．关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 15．如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________. 16．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【经典例题五 平面向量共线定理的推论】 17．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 18．在平行四边形中，设，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．当时，点在线段上 B．当点在线段上时， C．当时，点在对角线上 D．当时，点在某线段上运动 19．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则______． 20．如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【经典例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 21．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 23．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 24．已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【经典例题七 向量在几何中的其他应用】 25．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的 A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 26．在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A． B．若，则过的垂心 C．若，则过的重心 D．若，则过的外心 27．在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是___________. 28．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【经典例题八 余弦定理边角互化的应用】 29．设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 30．在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A．边上的中线长为2 B．为锐角三角形 C． D．的周长为12 31．如下图，中，为重心，P为线段上一点，则的最大值为______，分别是边的中点，则的取值范围是______. 32．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，求角C； (2)在（1）的条件下，设点D满足，求． 【经典例题九 正弦定理求外接圆半径】 33．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．四边形的面积为 C．的外接圆的周长为 D． 35．在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 36．在圆内接四边形中，圆的半径为. (1)求的值； (2)连接，求. 【经典例题十 三角形面积公式及其应用】 37．在同一平面内，对于及半径为的圆，若的顶点满足，，，则称被圆完全覆盖.已知，，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①； 条件②；条件③ ；条件④.其中，满足可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 38．记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（ ） A． B． C． D． 39．如图所示，在中，，是的中点，是的中点，，，，则________． 40．如图，是的边上的点，是线段上的点，，的面积是面积的2倍． (1)若的面积为的面积的倍，证明：是的外心； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $