精品解析：山东济南市名校协作体2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一下学期期中考试数学试题 一．选择题 1. 已知复数，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 则复数的共轭复数为，则的虚部为2. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则实数m的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 17 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直的坐标表示计算． 【详解】由已知，因为，所以，解得． 故选：B． 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且， 原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 4. 已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断. 【详解】选项A：若，，则或，故A错误； 选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则， 由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误； 选项C：若，，则，或，故C错误； 选项D：若，则垂直于平面内所有直线； 又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得， 又，所以，D正确. 5. 如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 3杯 B. 4杯 C. 5杯 D. 6杯 【答案】B 【解析】 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球的体积， 圆柱的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯4杯. 故选：B 6. 某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是（ ） A. 50m B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设，再根据直角三角形表示，最后根据余弦定理列式求解. 【详解】设，由，， 则，，且， 所以，得， 所以宁波天封塔的高度是. 故选：A 7. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，因为棱与底面所成的角为，则，故，则， 故该正四棱台的体积为. 故选：A. 8. 已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在侧面上，点的轨迹是，在侧面上，点的轨迹是，在底面上，点的轨迹是，求的周长即可. 【详解】连接，交于点，连接，为菱形， ，所以， ，，，均为正三角形， 所以为二面角的平面角，于是， 又因为，所以为正三角形， 所以, 取的中点，取的中点，连接， 所以，， 所以，所以平面, 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为. 故选：D 二．多选题 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】设，直接计算可判断A；根据复数减法运算和虚部概念可判断B；根据纯虚数概念列方程组求解可判断C；设，根据的几何意义求解可判断D. 【详解】对A，设，则，又因为，故A正确； 对B，若，，则，其虚部为，故B错误； 对C，若是纯虚数， 则，解得，故C错误； 对D，设，则， 即，所以复数表示的点在圆心为，半径为的圆上， 表示点到原点的距离，所以 当时，取得最大值为2，故D正确. 故选：AD 10. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可. 【详解】对于A，由及正弦定理可得，， 则， 所以，又，所以，所以， 解得，又因为，所以，故A错误； 对于B，由选项A可知，，在边上，且平分， 所以，又，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确； 对于C，由选项B可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，故C正确； 对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 二面角的正切值为 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，作出对应图形，先证明面面，再结合给定条件确定动点轨迹，求解长度，对于B，利用给定条件确定动点轨迹，求解长度，对于C，作出二面角的平面角，利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求解正切值，对于D，先找到球心，利用勾股定理得到半径，求解球的表面积即可. 【详解】对于A，如图，取中点，且连接， 因为分别是棱的中点，由中位线定理得，， 所以，而，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以，因为面， 面，所以面，因为面， 面，所以面，而， 所以面面，又是正方形内的动点， 且平面，面和面相交，是交线， 所以的轨迹为线段，由勾股定理得，故A错误， 对于B，如图，若，此时面， 所以，由勾股定理得， 所以的轨迹为在面内，以为圆心，为半径的圆弧， 所以的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，作，连接，连接， 因为正方体，分别是棱的中点， 也把的中点记为，所以是的中位线， 所以，而， 所以，而由正方体性质得面， 所以，而，面， 故面，，， 而由勾股定理得，， 由三线合一性质得是的中点，故是的中点， 即是靠近的四等分点，所以由勾股定理得，，， 而，，面面， 所以是二面角的平面角，且设该角为， 在中，由余弦定理得， 易得，所以，而， 解得(负根舍去)，所以， 所以二面角的正切值为，故C正确， 对于D，如图，取的中点，的中点，连接， 因为是棱的中点，分别是棱的中点， 所以，由勾股定理得， 而，所以，所以， 而，所以点到的距离相等， 因为，由正方体性质得面， 所以面，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，，则，又， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，在直角三角形中， 由勾股定理得，解得，， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定球心的位置，然后利用勾股定理求出球的半径，得到所要求的表面积即可． 三．填空题 12. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线时的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得， 若，则，解得. 13. 一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得剩下几何体为圆台，即计算上底半径，母线长，利用圆台的表面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的半径为，母线长为，高为，截去的小圆锥的半径为，母线长为，高为， 依题意，，则，， 又过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下的几何体为圆台， 所以，所以， 所以，，. 设圆台的母线长为，高为， 所以， 所以圆台的侧面积为：， 上底面积为，下底面积为， 所以圆台的表面积为， 故答案为：. 14. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 四．解答题： 15. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （1）求的最小值； （2）若，求实数的值； （3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的模长公式求得，再结合二次函数求最值即可； （2）利用复数的几何意义及向量垂直的坐标表示可求解； （3）利用复数的除法运算，结合第一象限点的特点，列关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 ，， 故的最小值为 【小问2详解】 由题设知， ，，解得 【小问3详解】 由题知，解得 所以实数的取值范围是 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及正弦和角公式可得，结合三角形内角的范围可得结果. （2）利用线性运算表示，根据可求出，根据面积公式求解. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【小问2详解】 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴的面积为. 17. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）证明：在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为，求的周长最大值. （3）设，若，且满足成立，求常数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理和三角形面积公式求解； （2）利用正弦定理与三角函数恒等变换求最值问题； （3）通过正弦定理列出等式进而消元求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，， 所以 因此， 所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，，又， 所以， 由（1）可知，所以， 所以的周长 ，通过差角公式得， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为. 【小问3详解】 设，则. 在中，由正弦定理得，即. 在中，由正弦定理，即. 因为， 两式作商得，，化简得 因为，所以，因此，故. 所以. . 所以. 19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （1）证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. （3）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析，四面体EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面，进而，再由，能证明平面；由平面，平面，能得到四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是． （2）由是阳马的高，得到；由是鳖臑的高，得到，由此能求出的值． （3）由面EDB与面ABCD所成二面角求出，再算出的外接圆半径与圆心到相关点的距离，设外接球球心到平面的距离，分球心与异侧、同侧两种情况列方程求，得到外接球半径，再利用球的表面积公式算出结果. 【小问1详解】 证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 因为ABCD为长方形，所以， 因为，平面PCD， 所以平面PCD，因为平面PCD，所以， 因为PD=CD，点E是PC的中点，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； 【小问2详解】 解：由已知，PD是阳马P-ABCD的高， ， 由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，， ， 在中，，点E是PC的中点， ， ． 【小问3详解】 解：取DC中点F，连接EF，过F作，连接EG； 因为E，F是PC，DC中点，所以，又平面， 所以平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，，平面EFG， 所以平面EFG，所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设，又因为，所以，所以， 所以，又EF=1，得 所以，解得， 因为CD=2，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为r，外接圆圆心为O， 则，， 过点O作，，垂足分别为M，K，连接OF， 则，， 又DF=1，所以，所以， 设球心为，设，若球心和点E位于平面DHB异侧， 则， ，三棱锥E-HBD的外接球的半径为， ， 若球心和点E位于平面DHB同侧， 则 解得（舍去）． 综上，三棱锥E-HBD的外接球的表面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期中考试数学试题 一．选择题 1. 已知复数，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知向量，，若，则实数m的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 17 D. 21 3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 4. 已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 3杯 B. 4杯 C. 5杯 D. 6杯 6. 某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是（ ） A. 50m B. C. D. 7. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二．多选题 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则的最大值为2 10. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 二面角的正切值为 D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三．填空题 12. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 13. 一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______. 14. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 四．解答题： 15. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （1）求的最小值； （2）若，求实数的值； （3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积. 17. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为，求的周长最大值. （3）设，若，且满足成立，求常数的值. 19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （1）证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. （3）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $