2027届高三数学预备轮复习之一（运算基础：集合，逻辑，不等式性质，二次不等式，基本不等式，指、对、幂计算）导学案

该高中数学高考复习学案系统覆盖集合、逻辑、不等式性质、二次不等式、基本不等式及指对幂运算等核心考点，以“概念-性质-运算-应用”为主线构建知识网络，通过问题链和例题变式引导学生自主梳理元素与集合关系、充分必要条件判定等基础概念，形成层次分明的知识体系。 亮点在于诊断性训练与方法指导结合，如设置集合子集个数计算、二次不等式解集判定等例题变式，培养学生运算能力与推理意识。通过填空梳理逻辑量词符号、表格对比全称特称命题否定，帮助学生自主诊断薄弱点。每个模块配套解题步骤指导，支持个性化复习路径，教师可依据学情精准辅导，有效提升学生自主复习效率。

高三预备轮复习之运算基础导学案 （集合逻辑不等式性质二次不等式基本不等式指对幂计算复数）2026-5-13 一、集合 1.元素与集合： （1）一个元素与集合，则或 （2）若集合中的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作 （3）若集合中的元素都是集合的元素，且集合中存在元素不属于，则称是的真子集，记作. 注：规定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 2.常见数集：、、、、 （1）包含关系：正整数集自然数集整数集有理数集合实数集 （2）实数集与数轴：每个实数对应数轴上一个点，数轴上每一个点对应一个实数. 例1．下列四个选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 变式1-1.已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 变式1-2.集合的子集有 ，其中真子集有 3 个； 3.集合的运算： （1）； （2）； （3）. 例2.已知全集，集合，集合，则： ； ； . 变式2-1已知全集，集合，集合，则： ； ， . 变式2-2.已知集合， （1）若，则 ； （2）若，则的取值范围为 ； （3）若，则的取值范围为 . 4.区间表达法：其中. （1）集合 ；（2）集合 ； （3）集合 ；（4）集合 ； （5）集合 ；（6）集合 ； 二、逻辑 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 pq A⊆B p是q的必要条件 pq A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且pq A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且pq AB p是q的必要不充分条件 P q且pq AB p是q的既不充分条件 也不必要条件 P q且pq AB且AB 例3.填空 （1）已知为“”，为“”，则是的 充分不必要 条件 （2）“”是“”的 必要不充分 条件 （3）“菱形”是“平行四边形”的 充分不必要 条件 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 例4.写出下列命题的否定： （1）已知命题为“是无理数”，则为 不是无理数 ； （2）已知命题为“，”，则为 ， ； （3）已知命题为“，使”，则为 ， . 三、不等式的性质 1. ； 2. ； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.. 例5.已知，，则的范围是 ，的范围是 . 变式5-1.已知，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 变式5-2.下列命题中，正确的是(　C　 ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则a<b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d 答案　C 四、一元二次不等式的解法： (1)将不等式化为右边为零，如“”． (2)利用二次函数的图象与轴的交点确定一元二次不等式的解集，如下三步： ①画：的示意图（开口及与对称轴的交点情况）； ②取：部分（或，，） ③写：所取部分的图像的的取值集合. 注：解集常见形式：两边，之间，全集，空集，一点，扣一点. 例6.不等式的解集为 . 变式6-1.不等式的解集是 . 变式6-2．若不等式的解集，则值是　 　 A．0 B． C．1 D．2 【答案】A[来源:学&科&网] 【解析】由题意，可得不等式的解集是， 所以是方程的两个根， 所以可得，，解得，，所以，故选：A 变式6-3．已知不等式的解集为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】∵不等式的解集为， ∴，即，即，所以.故答案为：. ___________________； 五、重要不等式与基本不等式 1.重要不等式：， 都有，当且仅当时两边相等. 2..基本不等式：，都有，当且仅当时两边相等. 例7.则求以下代数式的的最小值： （1）已知，的最小值为 2 ，的最小值为 8 ； （2）已知，的最小值为 4 . 变式7-1.均值不等式求最值： （1）已知，则的最小值为 25 ； （2）已知，且，则最小值为 . （3）已知，且，则最小值为 . 六、根式，指数式，对数式 1.根式化指数式： .特别地，（）， = . 2.指数式的运算 = ； = ； = ； = ；= ； . 3.对数式的运算： （1）定义： ； 特别的：①= 1 = 0 ；③ . （2）特殊底对数：①，以 10 为底；②，以 e 为底． 4.对数运算公式（且，,） （1）= ； （2） = （3） . （4）换底公式：，推论： 1 . 例8.求值： （1） ；（2） 1 . （3）若，则 . 变式8-1（ B ） A．0 B．1 C．-1 D．2 变式8-2.填空： （1）= ； （2） ； 变式8-3.若，则 ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三预备轮复习之一运算基础导学案2026-5-13 （集合，逻辑，不等式性质，二次不等式，基本不等式，指、对、幂计算） 一、集合 1.元素与集合： （1）一个元素与集合，则或； （2）若集合中的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作； （3）若集合中的元素都是集合的元素，且集合中存在元素不属于，则称是的真子集，记作. 注：规定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.常见数集：、、、、. （1）包含关系：正整数集自然数集整数集有理数集合实数集； （2）实数集与数轴：每个实数对应数轴上一个点，数轴上每一个点对应一个实数. 例1．下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1.已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 变式1-2.集合的子集有 ，其中真子集有 个. 3.集合的运算： （1）；（2）；（3）. 例2.已知全集，集合，集合，则： ； ； . 变式2-1已知全集，集合，集合，则： ； ， . 变式2-2.已知集合， （1）若，则 ；（2）若，则的取值范围为 ； （3）若，则的取值范围为 . 4.区间表达法：其中. （1）集合 ；（2）集合 ；（3）集合 ；（4）集合 ；（5）集合 ；（6）集合 . 二、逻辑 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念，记p，q对应的集合分别为A，B，则 例3.填空 （1）已知为“”，为“”，则是的 条件； （2）“”是“”的 条件； （3）“菱形”是“平行四边形”的 条件. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) 例4.写出下列命题的否定： （1）已知命题为“是无理数”，则为 ； （2）已知命题为“，”，则为 ； （3）已知命题为“，使”，则为 . 三、不等式的性质 1. ；2. ；3. ； 4. ；5. ；6. ； 7. . 例5.已知，，则的范围是 ，的范围是 . 变式5-1.已知，则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 变式5-2.下列命题中，正确的是(　　 ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则a<b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d 四、一元二次不等式的解法： (1)将不等式化为右边为零，如“”． (2)利用二次函数的图象与轴的交点确定一元二次不等式的解集，如下三步： ①画：的示意图（开口及与对称轴的交点情况）； ②取：部分（或，，） ③写：所取部分的图像的的取值集合. 注：解集常见形式：两边，之间，全集，空集，一点，扣一点. 例6.不等式的解集为 . 变式6-1.不等式的解集是 . 变式6-2．若不等式的解集，则值是　 　 A．0 B． C．1 D．2 变式6-3．已知不等式的解集为，则的取值范围是________. 五、重要不等式与基本不等式 1.重要不等式：， 都有，当且仅当时两边相等. 2..基本不等式：，都有，当且仅当时两边相等. 例7.则求以下代数式的的最小值： （1）已知，的最小值为 ，的最小值为 ； （2）已知，的最小值为 . 变式7-1.均值不等式求最值： （1）已知，则的最小值为 ； （2）已知，且，则最小值为 . （3）已知，且，则最小值为 . 六、根式，指数式，对数式 1.根式化指数式： .特别地，（）， = . 2.指数式的运算 = ； = ； = ； = ；= ； . 3.对数式的运算： （1）定义： ； 特别的：①= = ；③ . （2）特殊底对数：①，以 为底；②，以 为底． 4.对数运算公式（且，,） （1）= ；（2） = ； （3） . （4）换底公式：，推论： . 例8.求值： （1） ；（2） .（3）若，则 . 变式8-1. . 变式8-2.填空： （1）= ；（2） ； 变式8-3.若，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $