宁夏回族自治区银川一中2026年普通高等学校招生全国统一考试考前全真模拟卷数学试题

**基本信息** 本卷以高考全真模拟为目标，通过AI阅卷数据分析、立体几何翻折、解析几何轨迹等真实情境题，考查数学眼光下的抽象能力、数学思维中的推理意识及数学语言的数据表达，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、向量、数列等基础知识点|注重概念辨析，如充要条件判断| |多选题|3/18|统计、抛物线、正方体几何|综合考查逻辑推理，如独立性检验判断| |填空题|3/15|复数、三角恒等变换、直线与圆|强调运算能力，如三角形面积最值| |解答题|5/77|统计与概率、数列证明、函数导数、立体几何、解析几何|情境真实，如AI阅卷数据处理；层次分明，如立体几何翻折问题递进考查空间观念|

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 4．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 8．若两点关于点成中心对称，则称为一对“相关点”，同时把和视为同一对“相关点”. 已知图像上有两对“相关点”，则等于（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列选项正确的是（    ） A．若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位 B．设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强 C．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 10．已知是抛物线上不同的两点，是坐标原点，且，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．存在点，使得为直角三角形 B． C．的面积的最小值为16 D．点到直线的距离不大于4 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数的实部与虚部之差为______. 13．已知，，则______. 14．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． (1)估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； (3)已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 16．（15分） 在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 17．（15分） 已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 18．（19分） 已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 19．（19分） 已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. (1)求圆O的方程. (2)设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点Q1是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点P，Q1分别到达点P'，Q1'的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 绝密★启用前 数学试题 第1页（共5页） 试卷第2页，共5页 数学试题 第2页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组距为 ， 1分 所以平均分 ， 2分 方差 ． 4分 （2）设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B． 6分 由频率分布直方图得， 7分 所求概率为 ． 9分 （3），解得， 10分 ，解得． 11分 所以，故不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异． 13分 16．（15分） 解：（1）由，可得， 2分 又因为，所以， 3分 所以是首项为1，公差为3的等差数列. 4分 （2）由（1）知，，所以. 5分 ，① 7分 ，② 8分 ①-②得， 10分 11分 12分 ， 13分 所以， 14分 又，所以. 15分 17．（15分） 解：（1）由题可知的定义域为， （不写扣1分） 当时，， 1分 所以曲线在点处的切线方程为：． 2分 将代入上式，得，化简得． 3分 令，则，设，则， 4分 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 5分 所以，在上有唯一的零点， 所以经过点的曲线的切线仅有1条． 6分 （2）， 7分 令，得，令，得． 8分 ①当时，在上恒成立，故在上单调递增， 所以，不符合题意； 10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，解得； 12分 ③当时，在上恒成立，在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去． 14分 综上，． 15分 18．（17分） 解：（1）在菱形中，，，故，为中点，， 1分 由余弦定理得：，故， 3分 即，得，， 翻折后，仍成立， 4分 又，平面， 故平面， 5分 又平面，因此. 6分 （2）存在，为的中点，过程如下： 7分 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 8分 设，由得， 9分 由，得， 代入，解得，故， 11分 在线段上，设，得，则， 12分 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 14分 设直线与平面夹角为，则， 15分 代入计算： ，化简得，解得（舍去，超出范围）. 17分 因此存在点，为的中点满足条件. 17分 19．（17分） 解：（1）由题意知圆的半径即为点到直线的距离，即 ， 2分 所以圆的方程为. 3分 （2）（i）设,的坐标为,则在平面的正投影的坐标为， 5分 在平面的正投影的坐标为,线段在平面上的正投影的中点的坐标为 ， 7分 所以,即. 9分 由题意知,故 ，化简得. 11分 所以点M的轨迹为椭圆的一部分. 12分 （ii）由题意得， 14分 因为，所以， 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数学部分试题解析部分 1．C 解：由于，解得，所以， 又因为，所以，，故C正确． 2．A 解：若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 3．D 解：数列为正项等比数列，所以，，得. 又，得. 所以. 4．C 解：在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 5．B 解：由题设可得， ，即，结合，得， 故. 6．D 解：如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有， 故所以剩余几何体的表面积为. 7．B 解：体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 8．C 解：当时，关于点对称的函数为， 由题知与在上有两个交点， 由消得到， 又，得到，即，令，， 则的图象与直线有两个不同的交点， ，令，则， 所以在上递增，即在上递增， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上递减，在上递增， 所以，当时，， 所以其大致图象如图所示， 由图可知当时，的图象与直线有两个不同的交点，因为，所以． 9．AB 解：对于选项A：因为回归方程为， 所以当变量增加1个单位时，增加3个单位，故A正确； 对于选项B：越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强，故B正确； 对于选项C：的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故C错误； 对于选项D：回归直线不一定经过样本点，无法求参数的值，故D错误. 10．BCD 解：设，易得点， 所以，即不为直角，所以不可能为直角三角形，故A错误； 因为，所以，即， 解得（舍）或，故B正确； ，所以的面积是 ， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 设直线的方程为，由， 得，所以，所以， 解得，则原点到直线的距离，当时，等号成立， 即到直线的距离不大于4，故D正确. 11．BCD 解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，设，且，， 设平面的法向量为，则，取，则，所以平面的法向量为，若平面，则， 由，解得，不合题意， 不存在动点，使平面，故A错误； 对于B，如图，取的中点，的中点，连接，则，由正方体性质可知，故，平面，平面， 平面，， ， 因为，且平面，平面， 且平面， 平面平面，若平面，则平面， 动点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，，， 空间向量法计算点到直线的距离为， 则的面积为，显然，当与重合时，三棱锥的体积最大，则，点到平面的距离为， 三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，正方体外接球的球心为，半径， 则，则点到平面的距离为， 故球被平面所截截面圆半径， 截面圆的面积为，故D正确. 12.解：由， 所以实部与虚部之差为. 13.解：因为，所以， 可得， 因为，所以，化简得． 14.解：设点O到直线l的距离为，所以， 所以， 当时，即时，等号成立. 答案第10页，共14页 数学试题参考答案 第6页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2+2x-3<0},B={yy=g(x2+1},则AUB=() A.[0,1) B.[0,3) C.(-3,+∞) D.(1,+o) 2.已知向量a与6均为非零向量，则“a∥6”是“a+b)/a-b的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知数列{an}为正项等比数列，a,a,=4,则1log24,+log2a2+…+log2a,的值为() A.10 B.16 C.15 D.11 4.在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是() A.a=10,c=16,A=45 B.a=12,b=10,A=60 C.a=6,A=30°，b=10 D.a=6,b=6,B=30 5.在四边形ABCD中，AB=2DC,设AC=m,BD=n,则AD=() 3 B. 3 C. n.五 3 6.如图，半球O的半径为√5，从中挖去一内接圆柱OO,圆柱一个底面在半球面上，且轴 截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为() A.9π B.11元 C.15π D.19m 数学试题第1页（共5页） 7.某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、 化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上 午第五节与下午第一节不算相邻)，且体育课排在下午，则不同排法有() A.960种 B.1056种 C.3600种 D.5040种 8.若A,B两点关于点P(1,1)成中心对称，则称(A,B)为一对“相关点”，同时把(A,B)和(B,A) 视为同一对相关点”.已知aeZ,)=(:-2e<1图像上有两对相关点”，则a等于《) ax-2,x>1 A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项正确的是() A.若回归方程为)=3x-1,则当变量x增加1个单位时，增加3个单位 B.设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为”，越接近于1，说明两个变量之间 的线性相关性越强 C.利用x进行独立性检验时，x2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关 性越弱 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方 程为=0.5x+a,若其中一个散点坐标为(-a,2.5),则a=5 10.已知M,N是抛物线x2=4y上不同的两点，O是坐标原点，且OM LON,过点M,N分 别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为M1,N,则() A.存在点M,使得△OMM1为直角三角形 B.OM,·ON=-15 C.△OMW的面积的最小值为16 D.点O到直线MN的距离不大于4 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D,中，E为棱BC 的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界），则下列说法正确 D 的是() B:. A.存在动点F,使B,F⊥平面AEC F. 数学试题第2页（共5页） B.若DF/1平面A,EC,则动点F的轨迹长度为√2 C.若F平面AEC,则三棱锥F-AEC,体积的最大值为2 D.若正方体ABCD-AB,CD,的外接球为球O,则球O被平面AEC所截截面圆的面积 为将 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2复数子+中的实部与虚部之差为一 13.已知ana=2,sing=2cos(a-P),则tanB= sina 14.己知直线：y=x+m(m≠0)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，当△OAB的面积最大时， 点O到直线1的距离为， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI ◆频率组距 0.040 辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40% 0.030 仍由教师人工批阅.阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI 批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI0.010 0.005 批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图， 05060708090100分数/分 (1)估计AI批阅试卷的平均分x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表) (2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批.若 抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%：若抽到试卷分数在70分到90分之间，则 复批的概率为30%：若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%.若某同学试卷被复 批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率： (3)已知抽取的100份试卷的平均分为x=78,方差为s2=129,求人工批阅试卷的样本 平均分写和方差号，并判断A1阅卷和人工阅卷的成绩是香有明显差异.（若居-≥2， 则认为二者有差异，否则不认为有明显差异) 数学试题第3页（共5页） 16.(15分) 在数列{a}中，a=1,3a,a1+a,-a1=0(n≥2，n∈N) (1)求证： 数列 是等差数列； (2)令b,= 。2，数列{b}的前n项和为S,证明：S<4. 17.(15分) 已知函数f(o)=x2-3ax2· (1)当a=1时，判断经过点(L,-2)的曲线y=f(x)的切线有多少条： (2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为-4√2，求实数a的值. 18.(19分) 已知菱形ABCD中，B=2,ZBAD,E为边BC的中点，将△ABE沿1E翻折成 △AB,E(点B,位于平面ABCD上方)，连接B,C和BD B (I)求证：AE⊥B,C: (2)当BD=2√2时，在线段AD上是否存在点P,使得 直线CP与平面BCD所成夹角的正弦值为5？若存在，求 7 B 出P点位置；若不存在，请说明理由. 数学试题第4页（共5页） 19.(19分) 己知圆心在坐标原点的圆0与直线3x-4y+10=0相切. (1)求圆O的方程， (2)设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P,Q分 别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点Q,是点Q关于y轴的对称点将圆O的左半 部分沿着y轴翻折，使得点P,Q,分别到达点P,Q'的位置，记二面角A-OB-P的大小为 0,且0<0<π.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oz.将线段Q2'在平面 Oyz上的正投影的中点记为点M. ()证明：点M的轨迹为椭圆的一部分 (i)若0∈π，5π] 36求（①中椭圆离心率的取值范围 D O'y 数学试题第5页（共5页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数学参考答案及评分标准 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D B 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 14.√2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组距为 0×=10x0.05+0.010+0.030+0.040=0.0I5,1分 所以平均分 x=55×0.005×10+65×0.010×10+75×0.030×10+85×0.040×10+95×0.015×10=80,2分 方差 s2=(55-80)2×0.005×10+(65-80)×0.010×10+(75-80)2×0.030×10+(85-80)2×0.040×10 +(95-80)2×0.015×10=105.4分 (2)设“该同学得分低于70分”为事件4，“该同学得分在70分到90分之间”为事件A,“该 同学得分高于90分”为事件A,“该同学试卷被复批”为事件B.6分 由频率分布直方图得P(A)=0.15,P(A2)=0.7,P(A)=0.15,.7分 所求概率为 数学试题参考答案第1页（共11页） P(BI A)P(4) 0.6×0.15 P(48)=P84)P4)+P84)P(4)+P(84)P(4)0.8x0.15+0.3x0.7+0.6x0.1514 9分 (3)x=0.6元+0.42=78，解得x3=75, 10分 2=0.6[+(民-门]+0.4号+（属，-矿]=129，解得s号=150.1分 所以氏-x=5<2V +S_2W25,故不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异。 9 3 .13分 16.(15分) 解：（)由3a,a+a,-a1=0n≥2neN）,可得-1=3， 2分 an a 又因为=1，所以1…3分 41 所以日 是首项为1，公差为3的等差数列.… 4分 (2)由(1)知， 1=1+a-1x3=3n-2,所以6，=30-2 5分 s=g+2@ 7分 =份+4+7×++-2小[得，⑧8分 ①@得.2=+j+g+得+4-6-2传”0分 -(6m-2[ .11分 1- 引- .12分 2-6+4r 13分 所以Sn=4-(3n+4)× 14分 又neN(n+4x》 >0,所以Sn<4 .15分 数学试题参考答案第2页（共11页） 17.(15分) 解：(1)由题可知f(x)的定义域为[0，+0)，…（不写扣1分) 当a=1时，f(x)=x2-3x2,f'(x)= 323x支=2x2x0）,1分 2 2 23 所以曲线y=f在点(/(》处的切线方程为：y-+3x好=2(，-(x-) 2分 将-2)代入上式.得2-+3-6--小化筒得2-4+3=0. 3分 令t=Vx。,则t≥0，设g()=-41+3,则g'()=4r3-4, 4分 令g'()=0,得t=1,所以当t∈[0,1)时，g'(0<0,g()单调递减， 当t∈(L,+∞)时，g'(t)>0,g(t)单调递增， .5分 所以g()min=g()=0,g(①)在[0，+o)上有唯一的零点， 所以经过点(，-2)的曲线y=f()的切线仅有1条。6分 =2r2(x-a)）=3r-a) 2x)=r2-x-3 2vx 7分 令f'(x)<0,得x<a,令f'(x)>0,得x>a. 8分 ①当a≤0时，f'(x)≥0在(0,4]上恒成立，故f(x)在[0,4]上单调递增， 所以f(x)m=f(0)=0≠-4V2,不符合题意： 10分 ②当0<a<4时，f(x)在[0，a上单调递减，在[a,4]上单调递增， 所以fe=fa=-2a2,由-2a=-42,解得a=2: 12分 ③当a≥4时，f(x)≤0在(0,4]上恒成立，f(x)在[0,4]上单调递减， 所以f(x)m=f4=2(4-3a)≤-16<-42，不符合题意，舍去.14分 综上，a=2. .15分 18.(17分) 解：D在菱形ABCD中，48-2，∠BD-否，故∠4BE=子E为8C中点，BE=1 1分 由余法定理得：E+BE-28Eco骨=4+1-2×2x13,故1E2+BE=A0, .3分 数学试题参考答案第3页（共11页） 即AE⊥BC,得AE⊥BE,AE⊥EC,翻折后，AE⊥BE仍成立，.4分 又BE∩EC=E,B,E,ECC平面B,EC,故AE⊥平面BEC, 5分 又B,Cc平面B,EC,因此AE⊥B,C .6分 (2)存在，P为AD的中点，过程如下：.7分 以E为原点，AE为x轴，EC为y轴，Ez为z轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标：E0,0,0),A-3,0,0,C01,0),D(-V3,2,0, 8分 设B(0,y,z),z>0,由BE=1得y2+z2=1, 9分 由BD=2√2，得1BD=(-V3)2+(2-y)2+z2=8,代入y2+z2=1,解得y=0,z=1,故 B(0,0,1), .11分 P在线段AD上，设AP=AD(0≤元≤1)， 得P-5,2元，0)，则Cp=(-5,2-1,0), .12分 平面BCD中，CB=(0,-1,),CD=（-V5,1,0),设平面BCD的一个法向量为i=(x,,), CB =0 -y+z1=0 由 5x+男=0取=1得元-(5.)，问=万，…l14分 得 CD=0 1cp._万 设直线CP与平面B,CD夹角为O,则sin8= CP同7 15分 25(a-1 √ 代入计算： V3+(2元-1)27 7,化简得2-5+2=0，解得元=)（元=2舍去，超 出范围) 17分 因此存在点P,P为AD的中点满足条件. .17分 Z B 数学试题参考答案第4页（共11页） 19.(17分) 10 解：(1)由题意知圆O的半径即为点O到直线3x-4y+10=0的距离，即r= V32+42 =2, … 2分 所以圆O的方程为X2十y2=4.3分 (2)(i)设Q(X,Y,0)(X>0,Y>0),M的坐标为(0，Y',Z),则Q(X,Y,0)在平面Oz的正投影 的坐标为(0，Y,0）,5分 2'在平面Oyz的正投影的坐标为(0，Y,Xsin8),线段Qg'在平面Oyz上的正投影的中点M的 Xsinθ 坐标为 0,Y, 2 …44.7分 Y'=Y, Y=Y' 所以 Z'= sine ,即 X X= 2Z.9分 2 sine 由题意知X2+Y2=4,故 2Z' +r24,化简得0+4=1(Z>0,Y>01分 sine 所以点M的轨迹为椭圆的一部分.12分 a=1-sin'g (i)由题意得e=1- 4 14分 所以n0s1,es55es 因为0∈π，5π] 3 4 16’2 4 17分 数学试题参考答案第5页（共11页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（四） 数学部分试题解析部分 1.C 解：由于x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0,解得-3<x<1,所以A={x-3<x<1=（-3,1) 又因为lg(x2+1)≥lgl=0,所以B={yy≥0-[0，+∞)，AUB=(-3,+∞)，故C正确. 2.A 解：若a∥b,因为向量a与b均为非零向量，则存在非零实数2，使得b=λa, 所以a+b=a+a=(1+)a,a-b=a-2a=(1-2)a, 因为a+b与a-b均为非零向量a的倍数， 所以a+b与a-i共线，即(a+)/(a-),充分性成立. 若(a+b)/(a-b),当a-b=0时，a=b,所以a∥b: 当a-b≠0时，存在实数4，使得a+b=4a-b),所以(u-1)a=(u+1)b, 假设4=1，则2b=0,b=0,与b为非零向量矛盾，所以假设不成立，“≠1， 所以ā=+万，因为5为非零向量，所以a.6共线，即a/石，所以必要性成立. u-1 综上，“a∥b”是“a+b)∥(a-b)的充要条件. 3.D 解：数列{an}为正项等比数列，所以a,a1=a24o=a,a,=a4a=a5a,=a。2,aa,=4,得a6=4. 又an>0,得a。=2. 所以1og24+log2a,+…+log,a1=log2[(a,au)(a,4o)(a,a)(a4as)(a,a,）a,]=log22"=11. 4.c 解：在△ABC中，已知a、A、b,且A为锐角，如下图所示： 6 bsinA B2 数学试题参考答案第6页（共11页） 由图可知，若△ABC有两解，则bsin A<a<b, 对于A选项，a=10,c=16,A=45,则csnA=16x5-82, 所以csin A>a,此时△ABC不存在，A不满足要求： 对于B选项，a=12,b=10,A=60°，因为a>b,故△ABC只有一解，B不满足要求： 对于C选项，a=6,A=30,b=10,则bsin 4=10×号=5，所以bsind<a<b, 2 故△ABC有两解，C满足要求： 对于D选项，Q=6,b=6,B=30°，则A=B=30°，所以C=120°， 故△ABC只有一解，D不满足要求 5.B 解：由题设可得AC=AB+BC=m,BD=BC+CD=n, 2DC+BC=m,即-2CD+BC=m,结合BC+CD=元，得CD=”-m 3 AD-AC+CD=m++2m 33 6.D 解：如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R,圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2，则有R=√(2r)了+2=√5r=√5， 故r=1所以剩余几何体的表面积为S=2元R2+πR2+2π·2r=19元 7.B 解：体育课排在下午共C,种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共C2A种排法： 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共 C4种排法，再把剩下3科排在上午共A种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与 物理，共A种排法，由分步乘法计数原理共C4AA种： 所以共C2(C,A+C4AA)=2×(2×120+4×6×12)=1056种排法.故选B. 数学试题参考答案第7页（共11页） 8.C 解：当x>1时，f(x)=ax-2关于点P(1,1)对称的函数为f(x)=ax-2a+4(x<1), 由题知f(x)=ax-2a+4与y=(x-2)ex在x∈(-o,1)上有两个交点， 由y-(x-2e消y得到ax-2a+4=(K-2)e, y=ax-2a+4, 又x<1,得到4 0=e,即a=e2,9s日8.4 -2x<0,y=a, 则g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点， (x-2奶，令h()=-e+，4 4 g'(x)=-ex+ (x-2P,则h()=e-8 (x-2)3 >0x<1), 所以h(x)在(-o,1)上递增，即g(x)在(-o,1)上递增， 因为g'(0)=-1+1=0,所以当x<0时，g'(x)<0, 当0<x<1时，g(x)>0,所以g(x)在(-00,0)上递减，在(0,1)上递增， 所以g(x)≥g(0)=3,当x→-0时，g(x)→+o,g(1)=e+4, 所以其大致图象如图所示， 由图可知当3<a<4+e1时，g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点，因为a∈Z,所 以a=4. 9.AB 解：对于选项A:因为回归方程为)=3x-1, 所以当变量x增加1个单位时，增加3个单位，故A正确： 对于选项B:~越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强，故B正确： 对于选项C:x的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故C错误： 对于选项D:回归直线不一定经过样本点，无法求参数a的值，故D错误. 10.BCD 解：设M(x,),N(x2,y2),易得点M1(x,-1),N（x2,-1), 数学试题参考答案第8页（共11页） 所以kou kos三0，即∠MOM不为直角，所以4OM,不可能为直角三 角形，故A错误： 因为OM10N,所以0M-ON=0,即xx+=0,xx+至=0， 44 解得xx2=0（舍)或xx2=-16,OMON,=(x,-1)(2,-1)=xx2+1=-15,故B正确： 5=至.发=16 所 以 △OMW 的 面积 是 44 oMoN=R+居+g=4+V4+明 =24+4+均=2V6+4w+)+0 22x16+4×16(0y+g)= ,2×162+4×16+ 16 2 2y2x16+4x16x2,16 16 V2×162+4×16×8=16, 当且仅当y= 16 y 即y=为=4时，等号成立，故C正确： [y=mx+n 设直线MN的方程为y=mx+n(n≠O),由 x2=4y 得x2-4mx-4n=0,所以x+x2=4m,xx2=-4n,所以-4n=-16, 4 解得n=4,则原点O到直线MN的距离d= V1+m2 ≤4，当m=0时，等号成立， 即O到直线MN的距离不大于4，故D正确 N M M 11.BCD 解：以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 数学试题参考答案第9页（共11页） ZA D ”””” F D 则D(2,2,0),A(2,0,2),B(0,0,2),C(0,2,2),E(0,1,0), 对于A,设F(x,y,0),且xy∈[0,2]，AE=(-2,1,-2),AC-(-2,2,0),BF=(x,y,-2), 设平面AEC,的法向量为i=（x,y,z),则 i·AE=-2x+y-2z=0 ,取x=2,则y=2,z=-1, n·AC=-2x+2y=0 所以平面AEC的法向量为n=(2,2,-1),若B,F⊥平面AEC,则B,F/n, 由子解得=4，不合超意 .不存在动点F,使B,F⊥平面AEC,故A错误； 对于B,如图，取AD的中点M,CD的中点N,连接MN,则MN/IAC,由正方体性质 可知ACI1AC,故MN/IAC,MNE平面AEC,AC,c平面AEC, MN11平面AEC,M(2,1,0),D(2,2,2),DM=(0,-1,-2), 因为DM.=0,且D,M￠平面AEC,∴.D,M/平面AEC, 'DM⌒MN=M且D,M,MWc平面DMW, ∴.平面AEC/平面D,MN,若DF/I平面AEC,则D,Fc平面D,MN, ∴动点F的轨迹为线段MN,其长度为√2，故B正确； B C D A B 对于C,CE=(0,-1,-2),CA=(2,-2,0),GE=5,CE.C4=2,C4=2V2, 数学试题参考答案第10页（共11页） 2 空间向量法计算点E到直线AC的距离为 CE 3V2 2 则△4EC的面积为二×2N2×35=3,显然，当F与D重合时，三棱雏F-AEC的体积最 大，则EF=ED=(2,L,0),点F到平面AEC的距离为 EF._6=2, 3 ∴三棱锥F-AEC体积的最大值为二×3×2=2，故C正确； 对于D,:正方体ABCD-AB,CD外接球的球心为O(I,1,I),半径R=√5， EO.i 则EO=(1,0,1),则点O到平面AEC的距离为d= 3 故球O被平面AEC所截截面圆半径r=√R2-d2 -G 截面圆的面积为2-29，故D正确 1+1+i=i0-)+i0+-i+-1+i-1i+1-i=3-i 12.解：由1+i+i+i0-)子 2-12 221, 3（_1=2. 所以实部与虚部之差为2(2) 13.解：因为sinP=2cos(a-B),所以sinB=2sina(cosacoB+-sinasinB), sina 可得sinB=2 cos B.tana +sinB.tan'a） tan2q+l tan2a+1 因为ama=2,所以sinB=2cosB+号sinp, 2 化简得tanB=-4」 14,解：设点0到直线1的距离为d,所以4B=2P2-dP=24-dP, 所以5ehBd-24-ad-4-日s4-td-2, 2 当4-d2=d2时，即d=√2时，等号成立. 数学试题参考答案第11页（共11页）