2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一）数学

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1.已知全集U={x-1<x<5},C,A={x-1<x<2},则集合A=() A.{x2<x≤5} B.{x2≤x≤5} C.{x2<x<5} D.{x2≤x<5} 2.“log2a<log2b”是“a3>b3>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a,=2,S,=77,则a。=（) A.11 B.12 C.13 D.14 4.某学校派了3名老师到4个乡村学校支教，每个乡村学校只能安排一位老师授课，而每 位老师至少要去一个乡村学校且至多只能去两个乡村学校，则不同的选派方法的种数为() A.36 B.42 C.52 D.58 5.早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3 股4弦5'的问题.勾4股b弦c”指的是直角三角形的两条直角边长分别是α，b,斜边长为c. 如图，已知在长方形ABCD中，△ABD满足“勾3股4弦5”，AD=3,P为CD上一点，且 AP.DB=0,则向量AD可用向量AP,BD表示为() A.AD=9AF+5ED B.AD=7AF+HED 16 16 20 20 c0=京4-号 n.而e 9 BD -24 25 6.已知正实数a,b,c满足ae=blnb=c2,则() A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 数学试题第1页（共5页） 7.2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器， 被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自 动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时. 如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形 器中剩余沙子的高度h与时间t的函数的大致图象为() D 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(3x-2)为奇函数，f(4x-1)为偶函数，且f(-1)=2, 则觉0=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 g.若函数f)=o(c)满足对在意xeR,都有了Gf).则《) A.a=√5 B.a= 3 C.+司是偶函数 D.f(在26] 「3π7π 上单调递减 10.芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造 工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会 被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验智能检测系统运 行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入 人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经 人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标5服从正态分布N(5.40,0.052), 现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标5位于区间(5.35,5.55)，则下列 说法正确的是() (参考数据：P(-σ<5≤u+o)≈0.6826，P(u-3o<5≤+3o)≈0.9974) A.P(BA)>P(B) B.P(4|B)<P(4 B) C.P(5.35<5<5.55)≈0.84 D.若=45，则M最有可能的取值为53 数学试题第2页（共5页） 11.已知直线AB与x轴垂直，与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过C的焦点F 与x轴不垂直的直线N与C的交点为M,N,其中AI,2),直线AM与直线BN的交点为D, 过点D作圆(x-2)+0-)2=1的两条切线，切点分别为P,Q,则下列结论正确的是() A.p=2 B.△ABD的面积是定值 C.DF的最小值为2 D.co∠PD0的最小值为子 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z=7-24i,则2= 15。已知双自线乐：号票-1Q≥060的东、右供点分别为R、天，过R的直线交 的右支于P、Q两点，满足QE=2E,P,若△P耳F2、△QrE的重心分别为G、G,且G,G=2a, 则E的离心率为 14.将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2除十进制整 数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到 商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制 数的高位有效位，依次排列起来。 例如，将十进制数5转化成二进制数：5÷2=2.…1,2÷2=1…0,1÷2=01，即 十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数： 13÷2=6…1.6÷2=3..0.3÷2=1…1.1÷2=0.…1,即十进制数13转化成二进 制数为1101. 记f(m)为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数，例如5=1012，f(⑤)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(63)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{a}是等比数列，4=2,42=4，数列bn}满足：b.=2log2a. (1)求{an},{b}的通项公式： B微到列c,b求藏列3的前项和8， 数学试题第3页（共5页） 16.(15分) 已知椭圆五：x+y2 a+-1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为9，离心率e= ,且以短 2 轴为直径的圆与直线y=x+√2相切. (1)求E的方程： (2)过点P(-2,1)的直线I交E于C,D两点，若直线BC,BD的斜率都存在且不为0，将 1.1 BC,BD的斜率分别记为k,k,求 十 17.(15分) 如图，四棱锥Q-ABCD的底面ABCD是正方形，且 AD=2,0D=0A=5,0C=3 (1)求证：平面QAD⊥平面ABCD: (2)求四棱锥Q-ABCD的体积： (3)求平面BDQ与平面ADQ的夹角的正弦值， 18.(17分) 己知函数/()=血-+1，g()-= 记h()=g)-四，xe 求h(x)的最小值： (2)若8()≤1x+对任意xeR恒成立，求实数1的取值范围， 数学试题第4页（共5页） 19.(17分) 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到n的n张奖券，不同的奖券标号对应不同 的奖品，标号越大，奖品越丰厚.规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券”次，每次抽取一 张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖 券标号为X. (1)当=3，r=2时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率. (2)若n=4,r=m. ①求最终拿到标号不大于(1≤k≤4)的奖券的概率： ②求随机变量X的期望E(X)(用m表示). (3)当r=n时，证明：E(x)sn--1 2” 数学试题第5页（共5页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号1 3 4 5 6 8 答案D C B A D A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 答案 BCD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.25 13.e=33 14.192 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设等比数列{a,}的公比为9，则q==4 ≥2 .2分 a 于是4n=2×21=2”; .4分 则bn=21og24n=21og22”=271, 6分 故{a}的通项公式为a.=2”,{bn}的通项公式为b。=2n .7分 (2)由题可知c,= 11 1-1(1-1 b.·bn2n.2(n+1)4(n+1)4nn+1 9分 数列{C}的前n项和为S=G十C2十+…+C10分 G+】 11分 北) ..13分 数学试题参考答案第1页（共12页） 16.(15分) 解：(1)由题意得e=S=3 1分 a 2 又以短轴为直径的圆与直线y=x+√2相切，原点O到直线y=x+√2的距离为 60-0+回1， .2分 又a2=b2+C2,.a=2,C=3,.3分 故新圆：的方程为子+少=1 4分 (2)由(1)可知，B(0,1), 当过点P(-2,1)的直线1斜率不存在时，直线1与椭圆E只有一个交点，不合题意，舍去： .5分 当过点P(-2,1)的直线1斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x+2),6分 y-1=k(x+2) 设C(,),D(2,y2),联立 .7分 消去y整理得(1+4k2)x2+(162+8)x+16k2+16k=0, 8分 △=(16k2+8k）-4(1+4k2)162+16k）>0,解得k<0,9分 且x+x2= 1+40,=162+166 16k2+8k 1+42 10分 而直线BC的斜率为片=，直线BD的斜率为，=上」 11分 1+1=+ x1-(2+2)+x(任+2）_2x2+2(+x2) kk为-12-1k(年+2)(，+2) 6+26+2)[,+206+)+412分 又2+26k+)=2×16+162 16k2+8k16 +2 1+4k2 1+4k3 1+4k2’13分 X,+2(+)+4=16&2+16k /16k2+8k 4 +2 +4= 1+4k2 1+4k2 1+4k2,.14分 16k 1+1=1+4 =4.15分 数学试题参考答案第2页（共12页） 17.(15分) 解：(1)因为CD=2,QD=√5，QC=3,所以QC2=CD2+QD2,所以CD⊥0D,1分 又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD,因为AD,QD是平面QAD内的两条相交直线，所 以CDL平面QAD,.2分 又CDC平面ABCD,所以平面OAD⊥平面ABCD: 3分 (2)取AD的中点O,连接QO,QC,因为QD=OA,所以QO⊥AD,4分 由(1)知，平面OAD⊥平面ABCD,平面QADO平面ABCD=AD,QOc平面OAD, 所以QO⊥平面ABCD, .5分 又AD=2,gA=5,所以eo-2a-(四 =5-1=2, .6分 四边形ABCD的面积为S=2x2=4,四棱锥Q-ABCD的体积为 7分 (3)过O作OM/ICD交BC于M,则OML AD, 由(2)知OO⊥平面ABCD,又OM,ODC平面ABCD,所以OO⊥OM,OO⊥OD,8分 以O为原点，OM,OD,OO所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系， 所以0(0,0,0)，B(2,-1,0),Q(0,0,2）,D(0,1,0), 9分 故BD=(-2,2,0),QD=(0,1,-2),设平面BDQ的法向量为=(x,y,z), 则80=0 G00故{-2上-0，取y=2,则x=2,-1,故平面8D0的一个法向量为m=(22,1), 「-2x+2y=0 11分 平面QAD的一个法向量为=(1,0,0)， 12分 设平面BDQ与平面ADQ的夹角为B, 所以cos0= m2+0+0_2 .14分 所以平面BD0与平面AD0的夹角的正弦值为5 .15分 数学试题参考答案第3页（共12页） 18.(17分) 锅：aM三r1-e-s刘h[, 2分 p>03ep)0=, 从而p(国在[尽上单词道增，在1.上单调造减。 3分 从而p()sp=-1,p62mmP日ee小-1-1e 4分 因-1日1-e9=e-2--2-1e--27-20, e 则p(x)≥p(e)=1-e.令lnx-x=te[1-e,-1], 则h(x)=q)=e-1-t,te[1-e,-1,q()）=e-1,5分 从而q(t)在[1-e,-1]上单调递减， 则n(y=q)≥g()=1: 6分 ags+P音x》 当=分则≤0对任意实敏r恒成立： 1 2e2 当x>分则由。≤+分引恒成立可得 .7分 .梦到 8分 x2、 分x+分03> 1 2’9分 从而e(6在(》上单润递增，e(国)在止单调递减，10分 则e6-引26即此时产立： 11分 当<专则由陵立可得 .12分 13分 x+ 数学试题参考答案第4页（共12页） -x2-1 14分 2 从面a()在(--)上单调递减，a)在1- 上单调递增， 15分 则a(r)mm=a(-1)=2e，即此时t≤2e .16分 综上可得≤+ 1 对xeR恒成立时， 2 ≤t≤2e .17分 19.(15分) 解：(1)X=k表示最大标号为k,等价于所有抽取结果都不超过k,且至少有一次等于k, 则P(X=3)=1-P(两次都不超过2)=1 2分 P(X=2)=P(两次都不超过2)-P(两次都不超过1)= 3分 (2)①最终标号不大于k等价于m次抽取的所有结果都不大于k,每次抽到不大于k的概 率为年因此P(K≤)-（有）（k=1234) 4分 ②于Px刻Px≤Pxs优八 k=1,2,3,4,5分 随机变量X的期望得 -立x=0-周+图份门1-自4+ .7分 3)Px==P气x≤-P(x≤-=(- ,k=1,2,n, 8分 则随机变业x的跑为0必--1日+：-日门+1〔门 -民( .10分 设f)=x+1-x),x∈(0,1)，f"(x)=n[x1-1-x)； .11分 当n=1时，P(X=1)=1,E(X)=1×1=1,等号成立；12分 当m≥2时，当xe0时，f<0,f)单调递减：当xe分时.f)>0,)单 调递增， .13分 数学试题参考答案第5页（共12页） 所以)=+-≥)-子 14分 设M月+-+y .15分 又因为M ("ヅ(2y+++用所以2wa-会，所以” .6分 综上所述，E(X)sn-m-1 2 17分 数学试题参考答案第6页（共12页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数学部分试题解析部分 1.D 解：A=C,(C,A)={x∈xetA={x2≤x<5}. 2.C 解：因为y=log2x在定义域(0，+o)上是单调递增函数，所以由log2a<log,b等价于b>a>0, 由a3>b3>0可知a>0且b>0,又因为函数y=x3在(0，+m)上是单调递减函数， 所以a3>b3>0等价于b>a>0,因此，“log,a<log,b”是“a3>b3>0”的充要条件. 3.B a+d=2 解：设等差数列{a}的公差为d,则 4山047期得0=4房 11a1 2 所以ao=a+9d=3+45 =12 44 4.A 解：由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将4个单位按2：11分成三组，共有CS-6种方法： A 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有A=6种分配方法， 故共有6×6=36种选派方法. 5.D 解：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. AD=3,AB=4,A(0,0),D(0,3),B(4,0),AD=(0,3),DB=(4,-3), 设AP=(,3),AP.DB=0,AP.DB=4×2+3x(3)=0,解得1=9 4 设AD=P+D,则@)=星3+(-4)， 9 [x=16 x-4y=0 ，解得 、0,∴AD=16 AP+9BD 25 25 3x+3y=3 数学试题参考答案第7页（共12页） 6.A 解：由于ae=bnb=c2>0,所以，a>0,lnb>0,b>1 设f(x)=xe(x>0),则f'(x)=e+xe>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增， 那么ae=f(a),f(nb)=nbeb=bnb,所以，f(a@=fnb),a=nb, a-b=lnb-b,设g)=lnx-x,>1),g0w=1-1=1-x<0, 所以，g(x)在(L1,+)上单调递减，8(x)<g)=-1<0, a-b=Inb-b<-1<0,a<b, 由于a>0,b>0,c>0,那么c2-a2=blnb-(nb)=(b-nb)nb=(b-adnb>0→c>a, c2-b2=blnb-b2=blnb-b)=b(a-b)<0→c<b,综上，a<c<b. 7.D 解：依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积△V恒定， 随时间t的增大，高度h逐渐减小，沙面面积s逐渐减小， 由圆台上部大下部小，得漏出△V的沙子，随时间t的增大，高度五的变化量逐渐增大， 因此h的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC: 又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积s随h的变化规律不同， 圆锥部分比圆台部分沙面面积$更小，S减小更快，因此h的下降速度更快，图象更陡， 且下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A,选项D符合题意. 8.A 解：因为f3x-2)为奇函数，所以f(-3x-2)=-f3x-2), 令t=3x-2,则f(-t-4④=-f),即f(-x-4)=-f(x)①： 因为f(4x-1)为偶函数，所以f(-4x-1)=f(4x-1), 令5=4x-1,则f(-s-2)=f(s),即f(-x-2)=f(x), 所以f(-x-4)=-f(-x-2),所以f(x)=-f(x+2),即fx+2)=-f(x)②， 所以f(x+4)=(x),所以4是f(x)的一个周期. 由①式，取x=-2,可得f(-2)=-f(-2),即得f(-2)=0, 数学试题参考答案第8页（共12页） 又由②式，取x=-2,可得f(0)=-f(-2)=0 故f(4=f(0)=0,f(2)=f(2-4)=f(-2)=0, 由②式，取x=-1,可得f)=-f(-1)=-2,取x=1,可得f(3)=-f)=2, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-2+0+2+0=0, 则f0=507四+/e+6+1④1+/202)+/2020=/四+/a②)=-2+0=-2 9.BCD 解：对于A,B.因为对在意xR,都有/后)， 所以x=0.可了)0)51>a,A错误，B正 对于C,因为对任意xeR,都有小-()，即八)的图象关于直线x=对称。 而+)是起的图象左移个单位，所以+别 的图象关于y轴对称，即 6 x+是偶函数，C正确： 对于D.f)-5sinr+eor- 3°+3) 由[经，可得=+[石习 而y=sint在 7π5π 上单调递减，故∫(x)在 3π7π 6,-6 -2-6 上单调递减，D正确. 10.ACD 解：A,由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接 进入人工抽检合格的概率，即P(BA)>P(B),故A正确： B,由P(A)·P(B|A)>P(A)·P(B),则P(AB)>P(A)·P(B), P(AB)+P(AB)=P(A).P(BA)+P(A)P(BA)=P(A), 于是P(AB)>P(B)·「PAB)+P(AB),即P(AB)P(AB)P(B)>P(B)P(AB), 因此P4B)、P(4回即P(AB)、PA) P©P,即P四>P司，则P(4)P4到，放B错误 C,P(5.35<5<5.55)=P(5.40-0.05<5<5.40+3×0.05)=P(l-o<5<+3o) -Pu-G<5<u+o)+Pu-3a<5K4+3a06826+0.974=0.84,故C正确： 2 数学试题参考答案第9页（共12页） D,m~B(M,0.84),P(m=45)=C×0.8445×0.16“-45,设f(x)=C×0.8445×0.16-45, 网守0料01901641，解得4-526,5》52. f(+1)_C×0.845×0.16“ 21 由04081801651，解行-53+手即5， f(x)C45×0.8445×0.16-45 所以m=45取得最大值时，M的估计值为53，故D正确. 11.ABD 解：由AL,2)在C上，得p=2,抛物线C:y2=4x,焦点F(1,0),设M(:,y),N(x2,y,), 对于A,卫=2，A正确： 对于B,设MN的方程为x=y+1,由 =4得-40-4-0，则+%=4 x=y+1 (2=-4 则x+x2=4t2+2,xx2=1,(y-2)(x2-1)-(y2+2)(x1-1)=(-2)y2-(y2+2)y =-2t(y+y2)=-8t2,(x-10(x2-1)=ty2=-4t2,而点B(1,-2), 则直线AM,BN的方程分别为(-1)y-2)=(y-2)(x-1),(x2-1)(y+2)=(y2+2)(x-1), 联立消去y得-2，少%+2-少(x-)=-4,解得=-1， (x1-1)(x2-1) 因此点D在直线x=-1上，△ABD的面积是定值，B正确： 对于C,点F与直线x=-1上点的距离的最小值为2，此时该点为直线x=-1与x轴交点， 由对称性得点D不在x轴上，因此D没有最小值，C错误； 对于D,令圆(x-2)+0-1)2=1的圆心为E(2,1),则sim∠PDE= 1 DE 2 cos∠PD2=cos2∠PDE=1-2sin2∠PDE=1- 因此D取最小值3时， cos∠PD0取得最小值1-2-7 :D正确 数学试题参考答案第10页（共12页） 12.25 解：因为复数z=7-24i,所以z=7+24,所以=V7+24-25, 13.e=33 3 解：如图，G、G分别为PRR、R的重心，所以oG-0P,oG:O0, 所以△OGG2∽△OPQ,所以PQ=3GG2=6a,又：QF,=2F,P,所以PF=2a,QE=4, 由双曲线的几何性质QE-PE,=2a,Q?-PE=2a,可得PF=4a,Qr=6a, 在aRP0中，cs∠RP0=P+P0-0-(4a+(6a-(6a2_ 2FP.PO 2×4a×6a 3, aRPR中，cos∠RP0-BP+PR-RR_(4a+(2aj-(2c 2FP.PO 2×4a×2a 所以4a'+(2a-(2c_1,化简得c号a,即S-53,所以e=53 2×4a×2a 3 3 a 3 3 14.192 解：因为63=2-1，所以从0到63共有26个整数，它们可以一一对应地写成六位二进制数， 即0000002,0000012,0000102，…，1111112.其中，把1,2，…，63的二进制表示在前面补若干 个0，不会增加或减少数字1的个数：而0对应0000002，含有0个数字1， 所以把0也放进来统计，不影响f(1)+∫(2)+…+(63)的值. 下面统计这26个六位二进制数中数字1出现的总次数， 先固定某一个数位，并要求这个数位上的数字为1. 此时其余5个数位都可以任意取0或1，每个数位有2种取法， 由分步乘法计数原理，这样的六位二进制数共有2个.因此，在任意一个固定数位上，数 数学试题参考答案第11页（共12页) 字1都恰好出现2次.六位二进制数共有6个数位，所以从0000002到1111112中，数字1出 现的总次数为6.2，即192. 又因为0000002中没有数字1，所以1,2，，63的二进制表示中数字1出现的总次数仍为192， 即f(1)+(2)+…+f(63)=192. 数学试题参考答案第12页（共12页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．记为等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．某学校派了名老师到个乡村学校支教，每个乡村学校只能安排一位老师授课，而每位老师至少要去一个乡村学校且至多只能去两个乡村学校，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 5．早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3D打印复原实验，每件沙漏装满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.如图，该漏斗形器上部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子的高度与时间的函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若函数满足对任意，都有，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递减 10．芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 11．已知直线AB与x轴垂直，与抛物线交于A，B两点，过C的焦点F与x轴不垂直的直线MN与C的交点为M，N，其中，直线AM与直线BN的交点为D，过点D作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积是定值 C．的最小值为2 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数 ，则 __________． 13．已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线交E的右支于P、Q两点，满足，若、的重心分别为、，且，则E的离心率为__________． 14．将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来． 例如，将十进制数5转化成二进制数：，，，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：．．．，即十进制数13转化成二进制数为1101． 记为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数，例如，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 16．（15分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 17．（15分） 如图，四棱锥 的底面是正方形，且 ． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面BDQ与平面ADQ的夹角的正弦值． 18．（17分） 已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 19．（17分） 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 绝密★启用前 数学试题 第1页（共5页） 试卷第4页，共5页 数学试题 第4页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A D A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．25 13. 14．192 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）设等比数列的公比为，则， 2分 于是； 4分 则， 6分 故的通项公式为，的通项公式为. 7分 （2）由题可知 9分 数列的前项和为 10分 11分 . 13分 16．（15分） 解：（1）由题意得， 1分 又以短轴为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离为， 2分 又，， 3分 故椭圆的方程为. 4分 （2）由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 5分 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 6分 设，联立， 7分 消去整理得， 8分 ，解得， 9分 且， 10分 而直线的斜率为，直线的斜率为， 11分 12分 又， 13分 ， 14分 . 15分 17．（15分） 解：（1）因为，所以，所以， 1分 又底面为正方形，所以，因为是平面内的两条相交直线，所以平面， 2分 又平面，所以平面平面； 3分 （2）取的中点，连接，因为，所以， 4分 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 5分 又，，所以， 6分 四边形的面积为， 四棱锥的体积为； 7分 （3）过作交BC于M，则， 由（2）知平面，又平面，所以， 8分 以为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系， 所以，，，， 9分 故，，设平面的法向量为， 则，故，取，则，，故平面的一个法向量为， 11分 平面的一个法向量为， 12分 设平面与平面的夹角为， 所以，所以， 14分 所以平面与平面的夹角的正弦值为 15分 18．（17分） 解：（1）， 令，， 2分 ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 3分 从而 ，， 4分 因 ， 则 .令， 则， ， 5分 从而在上单调递减， 则； 6分 （2）. 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 7分 令，， 8分 ，， 9分 从而在上单调递增，在上单调递减， 10分 则，即此时； 11分 当，则由恒成立可得， 12分 令，， 13分 ，， 14分 从而在上单调递减，在上单调递增， 15分 则 ，即此时. 16分 综上可得对恒成立时， 17分 19．（15分） 解：（1）表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 2分 两次都不超过2两次都不超过1. 3分 （2）①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为，因此. 4分 ②由于， 5分 随机变量的期望得 . 7分 （3）， 8分 则随机变量的期望为 . 10分 设，， 11分 当时，，等号成立； 12分 当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增， 13分 所以. 14分 设， 15分 又因为，所以，所以． 16分 综上所述，. 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（一） 数学部分试题解析部分 1．D 解：. 2．C 解：因为在定义域上是单调递增函数，所以由等价于， 由可知且，又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于，因此，“”是“”的充要条件. 3．B 解：设等差数列的公差为，则，解得. 所以. 4．A 解：由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将个单位按分成三组，共有种方法； 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法， 故共有种选派方法. 5．D 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. ， 设，，解得. 设，则， ，解得. 6．A 解：由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ，综上，. 7．D 解：依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积恒定， 随时间的增大，高度逐渐减小，沙面面积逐渐减小， 由圆台上部大下部小，得漏出的沙子，随时间的增大，高度的变化量逐渐增大， 因此的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC； 又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积随的变化规律不同， 圆锥部分比圆台部分沙面面积更小，减小更快，因此的下降速度更快，图象更陡， 且下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A，选项D符合题意. 8．A 解：因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得，取，可得， 故， 则. 9．BCD 解：对于A，B，因为对任意，都有， 所以取，可得，A错误，B正确； 对于C，因为对任意，都有，即的图象关于直线对称， 而是把的图象左移个单位，所以的图象关于轴对称，即是偶函数，C正确； 对于D，， 由，可得， 而在上单调递减，故在上单调递减，D正确． 10．ACD 解：A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，故A正确； B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； C， ，故C正确； D，，设， ， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 11．ABD 解：由在C上，得，抛物线，焦点，设， 对于A，，A正确； 对于B，设的方程为，由得，则， 则，， ，，而点， 则直线AM，BN的方程分别为，， 联立消去y得，解得， 因此点D在直线上，的面积是定值，B正确； 对于C，点F与直线上点的距离的最小值为2，此时该点为直线与轴交点， 由对称性得点D不在x轴上，因此没有最小值，C错误； 对于D，令圆的圆心为，则， ，因此取最小值3时， 取得最小值，D正确. 12．25 解：因为复数 ，所以，所以， 13． 解：如图，、分别为、的重心，所以，， 所以，所以，又，所以，， 由双曲线的几何性质，，可得，， 在中，， 中，， 所以，化简得，即，所以. 14．192 解：因为，所以从到共有个整数，它们可以一一对应地写成六位二进制数，即．其中，把的二进制表示在前面补若干个，不会增加或减少数字的个数；而对应，含有个数字， 所以把也放进来统计，不影响的值． 下面统计这个六位二进制数中数字出现的总次数． 先固定某一个数位，并要求这个数位上的数字为． 此时其余个数位都可以任意取或，每个数位有种取法， 由分步乘法计数原理，这样的六位二进制数共有个．因此，在任意一个固定数位上，数字都恰好出现次．六位二进制数共有个数位，所以从到中，数字出现的总次数为，即． 又因为中没有数字，所以的二进制表示中数字出现的总次数仍为，即． 答案第14页，共14页 数学试题参考答案 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $