11.3 一元一次不等式组讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年七年级数学下册人教版
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内容正文：
11.3 一元一次不等式组讲义
基础知识梳理
1. 一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
要点：
只含同一个未知数
每个不等式都是一元一次不等式
不等式个数≥2
2. 一元一次不等式组的解集
几个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。
无解：没有公共部分
解集在数轴表示：取重叠区域
3. 解一元一次不等式组的步骤
①分别解出每个不等式的解集
②在数轴上表示所有解集
③找出公共部分
④写出不等式组的解集
4. 不等式组解集的四种基本类型（设 ）
① → 解集：（同大取大）
② → 解集：（同小取小）
③ → 解集：（大小小大中间找）
④ → 解集：无解（大大小小找不到）
5. 一元一次不等式组的整数解
在不等式组解集范围内的整数（正整数、负整数、0）。
6. 实际应用步骤
审题 → 设未知数 → 找不等关系 → 列不等式组 → 解不等式组 → 检验 → 作答
技巧总结归纳
1.取解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
2.含参不等式组：先画数轴，再判断端点能否取等号
3.整数解：先求解集，再筛选整数，不重不漏
4.易错点：
①端点等号判断错误
②解单个不等式时不等号方向不变号
③漏看 “整数解”“正整数解” 限制条件
典例精讲与变式训练
考点1：一元一次不等式组的定义
例题 下列不等式组：
①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【解析】①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
变式 下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解析】A、是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C、是一元二次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：B．
考点2：一元一次不等式组的解集
例题 解不等式组．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解析】，
由①得x＞﹣2，
由②得x＜1，
不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
变式 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
考点3：含参数不等式组解集
例题 若不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【分析】根据求不等式组解集的方法，即“同大取较大”可直接进行解答．
【解答】解：不等式组的解集是，
．
故答案为：．
变式不等式组无解，则的取值范围是 ．
【分析】根据不等式组无解的条件确定出的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
考点4：一元一次不等式组的整数解
例题 解不等式组，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和．
【分析】先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集，求出所有整数解的和即可．
【解答】解：．
解得不等式①得：．
解得不等式②得：．
所以不等式的解集为．
在数轴上表示如下：
所有整数解的和为：．
变式 1解不等式组，并写出它的正整数解．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是，
不等式组的正整数解是1，2．
变式 2已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．
【解析】解不等式2，得：x≥4+m，
解不等式x﹣4≤3（x﹣2），得：x≥1，
∵不等式组的最小整数解是2，
∴1＜4+m≤2，
解得﹣3＜m≤﹣2，
故选：B．
考点5：不等式组的实际应用
例题 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元．购进3件A种商品和2件B种商品共需210元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于14件，该商店有几种进货方案？
【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元．购进3件A种商品和2件B种商品共需210元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（40﹣m）件，根据“购进两种商品的总价不超过1560元，且购进A种商品的数量不低于14件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出进货方案的个数．
【解析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元．
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（40﹣m）件，
依题意得：，
解得：14≤m≤18．
又∵m为整数，
∴m可以取14，15，16，17，18，
∴该商店有5种进货方案．
变式 西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角（30﹣x）个，根据“学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出各组建方案；
（2）利用总价＝单价×数量，分别求出3个组建方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角（30﹣x）个，
依题意得：，
解得：18≤x≤20，
又∵x为整数，
∴x可以取18，19，20，
∴共有3种组建方案，
方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）选择方案1的费用为860×18+570×12＝22320（元）；
选择方案2的费用为860×19+570×11＝22610（元）；
选择方案3的费用为860×20+570×10＝22900（元）．
∵22320＜22610＜22900，
∴方案1费用最低，最低费用是22320元．
考点6：新定义问题
例题 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可；
（3）首先解关于、的方程组即可求得、的值，然后根据，，且为整数即可得到一个关于的范围，从而求得的整数值；
【解答】解：（1）不等式的解集为，
与存在“雅含”关系，是的“子式”；
（2）不等式的解集为，不等式的解集为，且是的“子式”，
，
解得；
（3）由求得，
，，
，
解得，
为整数，
的值为，0，1，2；
不等式整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式的解集是全体实数，
与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
②当时，不等式的解集为，
不能满足与存在“雅含”关系，
③当时，不等式的解集为，
与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
，且，
解得，
，
综上的值为0或1．
变式 阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．
(1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________．
(2)芳对于正整数m、n，满足，求的值；
(3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解；
（2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解；
（3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
根据题意得：，
解得：；
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，
，
是正整数，
，或
；
（3）解：由题意可得，
，
得：，解得：，
将代入②，得：，
解得，
均为非负数，
，
解得．
易错提醒
1.解不等式时，两边除以负数必须变号
2.不等式组解集取公共部分，不是合并
3.含参问题注意端点是否能取等号
4.整数解要按范围逐个写出，不跳数
题型一．一元一次不等式组的定义
1．（2025春•浦东新区期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此逐项判断即可．
【解答】解：A中两个不等式所含未知数不同，不符合题意，
B中第二个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
C中不等式符合一元一次不等式组的定义，符合题意，
D中第一个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：C．
2．（2025春•同步）下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义可知①②⑥是一元一次不等式组．
故选：C．
3．（2025春•同步）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 ③④ ．（填序号）
①；②；③；④；⑤．
【答案】③④．
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
叁和④是是一元一次不等式组；
不是整式，故⑤不是一元一次不等式组；
所以是一元一次不等式组的是③④．
故答案为：③④．
4．（2025春•同步）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为x≤8；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x≥0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．
【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为x≥0，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中x的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
题型二．解一元一次不等式组
5．（2026春•太原期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≤﹣3，
∴原不等式组的解集为：x≤﹣3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
6．（2026春•永春县期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3＜m≤2 D．﹣1≤m＜3
【答案】B
【分析】根据题意，得出关于m的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由2x﹣1≤m得，x，
由x+3＞2得，x＞﹣1．
因为该不等式组无解，
所以，
解得m≤﹣3．
故选：B．
7．（2025•鼓楼区校级模拟）已知非零实数a、b，且a＞b，则不等式组的解集不可以是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】对a、b正负性进行分类讨论，灵活运用不等式性质排除合理选项，即可判断求得答案．
【解答】解：A、若a＞0，b＞0且a＞b，则，ax＜1的解为x，bx＜1的解为x，此时的解集为x，A可能是不等式解集，故不选A；
B、若a＜0，b＜0且a＞b（如a﹣1，b＝﹣2），ax＜1的解为x，bx＜1的解为x，因为a＞b（同为负），则，此时的解集为x，B可能是不等式解集，故不选B；
C、若a＞0，b＜0且a＞b（如a﹣1，b＝﹣2），ax＜1的解为x，bx＜1的解为x，此时解集为x，C可能是不等式解集，故不选C；
D、分情况讨论：若a＞0，b＞0时，解集为x，有解，
若a＜0，b＜0，解集为x，有解，
若a＞0，b＜0，解集为x，有解，
综上，不等式组不可能无解，故选D．
故选：D．
8．（2025•合肥校级一模）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得2﹣m＜x＜n+4，从而可得2﹣m＝1，n+4＝2，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞2﹣m，
解不等式②得：x＜n+4，
∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4，
由条件可知2﹣m＝1，n+4＝2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1，
故选：A．
9．（2026春•新安县期中）已知关于x的不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1
【答案】D
【分析】分别表示出不等式组中两不等式的解集，由已知解集，利用取解集的方法确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＞2，得到a+1≤2，
解得：a≤1，
则a的取值范围是a≤1，
故选：D．
10．（2026春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】A
【分析】依据题意，先分别解两个不等式，得到x＞3和x≥a，由于解集为x≥a，则需满足a＞3即可．
【解答】解：由题意，∵，
∴解不等式2（x﹣1）＞4得，x＞3；
解不等式x﹣a≥0得，x≥a，
∵不等式组的解集为x≥a，
∴a＞3，
故选：A．
11．（2026春•上海期中）不等式组解集是 ﹣4≤x＜5 ．
【答案】﹣4≤x＜5．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5．
故答案为：﹣4≤x＜5．
12．（2026春•杨浦区期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是a＞1 ．
【答案】a＞1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：，
由不等式①得：x＞﹣a，
由不等式②得：x≤2a﹣3，
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴﹣a＜2a﹣3，
解得a＞1，
故答案为：a＞1．
13．（2026春•房山区期中）定义一种新运算“⋆”．规定m⋆n＝m﹣3n．若关于x的不等式组的解集为x＞9，则a的取值范围是a ．
【答案】a．
【分析】根据新运算法则得出不等式组，然后求解，再根据其解集即可确定a的取值范围．
【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得x＞9，
解不等式②，得x＞4a，
∵关于x的不等式组的解集为x＞9，
∴4a≤9，
解得a，
故答案为：a．
14．（2026春•台江区校级期中）解不等式组：．
【分析】分别解不等式组中的两个一元一次不等式，再取它们解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥﹣3，
解不等式②得，x，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x．
15．（2025春•老河口市期末）解不等式组：．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：∵由2x+3≥x+11得：x≥8，
由2﹣x得：x，
∴不等式组无解．
16．（2026春•鲤城区校级期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出该解集即可．
【解答】解：将第一个不等式去括号得：2x+2≤x+3，
移项，合并同类项得：x≤1，
将第二个不等式去分母得：x﹣1＞﹣3，
移项，合并同类项得：x＞﹣2，
故原不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
在数轴上表示该解集如下图所示：
．
17．（2026春•嵩县期中）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解．
【分析】先分别解两个不等式，再取它们的公共部分得到解集，最后在数轴上表示解集并找出其中的整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
把解集在数轴上表示如图所示：
，
∴整数解为：0，1，2．
18．（2026•河西区一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】（I）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求出不等式的解集；
（Ⅱ）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求出不等式的解集；
（Ⅲ）根据两个不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（Ⅳ）找出它们的公共部分即可得出不等式组的解集．
【解答】解：（I）解不等式①，得x≤1，
故答案为：x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，
故答案为：x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
19．（2026春•洛宁县期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0，列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：解，得，∵x＞1，y＜0，∴，解得 0＜a＜2 ．
（2）请按照（1）中的方法，完成下列问题：已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（2）设x+y＝b，构成方程组解得：，进一步得出，解得2＜b＜6．则2＜x+y＜6．
【解答】解：（1）解不等式，得：a＞0，
解不等式，得：a＜2，
则0＜a＜2；
故答案为：0＜a＜2；
（2）设x+y＝b，
由题意，得，
解得，
∵x＞3，y＜1，
∴，
解得2＜b＜6，即2＜x+y＜6．
20．（2025春•赫山区校级期中）阅读材料：解不等式（x+2）（x﹣3）＞0，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解．
解：（x+2）（x﹣3）＞0，转化为①或②，解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜﹣2．
∴原不等式（x+2）（x﹣3）＞0的解集是x＞3或x＜﹣2．
请你仿照上面的方法，解下列不等式：（x+7）（2x+8）＞0．
【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案．
【解答】解：解不等式 （x+7）（2x+8）＞0，分两种情况：
①，
解得x＞﹣4．
②，
解得x＜﹣7．
∴原不等式的解集是x＞﹣4或x＜﹣7．
21．（2026春•延庆区期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”．
例如：已知方程2x﹣6＝0和不等式x﹣2＞0，对于未知数x，当x＝3时，使得2×3﹣6＝0，x﹣2＝3﹣2＝1＞0同时成立，则称x＝3是方程2x﹣6＝0与不等式x﹣2＞0的“伴随解”．
（1）x＝2是否是方程2x﹣4＝0与不等式2（x+3）＜4的“伴随解”？ 否 ．（填“是”或“否”）
（2）x＝1是方程3x﹣2＝1与不等式（组）①，②，③中 ② 的“伴随解”．（只填序号）
（3）如果x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0与关于x的不等式组的“伴随解”，那么a＝ 2 ，b的取值范围是b≥4 ．
（4）如果x＝n是关于x的方程2x+3m＝2与关于x的不等式组的“伴随解”，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据“伴随解”的定义进行判断即可；
（2）根据“伴随解”的定义依次进行判断即可；
（3）根据“伴随解”的定义进行计算即可；
（4）根据“伴随解”的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由2x﹣4＝0得，x＝2，
当x＝2时，2×（2+3）＝10＞4，
所以x＝2不是不等式2（x+3）＜4的解，
所以x＝2不是方程2x﹣4＝0与不等式2（x+3）＜4的“伴随解”．
故答为：否；
（2）由3x﹣2＝1得，x＝1，
由得，x＞7，
则x＝1不是该不等式的解；
由得，x＜2
则x＝1是该不等式的解；
由得，2＜x＜5，
则x＝1不是该不等式组的解，
所以x＝1是方程3x﹣2＝1与不等式②的“伴随解”．
故答案为：②；
（3）由题知，
2﹣a＝0，
解得a＝2．
由得，x＜2，
由1﹣3（x﹣a）≤b得，x，
则，
解得b≥4．
故答案为：2，b≥4；
（4）由题知，
2n+3m＝2，
则m．
由得，
，
所以n的取值范围是．
22．（2026春•临泉县月考）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程2x﹣3＝1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： ②③ （直接填写序号）．
①2x﹣3＞4x+1；
②2（x+1）﹣1≥5；
③．
（2）若是方程组与不等式x﹣y＞1的“理想解”，求q的取值范围．
（3）若关于x，y的方程组与不等式x+2y≥a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
【分析】（1）先解方程2x﹣3＝1，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可；
（2）解方程组求出，再代入不等式x﹣y＞1，求出q的取值范围；
（3）解方程组，用含有a的代数式表示x，y，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）3x﹣5＝1，
3x＝6，
x＝2，
①2x﹣3＞4x+1，
2x﹣4x＞3+1，
﹣2x＞4，
x＜﹣2；
∴x＝2不是此不等式的解；
②2（x+1）﹣1≥5，
2x+2﹣1≥5，
2x+1≥5，
2x≥4，
x≥2，
∴x＝2是此不等式的解；
③，
由①得：3x﹣5＞2x﹣6，
3x﹣2x＞5﹣6，
x＞﹣1，
由②得：x+1≤3，
x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴x＝2是此不等式组的解；
∴方程3x﹣5＝1的解是此方程与②③的“理想解”，
故答案为：②③；
（2）∵是方程组与不等式x﹣y＞1的“理想解”，
∴，m﹣n＞1，
解方程组，得：，
∴q﹣1﹣（﹣3）＞1，
∴q＞﹣1，
即q的取值范围为q＞﹣1；
（3）解方程组，得：，
∵关于x，y的方程组与不等式x+2y≥a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），
∴，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：a＜4，
解不等式③，得：a≥1，
∴不等式组的解集为1≤a＜4，
即a的取值范围1≤a＜4．
23．（2025春•遂平县期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4＝2的解为的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝﹣1在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x+4＝2是的“子方程”．
【问题解决】（1）在方程①4x﹣5＝x+7，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 ①② （填序号）；
（2）者关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程4x+4＝0是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答；
（2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解；
（3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可．
【解答】解：（1）解方程4x﹣5＝x+7得：x＝4，
解方程得：，
解方程2x+3（x+2）＝21得：x＝3，
解不等式组得：3＜x≤5，
所以不等式组 的“子方程”是①②．
故答案为：①②；
（2）解不等式5x﹣7＞11﹣x，得：x＞3，
解不等式2x≥3x﹣6，得：x≤6，
则不等式组的解集为3＜x≤6，
解方程2x﹣k＝4，得，
由题意，得，
∴6＜k+4≤12，
解得：2＜k≤8；
（3）解方程4x+4＝0，得：x＝﹣1，
解不等式组得：，
∴不等式组得解集为，
∴x＝﹣1在范围内，
∴，
解得：m≤6．
24．（2026春•鲤城区校级期中）【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式x＜5的一个子集式不等式：x＜1．（答案不唯一） ；
（2）已知不等式组A：，不等式组B：，不等式组M：，则其中不等式组A 是不等式组M的子集式不等式组（填A或B）；
（3）若关于x的不等式组P：有解且是不等式Q：（x﹣1）（x﹣7）＜0的子集式不等式组，求a的取值范围；
（4）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，求的最大值．
【分析】（1）根据定义写一个任意一个解都是不等式x＜5的一个解的不等式即可；
（2）分别求得三个不等式组的解集，看A和B两个不等式组中哪个不等式组的解集的任意一个解，都是不等式组M的一个解即可；
（3）求不等式（x﹣1）（x﹣7）＜0的解集为1＜x＜7，根据关于x的不等式组P：有解且是不等式Q：（x﹣1）（x﹣7）＜0的子集式不等式组，可得，求解即可；
（4）易得不等式组的解集．根据不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，可得m和n的取值范围，进而根据m，n为正整数，则m最大为2，n最小为10，相除即可得到的最大值．
【解答】解：（1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜5的一个解，
∴不等式x＜5的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）．
故答案为：x＜1．（答案不唯一）．
（2）解不等式组A得：4＜x＜5；
解不等式组B得：2＜x＜7；
解不等式组M得：3＜x＜6．
∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，
∴不等式组A是不等式组M的子集式不等式组．故答案为：A．
（3）∵关于x的不等式组P：有解，
∴不等式组的解集为2a﹣1＜x＜a+3，
∵不等式（x﹣1）（x﹣7）＜0的解集为1＜x＜7，
又∵关于x的不等式组P：是不等式Q：（x﹣1）（x﹣7）＜0的子集式不等式组，
∴，
解得1≤a≤4．
（4）∵不等式组G：有解，
∴解集为：，
∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，
∴，
解得，
∵m，n为正整数，
∴m最大为2，n最小为10．
∴的最大值为．
题型三．一元一次不等式组的整数解
25．（2026•香坊区校级开学）不等式组的负整数解是（ ）
A．﹣2，0，﹣1 B．﹣2 C．﹣2，﹣1 D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数．
【解答】解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，
∴该不等式组的负整数解是﹣2，﹣1．
故选：C．
26．（2026春•兴宁市期中）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1
【答案】A
【分析】根据不等式组的3个整数解即可求得答案．
【解答】解：关于x的不等式组有3个整数解，
那么这3个整数解必为2，1，0，
则﹣1≤a＜0，
故选：A．
27．（2025秋•章丘区期末）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的整数解只有4个，
∴整数解为1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜m≤﹣2．
故选：B．
28．（2026春•庐阳区校级期中）已知关于x的不等式组的所有正整数解的和是9，则a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2
【答案】C
【分析】根据题意得出一元一次不等式组的整数解是2，3，4，即可得出a的取值范围．
【解答】解：根据题意得一元一次不等式组的正整数解是2，3，4，
所以a的取值范围是1≤a＜2，
故选：C．
29．（2025春•阿荣旗期末）已知关于x的不等式组的解集中恰好有两个整数，则m的取值范围是（ ）
A．2≤m≤3 B．2≤m＜3 C．2＜m≤3 D．2＜m＜3
【答案】C
【分析】先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可．
【解答】解：解不等式3x﹣5≥m，得x，
所以不等式组的解集是x＜m+2，
∵不等式组的解集中恰好有两个整数，
∴设相邻的两个整数分别为n和n+1，
∴，
即，
∴3n﹣8＜n，3n﹣5＞n﹣1，
解得2＜n＜4，
∴n＝3，
∴，
∴2＜m≤3．
故选：C．
30．（2025春•市中区校级期中）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．15 B．21 C．﹣6 D．24
【答案】A
【分析】求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：
解不等式①得：x≤6，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组的所有整数解之和等于20，
即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴，或，
解得：6≤a＜9，或﹣3≤a＜0，
∴a的整数值可以是6、7、8，或﹣3，﹣2，﹣1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为15，
故选：A．
31．（2025•让胡路区校级一模）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
【答案】B
【分析】解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出a≥﹣5，且为整数，由不等式的解集得出a≤﹣3，进而即可求解．
【解答】解：，
解得：，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴，
解得：a≥﹣5，且为整数，
关于x的不等式组整理得：
，
∵不等式组的解集为x≥1，
∴a+4≤1，
解得：a≤﹣3，
∴﹣5≤a≤﹣3且为整数，
∴a＝﹣5，﹣3，
于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8．
故选：B．
32．（2025秋•玉环市期末）定义：符号T（a，b，c，d）＝ad﹣bc，例如：T（1，2，3，4）＝1×4﹣3×2＝﹣2，若关于m的不等式组，恰好有4个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．6＜k＜13 B．6＜k≤13 C．6≤k＜13 D．6≤k≤13
【答案】B
【分析】根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
由①得：m≥﹣1，
由②得：m，
∵关于m的不等式组，恰好有4个整数解，
∴2，
∴6＜k≤13，
故选：B．
33．（2026春•佛山校级期中）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 0 ．
【答案】0．
【分析】由数轴，可得该不等式组的解集为0≤x＜1，即可得到该不等式组的整数解．
【解答】解：由数轴可得解集为0≤x＜1，
故该不等式组的整数解为0．故答案为：0．
34．（2026春•永春县期中）不等式组的整数解有 5 个．
【答案】5．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≥﹣1，
由②得x＜4，
所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
因此满足原不等式组的整数解有﹣1，0，1，2，3共5个．
故答案为：5．
35．（2026春•房山区期中）满足不等式﹣10≤3x﹣7＜2的所有整数解是 ﹣1，0，1，2 ．
【答案】﹣1，0，1，2．
【分析】根据题意，求出不等式组的解集，据此得出所有整数解即可．
【解答】解：由题知，
﹣10≤3x﹣7＜2，
﹣3≤3x＜9，
﹣1≤x＜3，
所以满足不等式﹣10≤3x﹣7＜2的所有整数解是﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣1，0，1，2．
36．（2026春•嘉定区期中）若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是 19≤a＜22 ．
【答案】19≤a＜22．
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“唯一整数解为 x＝7”确定 a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣3＞1，
移项得x＞4，
解不等式3x﹣2≤a，
移项得3x≤a+2，
两边同除以3得x，
∴结合两个解集，不等式组的解集为：4＜x，
∵不等式组只有一个整数解x＝7，则整数解只能是7，因此：78，
解左边不等式：a≥19，
解右边不等式：a＜22，
综上，19≤a＜22．
故答案为：19≤a＜22．
37．（2025春•伊犁州期末）若a⊕b＝6a﹣2b，则不等式组的整数解的和为 36 ．
【答案】36．
【分析】根据新定义把转化为一元一次不等式组求解即可．
【解答】解：由得，
解①得，
解②得x＜9，
∴，
∴整数解为1，2，3，4，5，6，7，8，
∴整数解的和为1+2+3+4+5+6+7+8＝36．
故答案为：36．
38．（2026春•合肥期中）关于x的不等式组．
（1）若a＝﹣1，则不等式组的整数解是x＝﹣5 ．
（2）若不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤2的范围中，则a的取值范围是a＜1 ．
【分析】（1）先求出不等式组的解集为2a﹣4＜x＜a﹣3，再代入a＝﹣1求解整数解，
（2）结合题意列出关于a的不等式组，求解即可得到a的取值范围．
【解答】解：解不等式a﹣2（x﹣1）＞5﹣x得x＜a﹣3，
解不等式得x＞2a﹣4，
因此不等式组的解集为 2a﹣4＜x＜a﹣3，
（1）当a＝﹣1时，解集为 2×（﹣1）﹣4＜x＜﹣1﹣3，即﹣6＜x＜﹣4，
所以不等式组的整数解为﹣5；
（2）∵不等式组有解，
∴2a﹣4＜a﹣3，
解得 a＜1，
∵不等式组的所有x均不在﹣2≤x≤2的范围中，
∴解集2a﹣4＜x＜a﹣3 与﹣2≤x≤2无公共部分，分两种情况讨论
当a﹣3≤﹣2时，
解得a≤1，
∵a＜1，
∴a＜1；
当2a﹣4≥2 时，
解得a≥3，
∵a＜1，
此时无公共解
综上，a的取值范围为a＜1；
故答案为：﹣5，a＜1．
39．（2026春•开州区期中）求不等式组：的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，
【解答】解：解不等式5﹣3x≤x+9得：x≥﹣1，
解不等式1＞2x得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
40．（2026春•杨浦区校级期中）解不等式组：，并写出所有负整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x≤1，
故不等式组的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1．
41．（2026春•浦东新区校级期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣1≥3x﹣6得：x≥﹣2.5，
由x得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2.5≤x≤2，
所以不等式组的最小负整数解为﹣2．
42．（2026春•杨浦区校级月考）已知关于x的不等式组．
（1）当a＝﹣2时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来；
（2）如果不等式组只有3个整数解，求a的取值范围．
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出0≤a+1＜1，求出a的范围即可．
【解答】解：（1），
由①，得x＞a+1，
∵a＝﹣2，
∴x＞﹣1；
由②，得x≤2，
故不等式组的解集是﹣1＜x≤2；
在数轴上表示如下：
；
（2）
由①，得x＞a+1，
由②，得x≤2，
∴不等式组的解集为a+1＜x≤2，
∵该不等式组只有3个整数解，
∴该不等式组的3个整数解为2，1，0，
∴﹣1≤a+1＜0，
解得﹣2≤a＜﹣1．
43．（2026春•信宜市期中）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）．
（1）观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得3x+3y＝ 3+m （用含m的代数式表示结果）．
（2）若方程组的解满足不等式x+y＞0，求m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若不等式（6m+1）x﹣6m＜1的解集为x＞1，请求出整数m的值．
（4）若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，将两式相加即可；
（2）根据题意，得出关于m的不等式，再据此进行求解即可；
（3）根据题意，得出6m+1＜0，再结合（2）中的结果求出整数m的值即可；
（4）根据题意，得出关于a的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：（1）由题知，
两式相加得，3x+3y＝3+m．
故答案为：3+m；
（2）∵x+y＞0，
∴3+m＞0，
∴m＞﹣3；
（3）由（6m+1）x﹣6m＜1得，
（6m+1）x＜6m+1，
∵该不等式的解集为x＞1，
∴6m+1＜0，
∴m．
又∵m＞﹣3，
∴﹣3＜m，
∴整数m的值为﹣2，﹣1；
（4）由题意，∵x＜a+1，且x，
∴x＜a+1．
又∵解集恰好含有两个整数，
∴2＜a3，
解得4＜a≤6．
故a的取值范围是4＜a≤6．
44．（2026春•鲤城区校级期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程2x﹣1＝1是不等式x+1＞0的“偏解方程”，因为方程2x﹣1＝1的解x＝1可使得x+1＝2＞0成立；方程组是不等式2x+3y＞15的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得2x+3y＝17＞15成立．
（1）方程3x+2＝﹣1是下列不等式（组）中 ①③ （填序号）的“偏解方程”；
①2x+1＜3x+3；②3（x+3）≥9；③；
（2）已知关于x，y方程组是不等式x﹣y＞0的“偏解方程组”，求a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程x+b＝0是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可；
（2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入x﹣y＞0得到关于a的一元一次不等式，再求解即可；
（3）先解不等式组得b﹣10≤x＜2b﹣9，再由‘恰有6个整数解’的条件求得4.5＜b≤5.5，由‘偏解方程’的定义得到3＜b≤5，取两个范围的交集即可．
【解答】解：（1）3x+2＝﹣1，解得x＝﹣1，
①2×（﹣1）+1＜3×（﹣1）+3成立，故符合题意；
②3（﹣1+3）≥9不成立，故不符合题意；
③成立，故符合题意，
∴方程3x+2＝﹣1是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”，
故答案为：①③；
（2）解方程组得，
∵方程组是不等式x﹣y＞0的“偏解方程组”，
∴（2a﹣1）﹣（a+2）＞0，
解得a＞3；
（3）解不等式组得b﹣10≤x＜2b﹣9，
∵关于x的方程x+b＝0是它的“偏解方程”，
∴b﹣10≤﹣b＜2b﹣9，
解得3＜b≤5，
∵不等式组恰有6个整数解，
∴设6个整数解为k，k+1，k+2，k+3，k+4，k+5，
由题意得，k﹣1＜b﹣10≤k＜k+5＜2b﹣9≤k+6，
∴，
解得，
∵b有解，
∴，
解得﹣6＜k＜﹣3，
∴k的整数解为﹣5或﹣4，
当k＝﹣5时，，
∴4.5＜b≤5，
当k＝﹣4时，，
∴5＜b≤5.5，
∴4.5＜b≤5.5，
又∵3＜b≤5，
∴4.5＜b≤5．
题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式组
45．（2026春•闵行区校级月考）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C． D．
【答案】C
【分析】易得学生总人数，有一间宿舍不空但所住的人数不足5人是一个宿舍人数比0多，比5人少，关系式为：总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数＞0；总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数＜5，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
由题意得：，
故选：C．
46．（2026春•长清区月考）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买排球（30﹣x）个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【解答】解：设购买篮球x个，则购买排球（30﹣x）个，
由题意得，
故选：C．
47．（2026春•七里河区期中）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表：
原料甲
原料乙
A型
0.5千克/个
0.3千克/个
B型
0.2千克/个
0.4千克/个
已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
48．（2026春•松江区期中）把一些奖品分为若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少个？设有x名学生，依题意可列不等式 ．
【答案】．
【分析】设学生有x人，则有奖品（3x+7）本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式即可．
【解答】解：设学生有x名，根据题意得：，
故答案为：．
49．（2026春•西城区校级期中）某市地铁票收费标准如下：不超过6km3元；超过6km到12km（含）4元；超过12km到22km（含）5元；超过22km到32km（含）6元；超过32km部分，每增加1元可再乘坐20km．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为xkm，用不等式表示x的范围 72＜x≤92 ．
【答案】72＜x≤92．
【分析】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了9元（即按里程计算超过8元且不超过9元），可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：32+20×（8﹣6）＜x≤32+20×（9﹣6），
解得：72＜x≤92．
故答案为：72＜x≤92．
50．（2025春•闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ．
【答案】．
【分析】先求出原咖啡液浓度，再依据“调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%”列不等式组即可．
【解答】解：根据题意，知原来咖啡液浓度为100%＝6%，
可列不等式组为，
故答案为：．
题型五．一元一次不等式组的应用
51．（2026春•南岗区校级期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（ ）名同学．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】设共有x名同学，则书本总数为（3x+8）本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果．
【解答】解：设共有x名同学，则书本总数为（3x+8）本，
由题意可得：
化简第一个不等式得x＜6.5，
化简第二个不等式得x＞5，
因此不等式组的解集为5＜x＜6.5，
∵x为正整数，
∴x＝6．
故选：A．
52．（2025秋•龙泉市期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（ ）
A．33 B．32 C．31 D．30
【答案】A
【分析】根据第一次不停止、第二次停止列不等式组，求出不等式组的解集，然后根据x为整数得出最大值和最小值即可．
【解答】解：设输入为x，根据题意可列不等式组：
原不等式组解集为：x≤24，
x取整数，输入的x的最大值m是24，最小值n为9．
∴m+n＝33．
故选：A．
53．（2026春•闵行区校级月考）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ）
A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20
【答案】B
【分析】根据题意可得平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可．
【解答】解：一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．
由题意得，平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，
∴，
解得15≤m＜25，
故选：B．
54．（2026•涪城区二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是 270 元．
【答案】270．
【分析】本题先通过列二元一次方程组求解出单艘大船和小船的租金，再根据人均租金判断优先多租大船更划算，列举所有满足载客要求的租船方案，对比各方案费用得到最小值．
【解答】解：设租借1艘大船需要x元，租借1艘小船需要y元，租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，
根据题意列方程组得
解得，．
因此单艘大船租金为40元，单艘小船租金为30元，
设租大船m艘，小船n艘，总费用为W元，根据题意得8m+5n≥52，其中m，n为非负整数，总费用W＝40m+30n，
计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用：
当m＝7时，7×8＝56≥52，W＝40×7＝280元；
当m＝6时，8×6＝48，剩余4人需租1艘小船，满足载客要求，此时W＝6×40+1×30＝270元；
当m＝5时，8×5＝40，剩余12人需租3艘小船，此时W＝5×40+3×30＝290元；
当m＝4时，8×4＝32，剩余20人需租4艘小船，此时W＝4×40+4×30＝280元；
当m＜4时，计算可得总费用均大于270元．
因此租船费用的最小值为270．
故答案为：270．
55．（2026春•三水区期中）小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积x（单位：cm3）的范围是 50＜x＜62.5 ．
【答案】50＜x＜62.5．
【分析】先设一个球的体积为xcm3，根据4个球排开水的体积不到750cm3﹣500cm3，5个球排开水的体积超过750cm3﹣500cm3得出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：设一个球的体积为xcm3，根据题意得，
，
解得50＜x＜62.5，
故答案为：50＜x＜62.5．
56．（2026•汇川区一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．
（1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？
（2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？
【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人（10﹣a）台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案．
【解答】解：（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹．
由题意列二元一次方程组得：，
解得，
即A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹，
答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹；
（2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人（10﹣a）台．
由题意列一元一次不等式组得：，
∴解得4≤a≤6．
∵a为非负整数，
∴a可为4、5、6，
∴该物流中心有3种投入方案．
57．（2026春•定海区校级期中）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过800元
不优惠
超过800元，但不超过1200元
按总售价打九折
超过1200元
其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折
（1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？
（3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案．
【分析】（1）设足球的单价是x元，跳绳的单价是y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）按优惠方式计算即可求解；
（3）设购买足球m个，购买跳绳n条，购买的总价为S元，根据条件可得S＞1200，由优惠方式可得S＝1600，列出不等式组即可求解．
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，跳绳的单价是y元，
由题意列二元一次方程组得，，
解得，
即足球的单价是100元，跳绳的单价是20元，
答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元；
（2）1200×0.9+（1400﹣1200）×0.8＝1080+260＝1240（元）．
答：优惠后实际只需支付1240元；
（3）设购买足球m个，购买跳绳n条，购买的总价为S元，
由题意得，m≥12，n≥10，
∵S＝100m+20n≥1200+200＝1400＞1200，
∴1200×0.9+（S﹣1200）×0.8＝1400，
解得S＝1600，
∴100m+20n＝1600，即n＝80﹣5m，
∴根据题意列一元一次不等式组得，，
解得12≤m≤14，
∴m＝12，13，14，
当m＝12时，n＝80﹣5m＝80﹣5×12＝20，
当m＝13时，n＝80﹣5m＝80﹣5×13＝15，
当m＝14时，n＝80﹣5m＝80﹣5×14＝10，
∴购买方案共有3个：①购买足球12个，购买跳绳20条；②购买足球13个，购买跳绳15条；③购买足球14个，购买跳绳10条．
58．（2026春•闵行区校级月考）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题：
A型机器人
B型机器人
单价（万元/台）
80
60
工作量（吨/天）
75
50
（1）如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？
（2）如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案．
【分析】（1）设购买A机器人x台，则B机器人（15﹣x）台，则根据题意得到不等式，再解不等式即可；
（2）设购买A机器人y台，则B机器人（15﹣y）台，根据题意得到不等式组，求出整数解，即可求解方案．
【解答】解：（1）设购买A机器人x台，
由题意得，，
解得
因为x为整数，
所以最多购入10台A型机器人；
（2）设购买A机器人y台，
由题意得，，
解得3≤y≤5，
因为y为整数，
所以y取3，4，5，
所以有三种方案，方案1：购买A机器人3台，B机器人12台；方案2：购买A机器人4台，B机器人11台；方案3：购买A机器人5台，B机器人10台．
59．（2025•南山区校级三模）自来水公司有一种长度为9.9m的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为3.6m和2.1m的A型管道和B型管道．
某小区铺设自来水管道，需要A型管道160根，B型管道178根，现有标准管道100根，设按截法一的标准管道为x根．
（1）根据题意，完成以下表格：
标准管道截法一
标准管道截法二
x（根）
（100﹣x） （根）
A型管道（根）
x
2（100﹣x）
B型管道（根）
3x
100﹣x
（2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？
【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为（100﹣x）根，结合图形可得B型管道（100﹣x）（根）；
（2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
标准管道截法一
标准管道截法二
x（根）
（100﹣x）（根）
A型管道（根）
x
2（100﹣x）
B型管道（根）
3x
100﹣x
故答案为：（100﹣x），100﹣x；
（2）由题意里欸一元一次不等式得，，
由①得：x≤40，
由②得：x≥39．
∴39≤x≤40，
∵x取整数，
∴x＝39，40
答：共有两种截取方案：
方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；
方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道．
60．（2025春•西乡塘区期末）项目式学习
背景
某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动．
素材1
如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元．
素材2
学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2．
素材3
购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动：
①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）；
②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）．
问题解决
任务1
求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？
任务2
若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用．
任务3
在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？
【分析】（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱，根据“制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务2）根据“制作甲卡片数量不足240张，且制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2”，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再利用总价＝单价×数量，及实体商店和网店给出的优惠方案，可用含a的代数式表示出在实体店和网店的购买费用；
（任务3）分1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a及1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a三种情况，可求出a的取值范围或a的值，再结合200≤a＜240，即可得出结论．
【解答】解：（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱，
根据题意得：，
解得：．
答：买彩纸1dm2需要0.5元钱，买丝带1m需要0.8元钱；
（任务2）根据题意得：，
解得：200≤a＜240，
∴a的取值范围为200≤a＜240．
在实体店购买所需费用为295+0.5×0.7×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.7×[2a+（400﹣a）]＝（1359﹣0.14a）（元）；
在网店购买所需费用为0.5×0.9×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.9×[2a+（400﹣a）]＝（1368﹣0.18a）（元）．
答：a的取值范围为200≤a＜240，在实体店购买所需费用为（1359﹣0.14a）元，在网店购买所需费用为（1368﹣0.18a）元；
（任务3）若1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，则a＜225，
∴当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算；
若1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a，则a＝225，
∴当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同；
若1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a，则a＞225，
∴当225＜a＜240时，在网店购买更合算．
答：当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算；当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同；当225＜a＜240时，在网店购买更合算．
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11.3 一元一次不等式组讲义
基础知识梳理
1. 一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
要点：
只含同一个未知数
每个不等式都是一元一次不等式
不等式个数≥2
2. 一元一次不等式组的解集
几个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。
无解：没有公共部分
解集在数轴表示：取重叠区域
3. 解一元一次不等式组的步骤
①分别解出每个不等式的解集
②在数轴上表示所有解集
③找出公共部分
④写出不等式组的解集
4. 不等式组解集的四种基本类型（设 ）
① → 解集：（同大取大）
② → 解集：（同小取小）
③ → 解集：（大小小大中间找）
④ → 解集：无解（大大小小找不到）
5. 一元一次不等式组的整数解
在不等式组解集范围内的整数（正整数、负整数、0）。
6. 实际应用步骤
审题 → 设未知数 → 找不等关系 → 列不等式组 → 解不等式组 → 检验 → 作答
技巧总结归纳
1.取解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
2.含参不等式组：先画数轴，再判断端点能否取等号
3.整数解：先求解集，再筛选整数，不重不漏
4.易错点：
①端点等号判断错误
②解单个不等式时不等号方向不变号
③漏看 “整数解”“正整数解” 限制条件
典例精讲与变式训练
考点1：一元一次不等式组的定义
例题 下列不等式组：
①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式 下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：一元一次不等式组的解集
例题 解不等式组．
变式 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
考点3：含参数不等式组解集
例题 若不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
变式 不等式组无解，则的取值范围是 ．
考点4：一元一次不等式组的整数解
例题 解不等式组，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和．
变式 1解不等式组，并写出它的正整数解．
变式 2已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
考点5：不等式组的实际应用
例题 某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元．购进3件A种商品和2件B种商品共需210元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于14件，该商店有几种进货方案？
变式 西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
考点6：新定义问题
例题 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
变式 阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．
(1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________．
(2)芳对于正整数m、n，满足，求的值；
(3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围．
易错提醒
1.解不等式时，两边除以负数必须变号
2.不等式组解集取公共部分，不是合并
3.含参问题注意端点是否能取等号
4.整数解要按范围逐个写出，不跳数
题型一．一元一次不等式组的定义
1．（2025春•浦东新区期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025春•同步）下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025春•同步）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）
①；②；③；④；⑤．
4．（2025春•同步）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为x≤8；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．
题型二．解一元一次不等式组
5．（2026春•太原期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026春•永春县期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3＜m≤2 D．﹣1≤m＜3
7．（2025•鼓楼区校级模拟）已知非零实数a、b，且a＞b，则不等式组的解集不可以是（ ）
A． B． C． D．无解
8．（2025•合肥校级一模）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（2026春•新安县期中）已知关于x的不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1
10．（2026春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集为x≥a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
11．（2026春•上海期中）不等式组解集是 ．
12．（2026春•杨浦区期中）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ．
13．（2026春•房山区期中）定义一种新运算“⋆”．规定m⋆n＝m﹣3n．若关于x的不等式组的解集为x＞9，则a的取值范围是 ．
14．（2026春•台江区校级期中）解不等式组：．
15．（2025春•老河口市期末）解不等式组：．
16．（2026春•鲤城区校级期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
17．（2026春•嵩县期中）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解．
18．（2026•河西区一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
19．（2026春•洛宁县期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0，列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：解，得，∵x＞1，y＜0，∴，解得 ．
（2）请按照（1）中的方法，完成下列问题：已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围．
20．（2025春•赫山区校级期中）阅读材料：解不等式（x+2）（x﹣3）＞0，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解．
解：（x+2）（x﹣3）＞0，转化为①或②，解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜﹣2．
∴原不等式（x+2）（x﹣3）＞0的解集是x＞3或x＜﹣2．
请你仿照上面的方法，解下列不等式：（x+7）（2x+8）＞0．
21．（2026春•延庆区期中）给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”．
例如：已知方程2x﹣6＝0和不等式x﹣2＞0，对于未知数x，当x＝3时，使得2×3﹣6＝0，x﹣2＝3﹣2＝1＞0同时成立，则称x＝3是方程2x﹣6＝0与不等式x﹣2＞0的“伴随解”．
（1）x＝2是否是方程2x﹣4＝0与不等式2（x+3）＜4的“伴随解”？ ．（填“是”或“否”）
（2）x＝1是方程3x﹣2＝1与不等式（组）①，②，③中 的“伴随解”．（只填序号）
（3）如果x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0与关于x的不等式组的“伴随解”，那么a＝ ，b的取值范围是 ．
（4）如果x＝n是关于x的方程2x+3m＝2与关于x的不等式组的“伴随解”，直接写出n的取值范围．
22．（2026春•临泉县月考）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程2x﹣3＝1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）．
①2x﹣3＞4x+1；②2（x+1）﹣1≥5；③．
（2）若是方程组与不等式x﹣y＞1的“理想解”，求q的取值范围．
（3）若关于x，y的方程组与不等式x+2y≥a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围．
23．（2025春•遂平县期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2x+4＝2的解为的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝﹣1在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x+4＝2是的“子方程”．
【问题解决】（1）在方程①4x﹣5＝x+7，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 （填序号）；
（2）者关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程4x+4＝0是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
24．（2026春•鲤城区校级期中）【定义新知】
给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．
同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．
例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．
【新知应用】
（1）请写出不等式x＜5的一个子集式不等式： ；
（2）已知不等式组A：，不等式组B：，不等式组M：，则其中不等式组 是不等式组M的子集式不等式组（填A或B）；
（3）若关于x的不等式组P：有解且是不等式Q：（x﹣1）（x﹣7）＜0的子集式不等式组，求a的取值范围；
（4）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，求的最大值．
题型三．一元一次不等式组的整数解
25．（2026•香坊区校级开学）不等式组的负整数解是（ ）
A．﹣2，0，﹣1 B．﹣2 C．﹣2，﹣1 D．不能确定
26．（2026春•兴宁市期中）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1
27．（2025秋•章丘区期末）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2
28．（2026春•庐阳区校级期中）已知关于x的不等式组的所有正整数解的和是9，则a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2
29．（2025春•阿荣旗期末）已知关于x的不等式组的解集中恰好有两个整数，则m的取值范围是（ ）
A．2≤m≤3 B．2≤m＜3 C．2＜m≤3 D．2＜m＜3
30．（2025春•市中区校级期中）若关于x的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．15 B．21 C．﹣6 D．24
31．（2025•让胡路区校级一模）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
32．（2025秋•玉环市期末）定义：符号T（a，b，c，d）＝ad﹣bc，例如：T（1，2，3，4）＝1×4﹣3×2＝﹣2，若关于m的不等式组，恰好有4个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．6＜k＜13 B．6＜k≤13 C．6≤k＜13 D．6≤k≤13
33．（2026春•佛山校级期中）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 ．
34．（2026春•永春县期中）不等式组的整数解有 个．
35．（2026春•房山区期中）满足不等式﹣10≤3x﹣7＜2的所有整数解是 ．
36．（2026春•嘉定区期中）若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是 ．
37．（2025春•伊犁州期末）若a⊕b＝6a﹣2b，则不等式组的整数解的和为 ．
38．（2026春•合肥期中）关于x的不等式组．
（1）若a＝﹣1，则不等式组的整数解是 ．
（2）若不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤2的范围中，则a的取值范围是 ．
39．（2026春•开州区期中）求不等式组：的整数解．
40．（2026春•杨浦区校级期中）解不等式组：，并写出所有负整数解．
41．（2026春•浦东新区校级期中）求不等式组的解集并写出最小负整数解．
42．（2026春•杨浦区校级月考）已知关于x的不等式组．
（1）当a＝﹣2时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来；
（2）如果不等式组只有3个整数解，求a的取值范围．
43．（2026春•信宜市期中）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）．
（1）观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得3x+3y＝ （用含m的代数式表示结果）．
（2）若方程组的解满足不等式x+y＞0，求m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若不等式（6m+1）x﹣6m＜1的解集为x＞1，请求出整数m的值．
（4）若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围．
44．（2026春•鲤城区校级期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程2x﹣1＝1是不等式x+1＞0的“偏解方程”，因为方程2x﹣1＝1的解x＝1可使得x+1＝2＞0成立；方程组是不等式2x+3y＞15的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得2x+3y＝17＞15成立．
（1）方程3x+2＝﹣1是下列不等式（组）中 （填序号）的“偏解方程”；
①2x+1＜3x+3；②3（x+3）≥9；③；
（2）已知关于x，y方程组是不等式x﹣y＞0的“偏解方程组”，求a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程x+b＝0是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
题型四．由实际问题抽象出一元一次不等式组
45．（2026春•闵行区校级月考）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0 B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C． D．
46．（2026春•长清区月考）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
47．（2026春•七里河区期中）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表：
原料甲
原料乙
A型
0.5千克/个
0.3千克/个
B型
0.2千克/个
0.4千克/个
已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
48．（2026春•松江区期中）把一些奖品分为若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少个？设有x名学生，依题意可列不等式 ．
49．（2026春•西城区校级期中）某市地铁票收费标准如下：不超过6km3元；超过6km到12km（含）4元；超过12km到22km（含）5元；超过22km到32km（含）6元；超过32km部分，每增加1元可再乘坐20km．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为xkm，用不等式表示x的范围 ．
50．（2025春•闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ．
题型五．一元一次不等式组的应用
51．（2026春•南岗区校级期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（ ）名同学．
A．6 B．7 C．8 D．9
52．（2025秋•龙泉市期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（ ）
A．33 B．32 C．31 D．30
53．（2026春•闵行区校级月考）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ）
A．20＜m＜50 B．15≤m＜25 C．20≤m＜25 D．15≤m≤20
54．（2026•涪城区二模）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是 元．
55．（2026春•三水区期中）小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积x（单位：cm3）的范围是 ．
56．（2026•汇川区一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．
（1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？
（2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？
57．（2026春•定海区校级期中）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过800元
不优惠
超过800元，但不超过1200元
按总售价打九折
超过1200元
其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折
（1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？
（3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案．
58．（2026春•闵行区校级月考）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题：
A型机器人
B型机器人
单价（万元/台）
80
60
工作量（吨/天）
75
50
（1）如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？
（2）如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案．
59．（2025•南山区校级三模）自来水公司有一种长度为9.9m的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为3.6m和2.1m的A型管道和B型管道．
某小区铺设自来水管道，需要A型管道160根，B型管道178根，现有标准管道100根，设按截法一的标准管道为x根．
（1）根据题意，完成以下表格：
标准管道截法一
标准管道截法二
x（根）
（根）
A型管道（根）
x
2（100﹣x）
B型管道（根）
3x
（2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？
60．（2025春•西乡塘区期末）项目式学习
背景
某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动．
素材1
如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元．
素材2
学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2．
素材3
购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动：
①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）；
②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）．
问题解决
任务1
求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？
任务2
若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用．
任务3
在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？
学科网（北京）股份有限公司
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