1.2 常用逻辑用语 导学案-2027届高三数学一轮复习

1.2　常用逻辑用语 导学案（原卷版） 考试要求 三年考情 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷T7 新课标Ⅱ卷T2 必备知识回顾 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的 条件,q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇒p p是q的 条件 p⇒q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 p⇒q且q⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一 个x,p(x)成立 存在M中的元 素x,p(x)成立 简记 否定 ∃x∈M, ¬p(x) , ¬p(x) 知识拓展 1.注意区分“A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)”与“A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)”两者的不同. 2.充要关系与集合基本关系之间的联系 设非空集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 3.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 4.含有量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 5.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定. 6.命题p和¬p的真假性相反,当判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 基础检测 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件. (　 　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　 　) (3)已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=B.(　 ) (4)命题“∃x∈R,sin2”是真命题. (　　) 2.(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)命题“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是(　) A.∀x∈R,使得(x-1)2<0 B.∀x∈R,使得(x-1)2≤0 C.∃x∈R,使得(x-1)2<0 D.∃x∈R,使得(x-1)2≤0 3.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编)“ab=0”是“a2+b2=0”的(　　) A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若“x=1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为 . 关键能力提升 考点1 充分、必要条件的判断 【例1】　(1)(2025·天津卷)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　 　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列条件中可以作为“0≤a<1”的一个必要不充分条件的是 (　 　) A.-1<a≤1 B.0<a<1 C.0≤a≤3 D.a<1或a>3 规律总结 充分、必要条件的两种常用判断方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. 【对点训练1】　(1)(2025·山东聊城三模)“a<b”是“ln a<ln b”的 (　 　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若a,b∈R,则“>1”是“a>b”的(　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2 根据充分、必要条件求参数 【例2】　非空集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|-1≤a<2或2<a≤3} B.{a|-1≤a<2} C.{a|2<a≤3} D.{a|a>2} 规律总结 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意对取值区间端点值的检验,从而确定取舍. 【对点训练2】　若“x>2m2-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(　 　) A.[-1,1] B.[-,] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-]∪[,+∞) 考点3 全称量词与存在量词 命题角度1　含量词命题的否定及真假判断 【例3】　(2026·陕西西安模拟)若p:∀x>0,ln x+x2+2>0,则 (　　) A.p是真命题,且¬p:∃x>0,ln x+x2+2≤0 B.p是真命题,且¬p:∃x≤0,ln x+x2+2≤0 C.p是假命题,且¬p:∃x>0,ln x+x2+2≤0 D.p是假命题,且¬p:∃x≤0,ln x+x2+2≤0 命题角度2　含量词命题的应用 【例4】　已知命题p:∀x∈[-1,0],a≤-5x,若p为假命题,则a的取值范围是 . 规律总结 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题,需证明所有情况都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一种情况成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围,可直接求参数的范围,也可利用等价命题求参数的范围. 【对点训练3】　(1)(2025·湖北宜昌二模)已知命题p:∀x∈R,|1-x|≤1,命题q:∃x>0,x2>2x,则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 (2)命题“∀x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　) A.a≤1 B.a<1 C.a<0 D.a<2 (3)若命题p:∃x∈Q,|x|+x>0,则该命题的否定是 考教衔接 高考真题 教材典题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则 (　 　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 1.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根; (2)每个正方形都是平行四边形; (3)∃m∈N,∈N; (4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°. 2.(2024·天津卷)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 . 2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0(a≠0); (3)p:a∈P∩Q,q:a∈P; (4)p:a∈P∪Q,q:a∈P; (5)p:x>y,q:x2>y2. 课时作业2 (总分:90分) 基础巩固 1.(5分)命题“∃x∈R,x2<1”的否定是(　 　) A.∀x∈R,x2≥1 B.∀x∈R,x2<1 C.∃x∈R,x2≥1 D.∃x∈R,x2>1 2.(5分)(2025·河北唐山一模)已知命题p:∀x∈R,x2>0;命题q:∃x>0,ln x<0.则 (　 　) A.p和q都是真命题 B.p是假命题,q是真命题 C.p是真命题,q是假命题 D.p和q都是假命题 3.(5分)(2026·河北石家庄一模)如果ab>0,那么“a>b”是“”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(5分)(2025·天津南开区二模)已知a∈R,则“a><2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,则文中的“小故”指的是逻辑中的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(5分)已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(5分)(2026·甘肃白银模拟)使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为 (　　) A.1≤x≤3 B.0≤x≤3 C.x>3 D.1<x<3 8.(5分)(2026·河北秦皇岛一模)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为 (　 ) A.(0,3)　 B.(0,3] C.(0,2)　 D.(0,2] 9.(6分,多选)下列命题的否定中,是真命题的有 (　　) A.某些平行四边形是菱形 B.∃x∈R,x2-3x+3<0 C.∀x∈R,|x|+x2≥0 D.∀a∈R,x2-ax+1=0有实数解 10.(6分,多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则(　 　) A.p是q的充分条件 B.p是s的必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 11.(6分,多选)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1 12.(5分)若命题“∃x∈R,使得x2+2x-m=0成立”为真命题,则实数m的取值范围是 . 13.(5分)设条件p:|2x+3|<1;条件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 . 14.(6分)关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根的充要条件是 . 素养提升 15.(8分,多选)下列命题正确的是 (　 　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x≥1,使得x2≥1” C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 16.(8分)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　常用逻辑用语 导学案（解析版） 考试要求 三年考情 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷T7 新课标Ⅱ卷T2 必备知识回顾 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一 个x,p(x)成立 存在M中的元 素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M, ¬p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 知识拓展 1.注意区分“A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)”与“A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)”两者的不同. 2.充要关系与集合基本关系之间的联系 设非空集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 3.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 4.含有量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 5.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定. 6.命题p和¬p的真假性相反,当判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 基础检测 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件. (　√　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　√　) (3)已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=B.(　√　) (4)命题“∃x∈R,sin2”是真命题. (　×　) 2.(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)命题“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是 (　C　) A.∀x∈R,使得(x-1)2<0 B.∀x∈R,使得(x-1)2≤0 C.∃x∈R,使得(x-1)2<0 D.∃x∈R,使得(x-1)2≤0 解析:因为原命题是“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”,所以其否定形式应该把全称量词“∀”改为存在量词“∃”,把(x-1)2≥0改为(x-1)2<0,所以命题“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是“∃x∈R,使得(x-1)2<0”.故选C. 3.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编)“ab=0”是“a2+b2=0”的(　B　) A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:显然a2+b2=0,则a=0,b=0,有ab=0,即a2+b2=0⇒ab=0,而ab=0,取a=0,b=1,a2+b2≠0,则ab=0不能推出a2+b2=0.故“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件.故选B. 4.若“x=1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为(-∞,1). 解析:∵“x=1”是“x>a”的充分条件,∴x=1⇒x>a,∴a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1). 关键能力提升 考点1 充分、必要条件的判断 【例1】　(1)(2025·天津卷)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】　由x=0⇒sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;当x=π时,sin 2x= sin 2π=0,可知sin 2x=0x=0,故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. (2)(多选)下列条件中可以作为“0≤a<1”的一个必要不充分条件的是 (　ACD　) A.-1<a≤1 B.0<a<1 C.0≤a≤3 D.a<1或a>3 【解析】　设该条件所表示的集合为M,因为其是“0≤a<1”的一个必要不充分条件,所以{a|0≤a<1}⫋M.对于A,C,D,可知{a|0≤a<1}⫋M,故A,C,D正确;对于B,可知M⫋{a|0≤a<1},故B错误.故选ACD. 规律总结 充分、必要条件的两种常用判断方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. 【对点训练1】　(1)(2025·山东聊城三模)“a<b”是“ln a<ln b”的 (　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若ln a<ln b,根据对数函数的性质,可得b>a>0,必要性成立;若a<b<0,则ln a<ln b不成立,充分性不成立.故“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件.故选B. (2)若a,b∈R,则“>1”是“a>b”的(　D　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若>1,当b>0时,a>b,当b<0时,a<b;当a>b>0时,两边除以b,得>1,当a>b且b<0时,两边除以b,得>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点2 根据充分、必要条件求参数 【例2】　非空集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　A　) A.{a|-1≤a<2或2<a≤3} B.{a|-1≤a<2} C.{a|2<a≤3} D.{a|a>2} 【解析】　B={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1},A={x|x2+(a+2)x+2a<0}={x|(x+a)(x+2)<0}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A是B的真子集.当a<2时,A={x|-2<x<-a},则-2<-a≤1,即-1≤a<2;当a=2时,A=⌀,不符合题意;当a>2时,A={x|-a<x<-2},则-3≤-a<-2,即2<a≤3.综上,实数a的取值范围是{a|-1≤a<2或2<a≤3}.故选A. 规律总结 由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意对取值区间端点值的检验,从而确定取舍. 【对点训练2】　若“x>2m2-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(　A　) A.[-1,1] B.[-,] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-]∪[,+∞) 解析:因为“x>2m2-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,所以(-1,3)⫋(2m2-3,+∞),所以2m2-3≤-1,得m2≤1,得-1≤m≤1.故选A. 考点3 全称量词与存在量词 命题角度1　含量词命题的否定及真假判断 【例3】　(2026·陕西西安模拟)若p:∀x>0,ln x+x2+2>0,则 (　C　) A.p是真命题,且¬p:∃x>0,ln x+x2+2≤0 B.p是真命题,且¬p:∃x≤0,ln x+x2+2≤0 C.p是假命题,且¬p:∃x>0,ln x+x2+2≤0 D.p是假命题,且¬p:∃x≤0,ln x+x2+2≤0 【解析】　因为当x=时,ln x+x2+2=-3+-1<0,所以p是假命题.因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以¬p:∃x>0,ln x+x2+2≤0.故选C. 命题角度2　含量词命题的应用 【例4】　已知命题p:∀x∈[-1,0],a≤-5x,若p为假命题,则a的取值范围是(1,+∞). 【解析】　由题意知命题p:∀x∈[-1,0],a≤-5x为假命题,则¬p:∃x∈[-1,0],a>-5x为真命题.设f(x)=-5x,x∈[-1,0],则a>f(x)min,由于y=2x在[-1,0]上单调递增,故f(x)=-5x在[-1,0]上单调递减,则f(x)min=-5×0=1,故a>1. 规律总结 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题,需证明所有情况都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一种情况成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围,可直接求参数的范围,也可利用等价命题求参数的范围. 【对点训练3】　(1)(2025·湖北宜昌二模)已知命题p:∀x∈R,|1-x|≤1,命题q:∃x>0,x2>2x,则 (　B　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 解析:对于命题p,不妨取x=3,则|1-3|>1,则命题p是假命题,命题¬p是真命题;对于命题q,不妨取x=3,由9>8,得命题q是真命题,命题¬q是假命题.因此, ¬p和q都是真命题.故选B. (2)命题“∀x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是(　D　) A.a≤1 B.a<1 C.a<0 D.a<2 解析:因为x2-a>0,所以x2>a,又x∈(1,2),所以x2∈(1,4),所以a≤1(易错:忘记取等号),只有D满足{a|a≤1}是{a|a<2}的真子集,所以命题“∀x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是“a<2”.故选D. (3)若命题p:∃x∈Q,|x|+x>0,则该命题的否定是∀x∈Q,|x|+x≤0. 解析:由存在量词命题的否定可知, ¬p:∀x∈Q,|x|+x≤0. 考教衔接 高考真题 教材典题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则 (　B　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 解析:对于命题p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, ¬p是真命题;对于命题q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, ¬q是假命题.综上, ¬p和q都是真命题.故选B. 1.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根; (2)每个正方形都是平行四边形; (3)∃m∈N,∈N; (4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°. 2.(2024·天津卷)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立,所以二者互为充要条件.故选C. 2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0(a≠0); (3)p:a∈P∩Q,q:a∈P; (4)p:a∈P∪Q,q:a∈P; (5)p:x>y,q:x2>y2. 课时作业2 (总分:90分) 基础巩固 1.(5分)命题“∃x∈R,x2<1”的否定是(　A　) A.∀x∈R,x2≥1 B.∀x∈R,x2<1 C.∃x∈R,x2≥1 D.∃x∈R,x2>1 解析:命题“∃x∈R,x2<1”的否定是“∀x∈R,x2≥1”.故选A. 2.(5分)(2025·河北唐山一模)已知命题p:∀x∈R,x2>0;命题q:∃x>0,ln x<0.则 (　B　) A.p和q都是真命题 B.p是假命题,q是真命题 C.p是真命题,q是假命题 D.p和q都是假命题 解析:对于命题p:∀x∈R,x2>0,当x=0时,x2=0,故命题p是假命题;对于命题q:∃x>0,ln x<0,当x=时,ln =-1<0,故命题q是真命题.故选B. 3.(5分)(2026·河北石家庄一模)如果ab>0,那么“a>b”是“”的 (　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若ab>0,a>b,则b-a<0,则<0,即,充分性成立;若ab>0,,则<0,所以b<a,必要性成立.综上,如果ab>0,那么“a>b”是“”的充要条件.故选C. 4.(5分)(2025·天津南开区二模)已知a∈R,则“a><2”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:<2,即<0,a(2a-1)>0,解得a<0或a>时,可以推出<2;当<2时,推不出a><2”的充分不必要条件.故选A. 5.(5分)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,则文中的“小故”指的是逻辑中的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由“小故,有之不必然,无之必不然”知“小故”是逻辑中的必要不充分条件.故选B. 6.(5分)已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3”的 (　D　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由a2>b2得|a|>|b|,由a3>b3得a>b.当a=-2,b=1时,满足|a|>|b|,但不满足a>b;当a=-2,b=-3时,满足a>b,但不满足|a|>|b|.故“a2>b2”是“a3>b3”的既不充分也不必要条件.故选D. 7.(5分)(2026·甘肃白银模拟)使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为 (　D　) A.1≤x≤3 B.0≤x≤3 C.x>3 D.1<x<3 解析:解不等式x2+3≤4x,可得1≤x≤3,则使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件必须为{x|1≤x≤3}的真子集,排除A,B,C.因为由1<x<3可推得1≤x≤3,由1≤x≤3不能推得1<x<3,所以使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为1<x<3.故选D. 8.(5分)(2026·河北秦皇岛一模)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为 (　B　) A.(0,3)　 B.(0,3] C.(0,2)　 D.(0,2] 解析:A={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ<x<2λ}.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集,可得且等号不同时成立,结合λ>0,解得0<λ≤3,故λ的取值范围为(0,3].故选B. 9.(6分,多选)下列命题的否定中,是真命题的有 (　BD　) A.某些平行四边形是菱形 B.∃x∈R,x2-3x+3<0 C.∀x∈R,|x|+x2≥0 D.∀a∈R,x2-ax+1=0有实数解 解析:对于A,某些平行四边形是菱形,是真命题,则其否定是假命题,故A错误;对于B,因为Δ=9-12=-3<0,所以原命题是假命题,则其否定是真命题,故B正确;对于C,∀x∈R,|x|+x2≥0,是真命题,则其否定是假命题,故C错误;对于D,只有Δ=a2-4≥0,即a≤-2或a≥2时,x2-ax+1=0才有实数解,是假命题,则其否定是真命题,故D正确.故选BD. 10.(6分,多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则(　AD　) A.p是q的充分条件 B.p是s的必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 解析:由p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q.对于A,因为p⇒q,所以p是q的充分条件,故A正确;对于B,因为p⇒s,所以p是s的充分条件,故B错误;对于C,因为r⇔q,所以r是q的充要条件,故C错误;对于D,因为s⇔q,所以s是q的充要条件,故D正确.故选AD. 11.(6分,多选)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　CD　) A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1 解析:由题意,存在x>0,使得mx2+2x-1>0,即m>-1,当-1=0,即x=1时,取得最小值-1,故m>-1,所以命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子集,结合选项可得,C,D符合.故选CD. 12.(5分)若命题“∃x∈R,使得x2+2x-m=0成立”为真命题,则实数m的取值范围是[-1,+∞). 解析:因为命题“∃x∈R,使得x2+2x-m=0成立”为真命题,所以Δ=4+4m≥0,解得m≥-1. 13.(5分)设条件p:|2x+3|<1;条件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是[-3,-2]. 解析:∵q是p的必要不充分条件,∴p⇒q,且q⇒p.记p:A={x||2x+3|<1}={x|-2<x<-1},q:B={x|x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0}={x|a≤x≤a+2},则A是B的真子集,从而解得-3≤a≤-2.故实数a的取值范围是[-3,-2]. 14.(6分)关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根的充要条件是0≤a<4. 解析:必要性:关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根,当a=0时,原方程变形为1=0,显然无实数根,故a=0满足题意;当a≠0时,由ax2+ax+1=0无实数根,可得Δ<0,即a2-4a<0,解得0<a<4.综上可得0≤a<4.充分性:当0≤a<4时,关于x的方程ax2+ax+1=0无实数根. 素养提升 15.(8分,多选)下列命题正确的是 (　AD　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x≥1,使得x2≥1” C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析:对于A,<1,即-1<0,即<0,即>0,即a<0或a>1,则“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;对于B,命题“任意x<1,都有x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”,故B错误;对于C,因为x≥2且y≥2,所以x2≥4,y2≥4,由不等式的性质得x2+y2≥8,取x=0,y=3,x2+y2=9>8,但不满足x≥2且y≥2,故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分不必要条件,故C错误;对于D,当a≠0,b=0时,ab=0,由ab≠0可得a≠0且b≠0,故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.故选AD. 16.(8分)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(0,2]. 解析:∵|x-1|≤2,∴-1≤x≤3,即p:-1≤x≤3.∵x2-2x+1-a2≥0(a>0),∴x≤1-a或x≥1+a,∴¬q:1-a<x<1+a.∵p是¬q的必要不充分条件, ∴解得0<a≤2,∴实数a的取值范围是(0,2]. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $