精品解析：福建厦门市第二外国语学校2025-2026学年高一下学期第二阶段考试数学科试卷

厦门市第二外国语学校2025～2026学年高一下学期第二阶段考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是 A. B. C. D. 2. 中，若，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，点D是AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 8. 已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（     ） A. B. 在复平面上对应点在第二象限 C. D. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，，则向量与的夹角等于_________. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 14. 如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 16. 如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，求： （1）； （2）AB的长. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，. （1）若平面，证明：； （2）若平面平面，，证明：； 19. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 （1）求角C （2）若，，为角C的平分线，求的长； （3）若，求锐角面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第二外国语学校2025～2026学年高一下学期第二阶段考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合复数虚部的定义求解虚部即可. 【详解】由复数虚部的定义可知复数的虚部为. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查虚部的定义，属于基础题目. 2. 中，若，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角形面积公式进行计算. 【详解】因为， 又 所以的面积为. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式.属于容易题. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的性质定理及线面平行的性质的应用分别判断出所给命题的真假． 【详解】A中，若，则或，所以A不正确； B中，，没有指明是否是相交直线，所以B不正确； C中，若，则或，所以C不正确； D中，若，由面面平行的性质定理可知，所以D正确． 故选：D． 4. 在中，点D是AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可. 【详解】因为点D是AB的中点， 所以 所以 故选：D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 6. 向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的求解公式即可求解. 【详解】在向量上的投影向量为. 故选：B 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：C 8. 已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式及勾股定理，结合已知条件及球的体积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的母线长为， 由，得， 再设圆锥的高为，则 ， 画出几何体的轴截面，如图所示 则是等腰直角三角形， 所以该圆锥的外接球的半径为 ， 外接球的体积为． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（     ） A. B. 在复平面上对应点在第二象限 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再逐项求解判断. 【详解】依题意，复数， 对于A，，A正确； 对于B，在复平面上对应点在第四象限，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A：若，，， 由余弦定理得， 故符合条件的有且仅有一个，故A错误； 对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则， 由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确； 对于C：若，由正弦定理得， 由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则，所以， 因为在上单调递增，所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，，则向量与的夹角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用垂直关系得到，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 【详解】因为向量，，，故，即. 设向量与的夹角为，则，，故. 故答案为：. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】193 【解析】 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 14. 如图所示，是菱形所在平面外的一点，且，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若与平面所成的角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】找出与平面所成的角，后算出正弦值即可． 【详解】 如图，取的中点，连接，． ∵是等边三角形，∴． 又平面平面，平面平面， 平面，∴平面，∴为与平面所成的角． 易知在中，，， 同理，因此 则，即. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出. （2）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示求出范围. 【小问1详解】 由，得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 由与的夹角是钝角，得且与不共线， 则，解得且， 所以的取值范围是. 16. 如图，在中，已知，D是边BC上一点，，，，求： （1）； （2）AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知三边长度，可直接运用余弦定理求出； （2）先根据（1）中求出的得到的值，再在中，利用正弦定理求出的长. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得. 【小问2详解】 ，∴，， 在中，，，， 由正弦定理得，∴. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2） 存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，． 【解析】 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，. （1）若平面，证明：； （2）若平面平面，，证明：； 【答案】（1） 在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2） 如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 （1）求角C （2）若，，为角C的平分线，求的长； （3）若，求锐角面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）设，根据及面积公式得到方程，解得即可； （3）首先利用正弦定理求出，再由正弦定理得到，，再根据转化为关于的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围； 【小问1详解】 解：由及正弦定理得 所以 ∴，∴ ∵，∴ 【小问2详解】 解：设由得 . 解得，即角平分线的长度为 【小问3详解】 解：设外接圆半径为R，由 ，即，即，∴ 所以的面积 ∵，∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $