福建漳州市立人学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 结合田湾核电穹顶吊装等科技情境，分层考查复数、立体几何、解三角形等知识，注重空间观念、推理能力与模型意识的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数虚部、空间直线位置关系、斜二测画法|基础巩固，如第2题辨析空间直线位置关系| |选择题（多选）|3/18|向量性质、正三棱柱外接球与体积|能力提升，如第11题综合考查几何体体积与线面平行| |填空题|3/15|向量运算、正四棱台体积、仰角测量|生活应用，如第14题测量解放碑高度| |解答题|5/77|复数运算、向量投影、正三棱柱表面积、球锥体积推导|创新应用，如第19题以核电穹顶为情境，类比推导球锥体积并解决正四面体接体问题|

保密★启用前 2025-2026学年（下）高一年期中数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．在空间中，若两条直线与没有公共点，则与（    ） A．可能平行，也可能是异面直线 B．平行 C．是异面直线 D．相交 3． 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 4．在△ABC中，已知，，，则角 为（   ） A．45° B．45°或135° C．15°或 105° D．105° 5．如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 8．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若非零向量满足，则 B．若为单位向量，则 C．向量可以作为平面内的一个基底 D． 10．设，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（    ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．若是棱中点，则三棱锥的体积为 C．周长的最小值为 D．棱上总存在点，使得直线平面 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若实数λ满足，则__________． 13．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 14．解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，如图，设解放碑的高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知复数，，其中． (1)若，求实数的值； (2)若的实部大于1，求的取值范围． 16． （本小题满分15分） 已知向量. （1） 若，求； （2） 若，求； （3） 若，求在方向上投影向量的坐标. 17． （本小题满分15分） 如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． （1）求正三棱锥的表面积； （2）求证：直线//平面． （3），请在图上作出直线，并说明作图理由． 18．（本小题满分17分） 如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 19．（17分）据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现。报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高。球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积。和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底。当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为. (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值； (3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $