精品解析：2026年山东省济宁市任城区济宁学院附属中学二模数学试题

期中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为 ( ) A. B. C. D. 4. 如图，是由7个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线，交直线于点M．已知线段， ，则点M到射线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有且只有一个实数根 D. 若、、是抛物线上的三点，则 9. 已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则 的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 如图，在正方形中，E、F分别是 上的点，且 ， 分别交于M、N，连接，有以下结论：①；② 是等腰直角三角形；③ ；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 期中考试数学试题 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是__________. 12. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 13. 已知⊙O是正六边形 的外接圆，正六边形 的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 14. 若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 15. 如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解一元二次方程： 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 18. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为 ．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像的高度． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． （1）填空：__________，点D坐标_________； （2）直接写出不等式的解集为__________________； （3）连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 20. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 21. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 22. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且 （此时 ），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，， ，E，F分别是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 23. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如： 的亲和同轴二次函数为： ． （1）函数 的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数 （ 且 ）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点 ， 分别在二次函数 （且 ）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，a对应的点在和之间，b对应的点在0和1之间， ∴ ，， A项：∵ ，， ∴，， ∴，故A正确； B项：∵ ，， ∴，故B错误； C项：∵ ，， ∴，故C错误； D项：∵ ，， ∴故D错误. 2. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，同样10片雪花的重量用科学记数法可表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选：C． 4. 如图，是由7个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，找到从左面看所得到的图形即可，同时也考查了学生的空间想象能力． 【详解】解：从左面看：第一层有3个正方形，第二层最右边和中间都有1个正方形，如图所示： ， 故选：B． 5. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法判断A，根据完全平方公式可判断B，根据合并同类项可判断C，根据积的乘方可判断D． 【详解】A．，故原式不正确，不符合题意； B．，故原式不正确，不符合题意； C．，故原式不正确，不符合题意； D．，故原式正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项，根据积的乘方，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解：四张卡片分别记为：文、明、自、由，从四张中随机抽取张， 所有等可能的组合为：（文，明）、（文，自）、（文，由）、（明，自）、（明，由）、（自，由）， 一共 种等可能结果， 其中恰好能组成“文明”的结果只有 种， 根据概率公式：． 7. 如图，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点G、H，再分别以点G、H为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线，交直线于点M．已知线段， ，则点M到射线的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：是线段的垂直平分线，是的角平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图方法可知：是线段的垂直平分线，是的角平分线，记的交点为，过作于， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∴点M到射线的距离为． 8. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（ ） A. B. C. 方程有且只有一个实数根 D. 若、、是抛物线上的三点，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的图象、开口方向、对称轴、对称性、随的变化规律，依次作出判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知， ， 抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以， 抛物线与轴的交点在负半轴，即时，， 所以， ，不符合题意； B、抛物线的对称轴为 ，与轴正半轴的交点为， 根据抛物线的对称性可知，与轴的另一个交点为， 将代入抛物线解析式可得， ①， 又因为抛物线的对称轴为 ，，代入①中，，整理得，， 即，不符合题意； C、将代入抛物线解析式可得， ，即， 方程的根的判别式， 因为， ， 所以， 所以，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、由抛物线图象可知，、在对称轴的左侧， 关于的对称点为， 在对称轴的左侧抛物线的随着的增大而减小， 因为，所以，符合题意． 9. 已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则 的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且 ．在 中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、．  ∵点是的内心，  ∴平分，平分， ∵为的直径，  ∴，． 在 中，， ，  ， ∴． 在中，， ∵ ，， 又∵， ，  ∴ ， ∴，  ∴． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是 上的点，且 ， 分别交于M、N，连接，有以下结论：①；② 是等腰直角三角形；③ ；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则 是等腰直角三角形可作判断； ③如图，将绕点A顺时针旋转得到 ，证明，则，可作判断； ④设正方形的边长为 ，则， ，利用平行线分线段成比例求出 ，利用勾股定理求出，，即可判断． 【详解】如图，∵四边形是正方形， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴ ， ∴， ∴ 是等腰直角三角形，故②正确， ③如图， ∴将绕点A顺时针旋转得到 ， 则 ， ． ∵． ∵， ∴H、B、E三点共线， 在 和中， ， ∴， ∴，故③正确， 设正方形的边长为 ，则，， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 期中考试数学试题 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得： 解得： 且. 故答案为 且. 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 12. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，根据平角的性质可得即可求得 ，再由平行线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 13. 已知⊙O是正六边形 的外接圆，正六边形 的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作 ，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即 ， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 14. 若数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算不等式组和分式方程，根据条件综合得出的可能取值，最后求和． 【详解】解：已知不等式组， 则不等式组的解集为， 有且只有三个整数解， 的取值为，，， ， ， 已知， 则， 解得， 方程的解为非负数， ，解得， ，即， ， 综上，的取值范围为，且， 为整数， 的可能取值为，，， 所有可能的取值的和为． 15. 如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， 则， 即， ∴. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解一元二次方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）原式根据算术平方根运算法则、零指数幂、负整数指数幂运算法则、绝对值的代数意义以及特殊锐角三角函数值进行化简后，再进行加减运算即可得到结果； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 或， 解得：，． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2） 补全频数直方图如图， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 18. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为 ．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像的高度． 【答案】（1）台阶的高度为 （2）孔子雕像的高度为 【解析】 【分析】（1）作于，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：作于， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为 ， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像的高度为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． （1）填空：__________，点D坐标_________； （2）直接写出不等式的解集为__________________； （3）连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立得：，解得：或， ∴点D的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象得：当 或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 或； 故答案为： 或； 【小问3详解】 解：对于，当时，， ∴点， ∵点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 20. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． 【小问2详解】 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 21. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 【答案】（1） 证明：连接 ， 在 中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又 ， ， ， 在上 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，先根据直角三角形的性质，证明，再证明 即可； （2）由（1）中结论，得 ，先根据三角函数及勾股定理求出 的长，再证明 即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得 ， 在中，， ， ， ， 又 ， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出 是解本题的关键． 22. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． （1）【问题提出】如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且 （此时 ），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，如图2．进而证明________，可得出结论．他的结论应是________． （2）【触类旁通】如图3，若在四边形中，， ，E，F分别是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【知识应用】2026年4月13日，针对某国军舰在南海的非法巡航及侦察活动，中国人民解放军南部战区在南海某海域组织联合反制演习．演习中，我方055型万吨驱逐舰“延安舰”（代号“蓝刃”）与型电子侦察船“天权星舰”（代号“天眼”）协同行动，模拟对“敌”舰队的跟踪与电子压制．如图4，指挥中心设在永暑礁附近的O点．演习开始前，055驱逐舰位于O点北偏西的A处，815侦察船位于O点南偏东的B处，且（两舰到指挥中心距离相等）．接到“敌舰现身”的紧急指令后：055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点．此时，指挥中心通过雷达确认：（即两舰与指挥中心连线之间的夹角）．试求此时两舰之间的距离（单位：海里）． 【答案】（1） ， （2） 解：成立，理由如下： 延长，使 ，连接，如图所示： ∵ ，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴ ， 又， ∴， ∴， ∴ ； （3）100海里 【解析】 【分析】（1）由题意可知，得到，，再证明 ，推出，得到 ，最后根据即可得出结论； （2）延长，使 ，连接，先证明，得到，推出，接着证明，得到 ，最后根据即可得出结论； （3）延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，接着证明，得到，推出，得到，接着证明，推出，到． 【小问1详解】 解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，，， ∴, ∴、、三点共线， ∵ ， ∴， ∴，即 ， ∴ ， 又， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，使，连接，在点的正西方向取一点，在点的正南方向取一点，在点的正北方向取一点，在点的正北方向取一点，如图所示： 由题意可知，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵055驱逐舰以30海里/小时的速度向正东方向全速机动，准备前出拦截；815侦察船以20海里/小时的速度沿北偏东方向前出，实施电子侦察与信号定位．2小时后，055舰到达C点，815船到达D点． ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 23. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如： 的亲和同轴二次函数为： ． （1）函数 的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数 （ 且 ）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点 ， 分别在二次函数 （且 ）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：由函数 （且 ）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为 ， 把 ， 分别代入，可得， ， ， 则 ， ， ， ①当 时， ，即 ， ， 解得：或 ； ②当 时，，即 ， ， 解得： ； ③当 时， ，即 ， ， 解得： 或； 又∵， 所以综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时，． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解； （2）求出函数 （ 且 ）的亲和同轴二次函数，利用配方或者顶点坐标公式得到顶点的纵坐标值等于5，解方程； （3）先求出的函数解析式，再将 ， 分别代入、的函数解析式得到、，进而可得 ，再根据 与零的关系分类讨论，分别解不等式． 【小问1详解】 解：∵ 中 ，对称轴为直线 ，， ∴ 的亲和同轴二次函数中，对称轴为直线，， ∴ 的亲和同轴二次函数为 ； 【小问2详解】 解：由函数 （ 且 ）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为 ； 利用配方或者顶点坐标公式得， ， 解得， 函数有最大值， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $