精品解析：2026年四川省眉山市中考一模考试数学试题

初中模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑． 1. 比小的有理数是（ ） A. B. C. 4 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 正数和0都大于一切负数， ∴ 选项中的0和4都大于，排除C，D； ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ，，， 可得， ， 比小的有理数是， 故选项A符合题意. 2. 年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的重合，那么这个图形就是中心对称图形 【详解】选项A，C，D将图形旋转后，图形与原图不重合，不是中心对称图形； 选项B，将图形旋转后，与原图完全重合，因此是中心对称图形． 3. 二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 【详解】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事件满足必然事件的定义， ∴该事件是必然事件. 4. 将一个三角板如图放置，直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由平行线的性质可得，最后由邻补角的定义计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等幂的运算相关知识． 【详解】A、根据同底数幂除法法则：，，此选项符合题意； B、根据同底数幂除法法则，，此选项不符合题意； C、根据积的乘方法则：，，此选项不符合题意； D、根据积的乘方法则，，此选项不符合题意． 6. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 7. 如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， ． 8. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B. 该机器人在测试点乙处停留了 C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为 D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象正确获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A根据时间=路程÷速度计算即可；B．根据A和图象计算即可；C．根据路程=速度×时间计算即可；D．根据速度=路程÷时间计算即可． 【详解】解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了， ∴A正确，不符合题意； 该机器人在测试点乙处停留了， ∴B正确，不符合题意； 测试点乙与测试点丙之间的距离为， ∴C正确，不符合题意； 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 9. 已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当和时，函数的值相等 D. 函数与的图象总有两个不同的交点 【答案】C 【解析】 【分析】结合二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．得出对称轴为直线，，即，又结合由对称性得另一个交点为，运用二次函数的性质得出，，和关于对称轴对称，即函数值相等，再把代入，得，整理得，依题意，联立，整理得，然后整理得 ，运用取特殊值法进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且． ∴对称轴为直线，开口向下， 得 由对称轴公式， 得 ∵， ∴ ∵ 二次函数与轴交于点， 由对称性得另一个交点为 ， 即 ∵开口向下，在两交点和之间， ∴时， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 依题意，把代入 得 ∵在这个范围内，开口向下， ∴ ， 故B选项不符合题意； ∵ ， ∴和关于对称轴对称， ∴函数值相等， 即当和时，函数的值相等 故C选项符合题意； ∴二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∵， ∴， 依题意，联立，整理得 ∵ ∴ ， 则， 整理得 ， 当，时， ，无两个交点， 故D选项不符合题意； 10. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，由题意可得，再求出，即可判断①正确；先证明，得出，连接，则为等腰直角三角形，从而可得，，证明，得出，证明，得出，再证明，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出，即可判断③错误；证明，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，证明点、、、在以为直径的圆上，，得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，求出，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵于点，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③利用已知条件无法证明出，故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点、、、在以为直径的圆上， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 11. 因式分解____________． 【答案】2x（x－2y） 【解析】 【分析】提取公因式2x即可． 【详解】解：原式＝2x（x－2y）， 故答案为：2x（x－2y）． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：设方程 的两根为，， 根据根与系数的关系可得， 已知其中一个根为，设， 则另一个根． 14. 如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】如图：，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，即可得到的度数；掌握切线的性质、切线长定理和等边三角形的判定成为解答本题的关键． 【详解】解：∵是的切线，A，B为切点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 15. 如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理．由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解是，0，1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出其整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解是，0，1． 18. 如图，在中，于点，． （1）在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质作图即可； （2）根据等边对等角可得，进而证明可得，，然后在中运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 又， ∴． 在中，． 19. 某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用（单位：秒，用时越短成绩越好）表示，分为三组：（优秀）；B．（良好）；C．（合格），根据调查结果给出了部分信息：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12．八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：9，10，9，9．八年级抽取的小组比赛完成时间扇形统计图如下图．根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 9.9 10 八年级 9.9 9 （1）填空：___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由． （3）若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取2个小组代表学校参加区级比赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率． 【答案】（1）9，10，40 （2）八年级学生在此次比赛中表现更好， 理由如下： 因为七年级、八年级的平均数一样，七年级、八年级的中位数和众数差不多大，但是七年级优秀的人数有2个，八年级优秀的人数有4个，明显八年级的优秀率高，故八年级学生在此次比赛中表现更好； （3） 【解析】 【分析】（1）由中位数、众数的定义求解，再结合扇形统计图求解的值； （2）根据中位数、众数、优秀率分析即可； （3）先画树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12， 则众数； 八年级C组的数据个数为，而B组有4个数据，则A组有个数据， 而中位数是第5、6个数据的平均数， 故中位数； ，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级的优秀小组有2个，记为A、B；八年级的优秀小组有4个，记为C、D、E、F，画树状图为 可知一共有30种等可能性的结果数，其中被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的结果数有16种， ∴被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率是． 20. 如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴； （2） 证明：连接、， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∵点为中点 ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、三角形的内角和定理得出，然后根据余角的性质即可得证； （2）连接、，设的半径为r，则，根据含的直角三角形的性质得出，根据弧、弦的关系得出，结合勾股定理可求出，证明，得出，进而求出，得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）5或6 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设平移后的函数解析式为（），先求出C、D的坐标，然后分；讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设平移后的函数解析式为（）， 当时，；当时，， ∴， 当时，则， 解得； 当时，， 解得或（舍去）， 综上，平移的距离5或6． 22. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． （1）求实际施工时，每天改造管网的长度； （2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 【答案】（1）实际施工时，每天改造管网的长度是72米 （2）以后每天改造管网至少还要增加36米 【解析】 【分析】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解； （2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解． 【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 此时，60×（1+20%）=72（米）． 答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米； （2）设以后每天改造管网还要增加米， 由题意得：， 解得：． 答：以后每天改造管网至少还要增加36米． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式． 23. 如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接． （1）如图1，当直线时，判断的形状； （2）如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设， ①当时，求证：； ②当时，用含的代数式表示的长． 【答案】（1）是等腰直角三角形 （2） 沿翻折得到， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据已知条件得出，根据菱形的性质得到，即可得解； （2）根据已知条件分别证明，，即可得证；由菱形和折叠条件可推导出 ，进而推导出 ， ， ， 四点共圆，由圆周角定理，得 可以得到 ，可推出 ，根据相似三角形对应边成比例，即可求出 的长． 【小问1详解】 解：延长交于点， ， ， ， ， 沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：略； 在菱形中， ，， ，， ， 由翻折条件可知： ，， ，， ，，，四点共圆， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了几何变换（翻折）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆以及等腰直角三角形的判定，本题关键是通过角的关系判断四点共圆，并利用圆周角定理推导角相等． 24. 某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． （1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． （3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）小莉的说法正确，理由 如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C， ∵， ∴对称轴为直线， ∵两车至少间隔1米， ∴当时，． ∵车辆宽为2.5米， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． ∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，， ∴刚好满足安全要求，因此说法正确 （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）先求出和顶点坐标为，然后用待定系数法求解即可； （2）设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C，求出，进而求出，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答； （3）设，求出，设．根据勾股定理求出，，．①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接，根据求出，然后利用平移的性质求解；③当为矩形的对角线时，如图和图，根据求出，然后利用中点坐标公式求解． 【小问1详解】 解：∵隧道的路面宽为10米， ∴ ∴， ∵隧道顶部最高处距地面6.25米， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设． 解得，， ∴． ∵对称轴为直线， ∴设． ∴，，． ①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q， ∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M， ∴． ②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q， ∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M， ∴． ③当为矩形的对角线时，如图和图， ∵， ∴， 解得， ∴或， ∵的中点坐标为， ∴或即或． 综上可知，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑． 1. 比小的有理数是（ ） A. B. C. 4 D. 0 2. 年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法确定 4. 将一个三角板如图放置，直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 7. 如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B. 该机器人在测试点乙处停留了 C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为 D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 9. 已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当和时，函数的值相等 D. 函数与的图象总有两个不同的交点 10. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 11. 因式分解____________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________ 14. 如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为________． 15. 如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为________． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 计算： （1）； （2） 17. 解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 18. 如图，在中，于点，． （1）在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 19. 某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用（单位：秒，用时越短成绩越好）表示，分为三组：（优秀）；B．（良好）；C．（合格），根据调查结果给出了部分信息：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12．八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：9，10，9，9．八年级抽取的小组比赛完成时间扇形统计图如下图．根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 9.9 10 八年级 9.9 9 （1）填空：___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由． （3）若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取2个小组代表学校参加区级比赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率． 20. 如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 22. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． （1）求实际施工时，每天改造管网的长度； （2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 23. 如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接． （1）如图1，当直线时，判断的形状； （2）如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设， ①当时，求证：； ②当时，用含的代数式表示的长． 24. 某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程． （1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式． （2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由． （3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决： 如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $