精品解析：2024年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷

2024年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑． 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形的关键是找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，据此对选项依次判断即可． 【详解】A、中心对称图形，选项符合题意； B、不是中心对称图形，选项不符合题意； C、轴对称图形，选项不符合题意； D、不是中心对称图形，选项不符合题意； 故选：A． 2. 眉山2023年全市地区生产总值约为1737亿元，将数据1737亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是，据此确定a和n的值即可解答． 【详解】解： 1737亿， 故选：B． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 由题意可知，， 由平行线分线段成比例定理得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据合并同类项、多项式乘以多项式、积的乘方、完全平方公式运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算正确，故本选项符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 调查“黑龙潭水库”的水质情况，采用全面调查 B. 一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 C. 若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 D. 为了了解一批学生奶的质量情况，从仓库中随机抽取100盒进行检验，这个问题中的样本是100 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查调查方式、中位数、众数、平均数、方差、样本等概念，理解概念是解题关键．本题根据调查方式、中位数、众数、平均数、方差、样本等概念逐项判断即可． 【详解】解：A、调查“黑龙潭水库”的水质情况，采用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意； B、一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3，故本选项说法正确，符合题意； C、若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，则应该选甲参赛，故本选项说法错误，不符合题意； D、为了了解一批学生奶的质量情况，从仓库中随机抽取100盒进行检验，这个问题中的样本是100盒学生奶的质量情况，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质：对角线互相平分、对边平行且相等，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，，故C正确，符合题意； 故选：C． 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出的度数，根据平角的定义求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 10. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，先通过作图步骤得到，从而证明相似，利用相似三角形的面积比等于对应边长比的平方的性质，结合题目已知面积比求解线段比即可． 【详解】解：由作图知，， ， ， 又， ． ． ． 故选：C． 11. 已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到，，即，分；两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于，两点， ∴，即， ∴，， ∵，且满足， ∴，， ∴， 当时，，即， ∴直线经过第一、二、三象限； 当时，，即， ∴直线经过第二、三、四象限， 综上，直线一定经过第二、三象限， 故选：B． 12. 如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．连接，过点作于点，利用全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：是正方形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， 在和中， ， ， ，即，故②正确； ，， ， ，即， ， ， ， ，， ，故③错误； 在和中， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点，是直角三角形， ，， 是直角三角形，为的中点， ， 的周长，故④正确． 故选：． 【点睛】 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 14. 如图， 平分，， 的延长线交于点E， 若， 则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明得，根据求出即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为6，则该“莱洛三角形”的周长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及弧长公式的应用．关键在于理解“莱洛三角形”周长的构成，即由三段圆心角为，半径为等边三角形边长的弧组成，通过弧长公式计算出一段弧长，再乘以即可得到周长． 【详解】解：∵等边三角形的边长为6，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故答案为：． 16. 已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 17. 已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM＋BM的最小值为___． 【答案】5 【解析】 【分析】设点M（m，m2），用含m代数式表示BM＝m2＋1，可得点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M（m，m2）， 则点M到x轴距离为m2，BM＝＝m2＋1， ∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等， ∵点A横坐标为x＝2， ∴点M为直线x＝2与抛物线交点， 如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点（2，﹣1）， ∴为AM＋BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最短路线和二次函数的问题，做题的关键是利用轴对称解决最短路线． 18. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，过作于点，先证明全等得到，结合相似三角形得到比例，通过勾股定理和设未知数建立方程，求解比例关系即可． 【详解】解：过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， 则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．（其中第6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算各项，包括立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂以及绝对值，然后按照实数的运算规则进行化简计算．本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根的定义、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， 即：， ，， 解得，． 21. 环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图，回答下列问题． （1）本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图． （2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名． （3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）100， 补全条形统计图如下： （2）320 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据C组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组人数，进而补全统计图即可； （2）用1600乘以“非常了解”所占的比例即可； （3）先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 【小问1详解】 （人） 组人数为（人） 略 【小问2详解】 （人） ∴估计“非常了解”的学生共有320人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种， 被选中的两人恰好是一男一女的概率为． 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 22. 某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高． （结果精确到．参考数据：，，，，，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，过点作于，解直角三角形得到，，即可得，再由三角函数可得，，得到，根据可得，求出，即可求解，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， 即， 解得， ∴， 答：塔高约为． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图象于点Q，连接．当时，求n的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数过，，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式； （2）证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过，两点， ∴， ∴，， ∴反比例函数为，， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数为； 【小问2详解】 如图，连接， ∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A向左平移个单位，向下平移4个单位得到P， ∴点向左平移个单位，向下平移4个单位得到， ∵点Q在上， ∴， 解得n． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，求解Q点的坐标是解题的关键． 24. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 （2）购买跳绳所需最少费用是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得：， 答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 【小问2详解】 解：设购买型跳绳根． 班级计划购买，两型跳绳共48根 购买型跳绳根． 根据题意得： 解得：． 设购买跳绳所需费用为元， 则 即 ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年四川省眉山市东坡区中考数学诊断试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑． 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     2. 眉山2023年全市地区生产总值约为1737亿元，将数据1737亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 调查“黑龙潭水库”的水质情况，采用全面调查 B. 一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3 C. 若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且，，则应该选乙参赛 D. 为了了解一批学生奶的质量情况，从仓库中随机抽取100盒进行检验，这个问题中的样本是100 6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 10. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为．则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 12. 如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 分解因式：=_________________________． 14. 如图， 平分，， 的延长线交于点E， 若， 则的度数为________． 15. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为6，则该“莱洛三角形”的周长等于______． 16. 已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为______． 17. 已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM＋BM的最小值为___． 18. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．（其中第6题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图，回答下列问题． （1）本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图． （2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名． （3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率． 22. 某山顶有一座观光塔，山脚处有一条笔直山路直通塔底．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚处测得塔顶的仰角，沿着山坡向上走到达点处，在处测得塔顶的仰角，已知山坡倾斜角，求塔高． （结果精确到．参考数据：，，，，，，．） 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图象于点Q，连接．当时，求n的值． 24. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $