精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2025-2026学年下学期九年级数学定时练习

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 958的相反数是（ ） A. 958 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴958的相反数为． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、是轴对称图形，该选项符合题意；  、不是轴对称图形，该选项不符合题意；  、不是轴对称图形，该选项不符合题意；  、不是轴对称图形，该选项不符合题意． 3. 下列调查中不适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某班学生体考成绩 B. 调查某架新飞机零件是否合格 C. 调查西葫芦村村民的总人数 D. 调查某厂生产100枚炮弹的杀伤半径 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的适用条件判断即可，普查结果准确，但仅适合范围小、无破坏性的调查，具有破坏性的调查不适合采用普查． 【详解】解：A 调查某班学生体考成绩，调查范围小，适合全面调查； B 调查新飞机零件是否合格，结果直接影响飞行安全，要求精准，适合全面调查； C 调查一个村庄的村民总人数，范围小，适合全面调查； D 调查炮弹的杀伤半径，调查过程具有破坏性，每一枚炮弹测试后都无法再使用，不适合采用全面调查． 4. 已知实数 满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于 的分式方程得到 的所有可能值，再根据反比例函数的性质：若点在图象上，则点横纵坐标的乘积等于 ，验证选项即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 整理得，， 即， 解得或， ∵反比例函数满足， ∴或， 、，不等于 也不等于，故该选项不符合； 、，与 的一个值相等，故该选项符合； 、，不等于 也不等于，故该选项不符合； 、，不等于 也不等于，故该选项不符合． 5. 若为正整数，且满足，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】通过估算无理数的范围，结合不等式的基本性质化简原式，即可求出正整数的值 【详解】解：∵， ∴， 化简得， ∵， ∴，即， ∵为正整数，满足， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，，，以点 为位似中心，将放大为，满足，连接．则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质及判定，过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得，进而可求得，得到点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵与是位似图形， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又，， ∴，． ∴． ∴点的坐标为． ∴． 7. CR450是我国新一代高速动车组．小懂和小颖是两名铁路爱好者，他们购买了若干CR450AF、CR450BF动车的挂件并摆出以上图案．第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件……按照这一规律，则第⑨个图中CR450AF动车的挂件和第⑧个图中CR450BF动车的挂件的个数的差值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】分别统计前几个图形中两种挂件的数量，归纳出数量随图形序号变化的规律，进而求出第⑨个图中CR450BF动车的挂件数量和第⑧个图中CR450AF动车的挂件数量． 【详解】解：由题意知，设第n个图中CR450BF动车的挂件数量为，CR450AF动车的挂件数量为， 第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，记作，， 第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，记作，， 第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，记作，， 第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，记作，， ∴，，，，……， 观察规律可知，第1个图为，从第2个图开始，每两个图的CR450BF动车的挂件数量相同，且底数依次加1，即第个图中，， 当时，，即 ， ∴， 又∵，，，，……， 观察规律可知，每两个图的CR450AF动车的挂件数量相同，且为连续整数的乘积， 即第个图中，， 当时，，即， ∴， ∴差值为． 8. 如图，在扇形中，，半径，点C和点D分别是的中点，点E是圆弧上一点满足，以、 为边在圆弧内作正方形，连接 ．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形，阴影部分面积可看作由扇形、组成的曲边四边形的面积，减去的面积，再减去正方形落在该区域内的部分，即；利用已知条件求出各线段长度和角度，分别计算各部分面积，正方形为白色区域，需从总覆盖面积中扣除重叠部分即可． 【详解】解：∵，，点C和点D分别是的中点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， 如图，过点E作于点H， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 设 与交于点M， ∵，C为中点， ∴为的中位线， ∴M为 中点，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是边 ， 上的点且满足，连接对角线 ．过点D作交 的延长线于点G，连接交 于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，从而推导出；设正方形边长为a，，表示出和；过点H作于点M，利用求出的长度，进而求出的长度，最后计算比值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长，， ∴， ∴， 如图，过点H作于点M， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中、为正整数，为自然数，且满足．下列说法： ①满足条件的所有整式 共有30个； ②所有满足条件的整式 在时的值之和为105； ③将所有满足条件的整式 相加得到多项式，则的奇次项系数之和为48． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件（为自然数，n、为正整数），对n的可能取值进行分类讨论，分别计算不同n值下满足条件的整式M的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：∵，为自然数，为正整数，为自然数， ∴． 当时： ， 得， ∵， ∴，，整式为． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式有、、、． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式、、； 时，，整式、、、、、． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式，； 时，，整式，，； 时，，整式，，，． 当时：， 得：， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式； 时，，整式； 时，，整式； 时，，整式； ∴总整式个数为（个），故①错误． 当时，所有满足条件的整式 在时的值之和为 ， 当时，所有满足条件的整式 在时的值之和为， 当时，所有满足条件的整式 在时的值之和为， 当时，所有满足条件的整式 在时的值之和为， 当时，所有满足条件的整式 在时的值之和为， ∴所有满足条件的整式 在时的值之和为，故②错误； 当时，所有满足条件的整式 的和为； 当时，所有满足条件的整式 的和为： ； 当时，所有满足条件的整式 的和为： ； 当时，所有满足条件的整式 的和为： ； 当时，所有满足条件的整式 的和为： ； ， ∴的奇次项系数之和为： ，故③正确． 综上，正确个数为1． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年五一劳动节全国铁路日均计划开行旅客列车约万列，其中万用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将以万为单位的数转化为整数，再根据科学记数法的定义，将其表示为（，为整数）的形式即可． 【详解】解：万，根据科学记数法的定义可得：． 12. 若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 13. 西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，能够正确计算各事件发生的次数是解题的关键． 先求出所有蛋糕盲盒的总数量，再分别计算两人选到每种同种口味的概率，利用不放回模型计算最终结果． 首先计算所有蛋糕盲盒的总数量（盒）， 【详解】设两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒为事件 ，小懂有40种选择，则小颖有剩下的39种可能，所有等可能的结果数为， 两人选同一种口味的所有等可能结果数为， 则概率为． 14. 已知实数满足，且关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由可得，解得或，由关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根可得 或 ，从而得，即可计算的值． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 解得：或， ∵关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： 或 ， ∴， ∴． 15. 如图， 是的外接圆，以 为边作菱形，对角线 ， ．过点A作 的切线交 的延长线于点E，连接交 于点F，连接．若，，则为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设 、 交点为M，、 交点为N，证明四边形是平行四边形得，，证明得，可求出，进而求出，设 与 交于点P，得直径 ，连接，，证明得．过点B作交 于点G，过点F作交 于点H，面积法求出，证明得，利用勾股定理求出，然后代入化简即可． 【详解】解：设 、 交点为M，、 交点为N， 在菱形中，，，， ∴在中，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，即， ∴， 如图，设 与 交于点P，得直径 ，连接，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 过点B作交 于点G，过点F作交 于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 16. 若一个四位数（其中，且a、b、c、d均为整数）的千位数字与个位数字相同且百位数字与十位数字之和为13，则称这个四位自然数M为“汉堡数”．记．将“汉堡数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新的四位数，记．若A是“汉堡数”，则A的最大值为_____；对于“汉堡数”B，若存在正整数m、k满足，且是一个完全平方数，则所有满足条件的的和是_____． 【答案】 ①. 9949 ②. 【解析】 【分析】根据题意，要使“汉堡数”A最大，则千位数和百位数尽量最大，结合已知条件，，从而求得最大数A； 先分别化简、，再结合，，代入到进行化简，可得a可取3，6，9，设，分情况进行枚举讨论，将所得到的a、b、c值代入到进行验证，从而得出结果． 【详解】解：由题意知，在“汉堡数”中，，， 要使“汉堡数”A最大，则a、b取最大数9， ∴，， ∴， ∴A的最大值为； 由题意知，，， ， ∵， ∴是完全平方数， ∵，， ∴， ∴是完全平方数， 在中，a是3的倍数， ∴a可取3，6，9， 设， 此时分情况讨论： ①当时，， 仅当时，，0是完全平方数，符合条件， ∴， 代入，得：， 此时存在，使得k为正整数，符合题意， ∴； ②当时，， 在范围内，无符合条件的完全平方数； ③当时，，则有或6， 当时，，64是完全平方数，符合条件， ∴，不符合条件， 当时，，49是完全平方数，符合条件， ∴， 代入，得：， 此时存在，使得k为正整数，符合题意， ∴， 综上所述，所有满足条件的的和是． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题和18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有自然数解． 【答案】所有自然数解为 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的所有自然数解为． 18. 小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在中， ，，点 ，点分别为 上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： （1）尺规作图．用圆规和直尺，过点作交 于点，交 于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交 于 ④ 即是等腰三角形 【答案】（1）见图： （2）① ； ②；③ ； ④  【解析】 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图． （2） 且，所以先推导底角的度数，得到①的内容．因为要利用证明，已知，，所以结合题干中，确定②的内容．因为，所以利用全等三角形对应角相等的性质，得到③的内容．因为，，且，所以通过等量代换推导与的关系，得到④的内容，进而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 解：在 的另一侧取点G， 以点E为圆心，以长为半径作弧，交 于两点， 分别以两点为圆心，以大于这两点之间的距离的一半的长为半径画弧，两弧交于点I， 作射线交于点F，交 于点H， 则，如图． 【小问2详解】 证明：， ， 在和中，， （）， ， 又于交 于， ， ， ，即是等腰三角形． 19. 化简求值：，其中． 【答案】化简后：；代入后： 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分运算，将可以因式分解的式子因式分解，然后进行加减乘除运算，再求出x的值代入求值． 【详解】解：原式 ， ， 将代入，得原式． 20. 西葫芦村某学校食堂推出了汉堡套餐这款新菜品．为了解学生们对这款新菜的喜爱程度，学生成长部从七、八年级各随机抽取名学生进行满意度评分（百分制，评分为整数且均不低于 分，用表示）分为以下四个等级：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级名学生评分在B等级中的数据是：，，，，，， 八年级名学生评分是：，，，，，，，，，，，，，，，，， ，， 七、八年级所抽取学生满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 七年级所抽取学生满意度评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对食堂新菜品的满意度更高？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数． 【答案】（1）；； （2） 解：七年级学生的满意度更高； 理由：七年级学生满意度评分的中位数为，高于八年级的，说明七年级有一半以上的学生评分不低于，整体满意度更高； （3）人 【解析】 【分析】（1）先根据扇形统计图算出七年级各等级人数，再将七年级数据排序求中位数 ，找出八年级出现次数最多的数得众数 ，用C等级人数除以总人数得； （2）通过比较七、八年级满意度评分的中位数，判断哪个年级整体满意度更高； （3）分别用七、八年级样本中A等级学生的占比乘以对应年级总人数，再相加即可得到A等级学生的总估计人数． 【小问1详解】 解：七年级共名学生，A等级人数为人，D等级人数为人，B等级有人（题目给出个数据），则C等级人数为人，七年级20个数据的中位数是第和第个数的平均数，前个数为D、C等级，第至个数为B等级数据，因此第、个数均为，中位数； 八年级评分中出现了 次，出现次数最多，故众数； 七年级共名学生，C等级人数为 人，故，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级A等级人数：人； 八年级A等级人数：八年级名学生中A等级有 人，故人； 因此，七、八年级A等级学生总人数约为：人． 答：估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数约为人． 21. 列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． （1）求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ （2）随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 【答案】（1）甲、乙两工程队每天各掘进米，米 （2）3 【解析】 【分析】（1）设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米，根据“甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米”建立方程求解； （2）分别表示甲乙两队的时间，然后由“结果乙工程队比甲工程队多用4天”建立分式方程求解． 【小问1详解】 解：设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米 由题意得， 解得， 则 答：甲、乙两工程队每天各掘进米，米； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得， 经检验，，都是原方程的解，但，不符合题意， ∴原方程的解为 ∴的值为 ． 22. 如图，在矩形中，，点是 的中点，连接 、 ．动点 从点 出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，过点 作交 于点 ．设点 的运动时间为秒，的面积为，的值为． （1）请直接写出函数分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）当时， 当时， （2）图像如图： 的性质：函数图像关于直线对称；当时， ​取得最小值0 的性质：：函数图像在第一象限内，​随增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（ ）先结合矩形的性质和等腰三角形的性质求出各线段的长度，分别在 ， 两段表示的面积和的值； （ ）先画出图像，在结合图像观察即可； （ ）观察函数图像，数形结合的思想解各个分段的解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，是 的中点， ∴ ，， ∴ ，， 在中，， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当 时（ 在 上运动） 由题意可知，， ∴在中，， 则 到 的距离为， ∴，即 ； ∴； ② 当 时（P 在 上运动） 从出发的路程为， ∴ 到 的垂直距离为 ， 到 的垂直距离为， ∴ ∴， ∵， ； 综上所述：当 时，； 当 时，； 【小问2详解】 解： 的性质：函数图像关于直线对称；当时， ​取得最小值0； 的性质：函数图像在第一象限内，​随增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，， ∵ ∴ 整理得，即恒成立； ∵无意义， ∴符合题意； 当时，； ∵， ∴，整理得 当 时，解得：，， 结合二次函数图像，不等式在的解为． 综上所述当时的取值范围为． 【点睛】把矩形中的动点问题，通过构造直角三角形，将点的运动时间、位置关系转化为分段函数表达式，数形结合去理解函数的性质是解题的关键． 23. 川渝泡菜又叫泡酸菜，是汉族特色菜肴，属于川菜系．其味道咸酸，口感脆生，色泽鲜亮，香味扑鼻，开胃提神，醒酒去腻，老少适宜，一年四季都可以制作，深受川渝人民的喜爱．今年劳动节，小李和小果约好一起去亲戚家的泡菜厂了解泡菜制作过程．如图， 在同一平面内，小李家 位于小果家 北偏西方向，公园位于小李家 西南方向上且在小果家 的正西方向，广场 位于小李家 北偏东方向且位于小果家 北偏东方向12千米处，泡菜厂位于广场 的正南方向且位于公园南偏东 方向． （1）求公园和小果家 的距离；（结果保留根号） （2）某一时刻，小李和小果分别从公园和广场同时出发沿的路线和的路线前往泡菜厂，小李的速度是每小时千米，小果的速度是每小时千米．当两人出发2小时后，小李在路途中因突发事件停留耽搁了一段时间，此段时间内小果又走了4千米．随后两人以新的速度前往泡菜厂，且小李的速度是小果的2倍．当小李和小果的直线距离等于千米时，求小果距离泡菜厂的距离．（结果保留1位小数，参考数据：） 【答案】（1）千米 （2）2.9千米 【解析】 【分析】（1）过点B作于H，求出，在中，利用三角函数求出，在 上取点R，连接，使，延长交 于G，则，设，用x表示出，，在中，由勾股定理得，计算求出x的值即可； （2）延长交 于F，在中，求出，，在中，，，设小果以新的速度走y千米，小李以新的速度走千米，设此时小李在点P的位置，小果在点W的位置，则，，过点P作于S，则，，在中，，，由勾股定理得，在中，，得到，求出，进而求出小果距离泡菜厂的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴， 过点B作于H， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在 上取点R，连接，使，延长交 于G，则， ∴，， 在中，， ∴， 设， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：延长交 于F， 在中，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 设小果以新的速度走y千米，小李以新的速度走千米， 设此时小李在点P的位置，小果在点W的位置， 则，， 过点P作于S，则， ∴， 在中，，，由勾股定理得， 在中，， ∴， 解得， ∴小果距离泡菜厂的距离为（千米）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于 ，两点，交轴于点，连接 、 ，抛物线的对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1， 为直线 下方抛物线上一点，过点 作交 于点 ，交 于点，过点 作交轴于点，点是直线上的一动点，过点 作轴交 于点 ，连接．当取得最大值时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿 方向平移得到新抛物线且经过点．过点 作交 于点 ，交 于点．点 是新抛物线上的一动点，连接 、．当时，请直接写出所有可能点的横坐标及其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴和图象上的点即可列式解答； （2）根据（1）可求得，，，即可知，由此可设，，，根据，得，，利用相似的性质可以求得的表达式，根据二次函数的性质能够确定的值，最后利用轴对称的性质可以求出周长的最小值； （3）由（2）可推得，，根据题意可以求出平移后抛物线为，由此可设，利用可得，即可求得 的横坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点，且对称轴为， ， 解得， 即； 【小问2详解】 解：∵抛物线交轴于 ，两点，交轴于点， ，， 将，代入直线得， ，解得， 即， 设，则，， 则，， ，， ，， ， ， ， ， , 则， 即当取得最大值时，， 故， ， ， ， 将代入得，，解得， ， 作点关于的对称点，连接，，则， 且， ， 的周长， 即的周长最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，，， 则， ， ， ， ， ，， ， 将抛物线沿 方向平移得到新抛物线， 设， 经过点， 或（舍）， 即， 设， 当在 左侧时，过点作，交过点 且垂直于轴的直线于点， 由（2）可知， ，则， ， ， 即， ，， ， 解得； 当在 右侧时， 由于，过点作， 此时在右侧，垂线与没有交点，则不存在 ， 综上，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，二次函数和一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的运用，知识点的综合性强，难度大，能够熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 25. 如图，在等腰中，，点 是延长线上一点，连接 、． （1）如图1，点是 延长线上一点，若，，求 的面积． （2）如图2，点是 上一点，取中点，取 中点 ，连接、 ．若，请猜想和的数量关系并证明； （3）如图3，在（1）的条件下，点 为 边上的动点，连接 ．将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接．当取得最小值时，点为直线 上动点，连接．将点 关于直线对称得到点，连接，点 为的中点．当取得最大值时，点为直线 上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 连接，延长至点，使，连接， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点 是 的中点， ∴， ∴， 过点作，交延长线于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，求出，，过点作延长线于点 ，利用，得出，，利用，得出，利用，求出，即可求解； （2）连接，延长至点，使，连接，通过证明，证明，再证明是等边三角形，结合点 是 的中点，得出，过点作，交延长线于点，证明，得出，，再证明，得出，即可证明； （3）将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接交 于点，通过证明，求证，得出点 在过 的中点，且垂直于 的直线上运动，则当时，取得最小值时，此时 在的位置，连接 ，并取 的中点，连接，得出，则点 在以点为圆心，为半径的圆上，当 、 、 依次共线时，取得最大值，此时将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，通过证明，证明，则点在过点，且垂直于的直线上运动，则当垂直于直线时，取得最小值，此时点与点重合，此时，过点 作延长线于点，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 过点作延长线于点 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，  ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将线段 绕点 逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接交 于点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴点 在过 的中点，且垂直于 的直线上运动， ∴当时，取得最小值时， ∵，即取得最小值时， 在的位置， ∴， 此时，∵将点 关于直线对称得到点， ∴， 连接 ，并取 的中点，连接， ∵点 为的中点， ∴， ∴点 在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当 、、 依次共线时，取得最大值，此时如下图， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段， ∴，， 将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，设直线为直线， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点，且垂直于的直线上运动， ∴当垂直于直线时，取得最小值， 此时点与点重合， 此时如图，过点 作延长线于点， 设与 交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 958的相反数是（ ） A. 958 B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中不适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某班学生体考成绩 B. 调查某架新飞机零件是否合格 C. 调查西葫芦村村民的总人数 D. 调查某厂生产100枚炮弹的杀伤半径 4. 已知实数 满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若为正整数，且满足，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在平面直角坐标系中，，，，以点 为位似中心，将放大为，满足，连接．则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. CR450是我国新一代高速动车组．小懂和小颖是两名铁路爱好者，他们购买了若干CR450AF、CR450BF动车的挂件并摆出以上图案．第①个图中有1个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第②个图中有4个CR450BF动车的挂件和2个CR450AF动车的挂件，第③个图中有4个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件，第④个图中有9个CR450BF动车的挂件和6个CR450AF动车的挂件……按照这一规律，则第⑨个图中CR450AF动车的挂件和第⑧个图中CR450BF动车的挂件的个数的差值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在扇形中，，半径，点C和点D分别是的中点，点E是圆弧上一点满足，以、 为边在圆弧内作正方形，连接 ．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是边 ， 上的点且满足，连接对角线 ．过点D作交 的延长线于点G，连接交 于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中、为正整数，为自然数，且满足．下列说法： ①满足条件的所有整式 共有30个； ②所有满足条件的整式 在时的值之和为105； ③将所有满足条件的整式 相加得到多项式，则的奇次项系数之和为48． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年五一劳动节全国铁路日均计划开行旅客列车约万列，其中万用科学记数法表示为_____． 12. 若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 13. 西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 14. 已知实数满足，且关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值为_____． 15. 如图， 是的外接圆，以 为边作菱形，对角线 ， ．过点A作 的切线交 的延长线于点E，连接交 于点F，连接．若，，则为_____． 16. 若一个四位数（其中，且a、b、c、d均为整数）的千位数字与个位数字相同且百位数字与十位数字之和为13，则称这个四位自然数M为“汉堡数”．记．将“汉堡数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新的四位数，记．若A是“汉堡数”，则A的最大值为_____；对于“汉堡数”B，若存在正整数m、k满足，且是一个完全平方数，则所有满足条件的的和是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题和18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有自然数解． 18. 小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在中， ，，点 ，点分别为 上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： （1）尺规作图．用圆规和直尺，过点作交 于点，交 于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交 于 ④ 即是等腰三角形 19. 化简求值：，其中． 20. 西葫芦村某学校食堂推出了汉堡套餐这款新菜品．为了解学生们对这款新菜的喜爱程度，学生成长部从七、八年级各随机抽取名学生进行满意度评分（百分制，评分为整数且均不低于 分，用表示）分为以下四个等级：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级名学生评分在B等级中的数据是：，，，，，， 八年级名学生评分是：，，，，，，，，，，，，，，，，， ，， 七、八年级所抽取学生满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 七年级所抽取学生满意度评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对食堂新菜品的满意度更高？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，估计该校七、八年级中满意度评分A等级的学生总人数． 21. 列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． （1）求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ （2）随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 22. 如图，在矩形中，，点是 的中点，连接 、 ．动点 从点 出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，过点 作交 于点 ．设点 的运动时间为秒，的面积为，的值为． （1）请直接写出函数分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 川渝泡菜又叫泡酸菜，是汉族特色菜肴，属于川菜系．其味道咸酸，口感脆生，色泽鲜亮，香味扑鼻，开胃提神，醒酒去腻，老少适宜，一年四季都可以制作，深受川渝人民的喜爱．今年劳动节，小李和小果约好一起去亲戚家的泡菜厂了解泡菜制作过程．如图， 在同一平面内，小李家 位于小果家 北偏西方向，公园位于小李家 西南方向上且在小果家 的正西方向，广场 位于小李家 北偏东方向且位于小果家 北偏东方向12千米处，泡菜厂位于广场 的正南方向且位于公园南偏东 方向． （1）求公园和小果家 的距离；（结果保留根号） （2）某一时刻，小李和小果分别从公园和广场同时出发沿的路线和的路线前往泡菜厂，小李的速度是每小时千米，小果的速度是每小时千米．当两人出发2小时后，小李在路途中因突发事件停留耽搁了一段时间，此段时间内小果又走了4千米．随后两人以新的速度前往泡菜厂，且小李的速度是小果的2倍．当小李和小果的直线距离等于千米时，求小果距离泡菜厂的距离．（结果保留1位小数，参考数据：） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于 ，两点，交轴于点，连接 、 ，抛物线的对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1， 为直线 下方抛物线上一点，过点 作交 于点 ，交 于点，过点 作交轴于点，点是直线上的一动点，过点 作轴交 于点 ，连接．当取得最大值时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿 方向平移得到新抛物线且经过点．过点 作交 于点 ，交 于点．点 是新抛物线上的一动点，连接 、．当时，请直接写出所有可能点的横坐标及其中一种情况的求解过程． 25. 如图，在等腰中，，点 是延长线上一点，连接 、． （1）如图1，点是 延长线上一点，若，，求 的面积． （2）如图2，点是 上一点，取中点，取 中点 ，连接、 ．若，请猜想和的数量关系并证明； （3）如图3，在（1）的条件下，点 为 边上的动点，连接 ．将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接．当取得最小值时，点为直线 上动点，连接．将点 关于直线对称得到点，连接，点 为的中点．当取得最大值时，点为直线 上一动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $