5.5 分式方程 同步练习 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦分式方程核心知识点，通过基础巩固、知识综合、实际应用三层设计，实现从概念理解到运算能力再到模型意识的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式方程的增根计算、基本解法|以选择、填空为主，如增根值选择题，强化运算能力| |提升层|增根与无解综合、多知识点结合|如含平方关系的增根判断题，培养推理意识| |综合层|实际问题列方程、方案设计|结合工程、行程等情境的解答题，发展模型意识|

2026年浙教版七年级第二学期第五单元：分式方程 【知识点】分式方程的增根（无解） 1.若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】A 2.关于的方程有增根，则，的值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 3.下列说法正确的有（　　） ①若a，b满足a2+b2＝6a﹣2b﹣10，则； ②若（a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0，则b＝a+c； ③若a+b+c＝0，且abc＞0，则的值为±1； ④若关于x的方程的解是正数，则所有符合题意的正整数m的和为6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵a2+b2＝6a﹣2b﹣10， ∴a2+b2﹣6a+2b+10＝0， （a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）＝0， （a﹣3）2+（b+1）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴a﹣3＝0，b+1＝0， 解得：a＝3，b＝﹣1， ∴， 故①的说法错误； （a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0， a2﹣2ac+c2﹣（2ab﹣4ac﹣b2+2bc）＝0， a2﹣2ac+c2﹣2ab+4ac+b2﹣2bc＝0， a2+b2+c2﹣2ab+2ac﹣2bc＝0， （a﹣b+c）2＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， 故②的说法正确； ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， ∵abc＞0， ∴分4种情况讨论： ①a＞0，b＞0，c＞0， ∴ ＝﹣1﹣1﹣1 ＝﹣3； ②a＞0，b＜0，c＜0， ∴ ＝﹣1+1+1 ＝1； ③a＜0，b＜0，c＞0， ∴ ＝1+1﹣1 ＝1； ④a＜0，b＞0，c＜0， ∴ ＝1﹣1+1 ＝1， ∴的值为1或﹣3， 故③的说法错误； ， 2x﹣m﹣3（x﹣1）＝﹣1， 2x﹣m﹣3x+3＝﹣1， 2x﹣3x＝﹣1+m﹣3， ﹣x＝m﹣4， x＝4﹣m， ∵的解是正数， ∴4﹣m＞0， ﹣m＞﹣4， m＜4， ∵x≠1，即4﹣m≠1， ∴m≠3， ∴所有符合题意的正整数m为2，1， ∴所有符合题意的正整数m的和为：2+1＝3， 故④的说法错误； 综上可知：正确的共1个， 故选：A． 4.关于x的分式方程有增根，则a的值是 　1　 ． 【解答】解：方程两边乘（x﹣3）得：2﹣x＝﹣a﹣2（x﹣3）， ∴x＝4﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴4﹣a＝3， ∴a＝1． 故答案为：1． 5.若关于x的分式方程有增根，则a的值是　2　 ． 【解答】解：分式方程去分母得：4＝ax+5（x﹣2）， 去括号得：4＝ax+5x﹣10， 则（5+a）x＝14， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴x＝2， 即， 解得a＝2， 故答案为：2． 6.关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 7.若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是__________． 【答案】 【知识点】列分式方程 1.某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程．根据此情境．题中用“______”表示的缺失条件为（　　） A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务 【解答】解：设实际每天铺设管道x米， 根据方程4， 可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务． 故选：A． 2.2026杭州马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑．小南、小开参加5千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地5千米的B地．已知小南跑步的速度是小开的1.5倍．若小开先跑12.5分钟，小南才开始从A地出发，两人恰好同时到达B地，设小开跑步的速度为每小时x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，得， 故选：C． 3.我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设未知数x，y，依题意列出一个方程y（x+1）＝2y（x﹣3），则用一个未知数列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：用一个未知数列出方程为， 故选：D． 4.2025年杭州马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5千米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟（x+100）米， 由题意得：10， 故选：B． 5.“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具x套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 6.某煤厂原计划天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ） A． B． C． D． 【答案】C 7.直播带货以更强的互动性和更多的价格优惠而深受消费者的喜爱．某直播间推出一款T 恤，按原标价九折销售，两小时内销售额为5000元，另一直播间按原标价的七五折销售，相同时间内多卖出40件，销售额增加800元，设每件T 恤的原标价为x 元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8.从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约12千米，自驾车车程约15千米.小明乘坐线比自驾车平均速度提高了15%，时间缩短了0.1小时.设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 9.2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用A、B型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，A型机器人共打包1080件物品，B型机器人共打包750件物品，已知A型机器人比B型机器人每天多打包30件物品． （1）一个A、B型机器人每天分别打包多少件物品？ （2）“618”期间，物流公司每天使用A、B型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【解答】解：（1）设A型机器人有x个，则B型机器人有（11﹣x）个， 依题意列分式方程有，， 整理得x2﹣72x+396＝0， 解得x＝66（不符合题意，舍去）或x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴一个A型机器人每天打包件物品， 一个B型机器人每天打包180﹣30＝150件物品； 答：一个A、B型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）设“618”期间，使用A型机器人a个，使用B型机器人b个， 依题意列二元一次方程有，180a+150b＝2460， 整理得6a+5b＝82， ∵a和b都是正整数， ∴当a＝2时，12+5b＝82， 解得b＝14； 当a＝7时，42+5b＝82， 解得b＝8； a＝12时，72+5b＝82， 解得b＝2； 综上所述，共有三种方案，方案一，使用A型机器人2个，B型机器人14个；方案二，使用A型机器人7个，B型机器人8个；方案三，使用A型机器人12个，B型机器人2个． 10.某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物，已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． （1）求机器狗和无人机的采购单价． （2）满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载25kg，运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． （3）若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案，并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【解答】解：（1）设机器狗的采购单价是x万元，无人机的采购单价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元； （2）设无人机的单次最高载货量为mkg，则机器狗的单次最高载货量为（m+25）kg， 根据题意得：， 解得：m＝15， 经检验，m＝15是所列分式方程的解，且符合题意， ∴m+25＝15+25＝40（kg）． 答：机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg； （3）设采购a只机器狗，b台无人机， 根据题意得：12a+10b＝160， ∴b＝16a， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴共有2种采购方案， 方案1：采购5只机器狗，10台无人机，单次载货总量为40×5+15×10＝350（kg）； 方案2：采购10只机器狗，4台无人机，单次载货总量为40×10+15×4＝460（kg）． ∵350＜460， ∴方案2的单次载货总量最高． 答：共有2种采购方案，方案1：采购5只机器狗，10台无人机；方案2：采购10只机器狗，4台无人机，方案2的单次载货总量最高． 【知识点】解分式方程 1.解方程． 【解答】解：， 方程两边同乘x﹣2，得1+2（x﹣2）＝x﹣1， 解得x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 2.解方程．． 【解答】解：， 方程两边同时乘2（x+6），得2（2x﹣3）＝x+6， 去括号，得4x﹣6＝x+6， 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入2（x+6）≠0， ∴分式方程的解为x＝4 3.解方程：． 【解答】解： （2）原方程去分母得：2﹣2x+4（x﹣2）＝1， 整理得：2x﹣6＝1， 解得：x＝3.5， 检验：当x＝3.5时，2（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝3.5． 4.解方程：． 解：原方程去分母得：2+4x＝x﹣2， 解得：x， 检验：当x时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x． 5.解下列方程：． 【解答】， 方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得x（x﹣1）﹣3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 解得x， 检验：当x时，（x+1）（x﹣1）≠0， 所以原分式方程的解是x． 6.解方程： （1）； 【解答】解：（1）原方程去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 整理得：2x+4＝8， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解； 7.解下列方程： ． 【答案】； 解：， 整理得到， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为； 8.解下列方程： 【答案】 去分母得： 移项，合并同类项，得 经检验：是原方程的根 所以，原方程的根为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙教版七年级第二学期第五单元：分式方程 【知识点】分式方程的增根（无解） 1.若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 2.关于的方程有增根，则，的值为（ ） A． B．4 C． D．2 3.下列说法正确的有（　　） ①若a，b满足a2+b2＝6a﹣2b﹣10，则； ②若（a﹣c）2﹣（2a﹣b）（b﹣2c）＝0，则b＝a+c； ③若a+b+c＝0，且abc＞0，则的值为±1； ④若关于x的方程的解是正数，则所有符合题意的正整数m的和为6． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.关于x的分式方程有增根，则a的值是 　 　 ． 5.若关于x的分式方程有增根，则a的值是　 　 ． 6.关于的分式方程有增根，则的值为______． 7.若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是__________． 【知识点】列分式方程 1.某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程．根据此情境．题中用“______”表示的缺失条件为（　　） A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务 2.2026杭州马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑．小南、小开参加5千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地5千米的B地．已知小南跑步的速度是小开的1.5倍．若小开先跑12.5分钟，小南才开始从A地出发，两人恰好同时到达B地，设小开跑步的速度为每小时x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3.我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设未知数x，y，依题意列出一个方程y（x+1）＝2y（x﹣3），则用一个未知数列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4.2025年杭州马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5千米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5.“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具x套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6.某煤厂原计划天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ） A． B． C． D． 7.直播带货以更强的互动性和更多的价格优惠而深受消费者的喜爱．某直播间推出一款T 恤，按原标价九折销售，两小时内销售额为5000元，另一直播间按原标价的七五折销售，相同时间内多卖出40件，销售额增加800元，设每件T 恤的原标价为x 元，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8.从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约12千米，自驾车车程约15千米.小明乘坐线比自驾车平均速度提高了15%，时间缩短了0.1小时.设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9.2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用A、B型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，A型机器人共打包1080件物品，B型机器人共打包750件物品，已知A型机器人比B型机器人每天多打包30件物品． （1）一个A、B型机器人每天分别打包多少件物品？ （2）“618”期间，物流公司每天使用A、B型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 10.某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物，已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． （1）求机器狗和无人机的采购单价． （2）满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载25kg，运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． （3）若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案，并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【知识点】解分式方程 1.解方程． 2.解方程．． 3.解方程：． 4.解方程：． 5.解下列方程：． 6.解方程： （1）； 7.解下列方程： ． 8.解下列方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $