6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 6.4.3 《余弦定理、正弦定理（第3课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 巩固余弦定理、正弦定理的内容，能准确选择定理解决三角形问题. 理解仰角、俯角、方向角等实际测量术语，能将距离、高度、角度等实际问题转化为解三角形模型. 掌握用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤：分析—建模—求解—检验，提升数学建模、数学运算、逻辑推理与直观想象核心素养. 课标分析 本节课是解三角形知识的综合应用课，是向量与三角知识在实际生活中的集中体现.课标强调：以测量距离、高度、航向三类典型问题为载体，让学生完整经历从实际情境到数学模型的转化过程；熟练选用正、余弦定理处理不可到达点的测量、航海航向、安全距离等问题；突出数学的实用性与工具性，培养学生用数学解决真实问题的能力. 2、 教材分析 “余弦定理、正弦定理（第3课时）”是人教A版2019必修第二册6.4.3节内容.教材先介绍仰角、俯角、方向角等专业术语，再通过三个典型例题展开： 1. 不可到达两点间距离测量； 2. 不可到达底部的建筑物高度测量； 3. 航海营救与航向角度计算. 内容遵循：实际情境→术语理解→建模求解→检验回归的应用流程，题型典型、步骤规范，是培养学生数学应用意识与建模能力的核心课时. 3、 学情分析 学生已经掌握正弦定理、余弦定理的基本形式与简单应用，但在综合应用题中存在明显困难： 1. 对仰角、俯角、方向角等术语理解不清，画图不准确； 2. 不会把复杂实际问题拆解为多个三角形，建模能力弱； 3. 不能根据条件灵活选择正弦定理或余弦定理； 4. 计算繁琐、近似取值不规范，缺乏检验意识. 学生具备运算基础，但识图、建模、转化能力不足，适合以步骤模板、图示分解、例题精讲突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从实际测量问题中抽象出三角形模型. 1. 数学建模素养：将距离、高度、航向问题转化为解三角形问题. 1. 数学运算素养：准确选用定理完成计算与近似取值. 1. 直观想象素养：根据题意画出正确示意图，理解角度与位置关系. 4. 应用意识：用数学结果解释实际问题，体会数学实用性. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：理解仰角、俯角、方向角；用正、余弦定理解决测量距离、高度、航向问题. 6. 难点：根据题意正确画图；将实际问题拆解为多个三角形并合理选用定理. 6、 教学过程 环节一：检查预习 教师活动 1. 展示预习问题，学生独立完成，巡视并请学生回答. 1. 对回答正确的学生给予肯定，对错误的学生引导分析原因. 预习问题及答案 1. 视线在水平线上方叫________，下方叫________.（答案：仰角；俯角） 1. 北偏东30°是以________为始边，向东转30°.（答案：正北方向） 1. 实际问题解题四步：分析→________→求解→检验.（答案：建模） 1. 已知两角一边用________定理，已知两边夹角用________定理.（答案：正弦；余弦） 学生活动 独立作答，举手订正，明确术语与步骤. 设计目的 检测预习效果，扫清术语障碍，聚焦应用流程. 环节二：引入课题 教师活动 1. 回顾提问： （1）正弦定理内容是什么？适用于哪些题型？ （2）余弦定理内容是什么？适用于哪些题型？ （3）解决实际问题的一般思路是什么？ 1. 引入：今天用这两个定理解决生活中的测量、航海问题，引出课题. 学生活动 回顾定理，思考应用方向，进入新课学习. 设计目的 巩固工具知识，明确本节课应用主题，做好思维衔接. 环节三：合作探究 1. 实际测量常用术语（5 分钟） 教师活动 讲解并画图： 仰角：水平线上方向上夹角； 俯角：水平线下方向下夹角； 方向角：正北（南）为始边的水平角，如“北偏东60°”. 强调：所有角度都要在图中标注清楚. 学生活动 理解概念，规范画图，标注角度. 设计目的 突破识图第一关，为建模打基础. 2. 实际应用解题四步法（5 分钟） 教师活动 给出统一解题步骤： ① 分析：读题，标已知、求，画示意图； ② 建模：把问题放入一个或多个三角形； ③ 求解：选用正/余弦定理计算； ④ 检验：结果是否合理，回归实际作答. 强调：先画图，再列式，后计算. 学生活动 记忆步骤，建立解题范式. 设计目的 给出标准化流程，降低应用难度. 3. 典型模型讲解（5 分钟） 教师活动 距离问题：多点测量，用正弦定理求边长，再用余弦定理求距离. 高度问题：两次仰角，用正弦定理求斜高，再求垂直高度. 航向问题：先确定方位角，再用余弦定理求距离，正弦定理求角度. 学生活动 理解三类模型，掌握选用思路. 设计目的 归纳题型，让学生有模可依. 环节四：学以致用 1. 基础例题（5 分钟） 例1 船向正北航行，在A看灯塔S在北偏东20°，航行半小时到B，在B看灯塔在北偏东65°，船速32.2 n mile/h，灯塔安全距离6.5 n mile，判断能否继续正北航行. 解答： AB=16.1，∠ABS=115°，∠ASB=45°， 由正弦定理：， S到AB距离， 结论：可以继续航行. 2. 综合例题（7 分钟） 例2 海轮从A沿北偏东75°航行67.5到B，再沿北偏东32°航行54到C，求A到C的航向与距离. 解答： ∠ABC=137°，由余弦定理： ， ， 由正弦定理得方向角约北偏东56°. 答案：约113.15海里，北偏东56°. 教师活动 板书画图、列式、计算、作答全过程，强调步骤完整. 学生活动 独立演算，同桌互批，订正错误. 设计目的 覆盖航行、距离、航向高频考题，完整落实应用流程. 环节五：课堂小结 教师活动 请学生回顾： 1. 三个术语：仰角、俯角、方向角. 1. 四个步骤：分析—建模—求解—检验. 1. 两个工具：正弦定理、余弦定理. 1. 三类问题：距离、高度、航向. 学生活动 口述要点，完善笔记. 设计目的 形成应用体系，可直接套用于考题. 环节六：布置作业 1. 书面作业：课本复习参考题第12、19题，规范画图并写清步骤. 1. 拓展作业：山底仰角α，沿坡角β上山a米到B，测得仰角γ，证明山高. 1. 预习引导：预习本章知识梳理，准备综合复习. 教师活动 强调：必须画图，必须写答句. 学生活动 记录作业，明确复习任务. 设计目的 巩固应用能力，形成完整知识闭环. 授课人个案修改记录： 本节课以应用为主线，学生对解题步骤与模型理解较好，但仍存在：画图角度标错、方向角理解偏差、定理选用犹豫、计算近似不准确等问题.后续教学应强化画图训练，增加角度判断题与定理选择填空题，规范计算与作答格式，真正提升学生数学建模与实际应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $