6.4.3正余弦定理应用举例之测量距离 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3解三角形应用举例(测量距离) 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标 1、知识与技能 能够运用正弦定理和余弦定理等三角形的知识，解决一些有关测量距离的实际问题,这是本节课的重点。 2、过程与方法 经历将距离问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析—建模--- 求解---检验，培养学生观察、操作、抽象概括能力和应用数学知识解决实际问题的能力。这也是本节课的难点。 3、情感态度价值观 ①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、教学重点、难点 1、重点：①实际问题向数学问题的转化 ②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法 2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 四、教学方法与手段 本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。 五、教学过程 教学环节 教学过程 设计意图 问题引领 “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，上述方法存在特殊性，不能完全实施。今天我们就来学习更一般的在实践中使用正弦定理和余弦定理解决实际问题。 问题1：如上图左，河对岸有指挥部，中央有信号塔（不可到达），如何测量两者之间的距离？ 问题2：如上图右，从泰晤士河对岸看议会大厦,泰晤士河是英国著名的“母亲”河，如何测量两者之间的距离？ 通过问题引领，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣 探究一 探究二 归纳小结 拓展练习 例1、如图，河的对岸有一座信号塔B（不可到达），假设你在指挥部A的同侧，请你设计一种测量Ａ、Ｂ两点间距离的方案。 启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。 解：根据正弦定理，得 = AB=== =≈ 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC== BC== 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB= 分组讨论：还没有其它的方法？师生一起对不同方法进行对比、分析。 师生分析，我们解决了哪几类测量问题?这些测量距离的方法在实际中有什么应用?解决这样的问题基本步骤如何？ 练习:如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？ 启发式教学 引导式教学 老师引导学生画图解题。体会数学建模的思想方法。 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方 实际问题中需要掌握 近似估计、运算 利用学生资源，让学生在交流讨论中提升认识，构建对实际问题数学建模过程的理解 让学生用数学的意识去观察、体验生活，提高了学生的数学素养，培养了学生用数学的思想、方法、知识去解决问题的能力 课堂小结 （采用提问形式，学生阐述，老师适当补充） 1、解斜三角形应用题的一般步骤： ①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 3、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： ①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之； ②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 培养学生学习的主动性和学后反思的习惯及归纳总结的能力。 板书设计 六、课后作业 1、书面作业： 1.A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，试求AB两点的距离。 2.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长. 2、拓展作业：请选择你身边的实例，小组合作，设计测量方案，测量相关距离。 七、教学反思 本节课，我是一些实例来探索关于解三角形在实际应用中的思维方法，具体解三角形时，所选例题突出了数学建模的思想及函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $$