精品解析：广东肇庆市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级数学科期中考试试题

肇庆市第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学科期中考试试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意可得，， 故. 故选：B. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数得导函数，求出当时得导数值，即曲线在点处的切线的斜率，即能求出切线方程. 【详解】解：由，则， 当时，，即曲线在点处的切线的斜率为-3， 所以切线方程为. 故选：B. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 【答案】A 【解析】 【详解】通项公式，由， 代入得. 4. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种. 5. 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 6. 如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 84 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】分是否同色两类，再根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可. 【详解】若同色，则有种方法， 若不同色，则有种方法， 所以不同涂法的种数为种. 故选：C. 7. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案. 【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法， 若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中， 则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况， 则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为. 故选：B 8. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 除以2的余数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D. 【详解】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 的零点个数为3 D. 不等式的解集为且 【答案】AD 【解析】 【详解】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【答案】10 【解析】 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 13. 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率. 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 求下列函数的导函数： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 【小问3详解】 ，复合函数求导（链式法则）： 令 ，则 ，. 16. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】（1） （2） X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【解析】 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【小问1详解】 设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. 【小问2详解】 由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 【答案】（1） （2）因为，， 所以由，得，即， 令，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数，利用导数证得恒成立，从而得证. 【小问1详解】 因为，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略 18. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【小问1详解】 设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 【小问2详解】 . 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，当恒成立时，求的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的极值； （2）求导得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）解法一：令，利用导数求得，所求不等式等价于，恒成立，参变量分离得，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围； 解法二：，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， ， 当时，，此时在区间上单调递减， 当时，，此时在区间上单调递增． 所以函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，解得， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ②当时，恒成立，在区间上单调递增； ③当时，解得：或，此时， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ④当时，， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 等价于，即恒成立. 解法一：因为， 所以对任意的恒成立， 令，，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 又因为，，且当时，，故， 所以，恒成立转化为，恒成立， 分离参数得，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围是； 解法二：令，， ，时恒成立即为恒成立， ， 当时，在时，，在上单调递减， 在时，，在上单调递增， ，解得； 当时，，与恒成立矛盾. 综上所述：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学科期中考试试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 15 C. -15 D. -60 4. 学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 84 D. 108 7. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 除以2的余数为1 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 的零点个数为3 D. 不等式的解集为且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 13. 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 求下列函数的导函数： （1） （2） （3） 16. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. （1）小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； （2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 18. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，当恒成立时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $