专题1.1相交线与平行线复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题1.1相交线与平行线复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准掌握相交线、垂线、对顶角、邻补角及平行线的定义与核心性质，熟练识别同位角、内错角、同旁内角，理清角的位置与数量关系。 灵活运用相交线、垂线及平行公理的应用，熟练解决角度计算、几何证明、正误判断等基础题型，掌握平移相关计算与作图方法。 厘清平行线判定与性质的逻辑区别，攻克三线八角识别难点，杜绝定理混用，规避章节高频易错点。 核心题型◆归纳 题型1相交线 题型2对顶角定义 题型3垂线定义 题型4垂线段最短 题型5同位角、内错角、同旁内角 题型6立体图形中平行的棱 题型7用直尺三角板画平行线 题型8平行公理的应用 题型9平面内两直线的位置关系 题型10达标测试 重点知识◆梳理 知识点一、相交线的两大角 1.邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，和为180°。如下图：∠1+∠2=180° 特征：相邻共生、成对出现、角度互补。 2. 对顶角 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。如下图：∠1=∠2 易错提示：对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角。 结论：两条直线相交，必有2对对顶角、4对邻补角。 知识点二、垂线 1.垂线定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两直线互相垂直，交点为垂足。如下图：AB⊥CD,垂足 为O. 2.垂线三大必考性质 唯一性：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 最短性：垂线段最短（线段长度比较、距离计算核心依据）。 平行推论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3.点到直线的距离（易错重点） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 易错点提示：距离是数值长度，不是线段本身！ 知识点三、三线八角 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，（如下图） 三类角只看位置、不看大小，仅两直线平行时才有数量关系。 同位角：截线同侧，被截两直线同侧，形似F型 内错角：截线两侧，被截两直线之间，形似Z型 同旁内角：截线同侧，被截两直线之间，形似U型 知识点四、平行线基础定理 定义：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。如下图，同一平面是必备前提。 平行公理：直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行。如下图，在同一平面内，a∥b,b∥c,则a∥c. 知识点五、直尺、三角板作平行线 1.作图原理 利用同位角相等，两直线平行的判定定理作图，通过三角板平移保证同位角始终相等，从而画出标准平行线。 2.作图步骤 一落：将三角板的一条直角边紧紧贴合在已知直线上。 二靠：用直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺不动。 三移：沿直尺平稳平移三角板，使三角板贴合已知直线的直角边移动到指定点位置。 四画：沿平移后的三角板直角边画出直线，所得直线与已知直线平行。 口诀：一落、二靠、三移、四画 3.易错点提示 作图关键：直尺必须固定，三角板平移过程中不能松动、不能旋转，否则角度改变，两直线不平行。 理论依据：考试填空题、证明题高频考点——同位角相等，两直线平行。 规范要求：作图保留平移痕迹、辅助线痕迹，线条清晰平直，禁止徒手画图。 题型解析◆精准备考 题型1相交线 1．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 2．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的定义以及垂线的性质，正确理解定义、定理是解题的关键． 对顶角相等，反过来不成立，即可判断①；根据平行线的定义即可判断②；③在同一平面内，命题才成立． 【详解】解：①不正确；相等的角不一定是对顶角； ②正确；这是平行线的定义； ③不正确；必须是在同一平面内； 故选：B． 3．下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 【答案】（1）③；（2）见解析 【分析】（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解； （2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解． 【详解】解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确； ②点A在直线l外，故本说法正确； ③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误； ④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确； 所以错误的语句为③； （2）图形如图所示：                         【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型2对顶角定义 1．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，据此可得答案． 【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的图形中的与是对顶角． 2．已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 题型3垂线定义 1．下列说法正确的是（   ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的直线一定相交 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．直线外一点与直线上各点连接而成的线段中最短线段的长度是，则点P到直线的距离是 【答案】D 【分析】根据垂线的定义和点到直线距离的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵垂直于已知直线的直线有无数条， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、∵该命题未说明在同一平面内，不在同一平面的互相垂直直线不一定相交， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、∵点到直线的距离是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴C选项错误，该选项不符合题意； D、∵根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短，垂线段的长度就是点到直线的距离， ∴D选项说法正确，该选项符合题意． 2．如图，，垂足为，直线经过点，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 3．如图，直线，相交于点O，，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再求出，然后根据求解即可； （2）先设，则，再参照（1）的方法建立方程，求出的值，则可得的度数，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． （2）解：∵， ∴设，则， 由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 题型4垂线段最短 1．下列能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C． 测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【答案】D 【分析】用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚后跟到起跳线的距离；把弯曲的河道改直，就能够缩短河道长度是两点之间，线段最短；据此分别判断即可． 【详解】解：A、B选项的数学常识均为两点确定一条直线，不符合题意； C选项的数学常识为垂线段最短，不符合题意； D选项的数学常识为两点之间，线段最短，符合题意． 2．如图，在中，，，，，点从点到点沿方向运动．则的最小值是______________． 【答案】 【分析】作于点，利用面积法可计算出，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值． 【详解】解：如图，作于点， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 3．如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)①；②；点到直线的距离，垂线段最短； (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为：①；②；点到直线的距离，垂线段最短； （2） 解：如图，直线即为所求． 题型5同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列关于与其他角的关系叙述正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图中各角的位置关系即可得到答案． 【详解】解：A、与不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，故不是同位角，原说法不正确，不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，符合题意； C、与是同旁内角，不是内错角，原说法错误，不符合题意； D、与是内错角，不是同位角，原说法错误，不符合题意； 2．如图，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对． 【答案】 6 4 4 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角，熟练掌握同位角，内错角和同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：同位角一共6对，分别是和，和，和，和，和，和； 内错角一共4对，分别是和，和，和，和； 同旁内角一共4对，分别是和，和，和，和． 3．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 题型6立体图形中平行的棱 1．若一个立体图形中任意两条棱都不平行，这个图形可能是(   ) A．正方体 B．四棱柱 C．四面体 D．正六棱锥 【答案】C 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．四面体由四个三角形面组成，任意两条棱均不平行；而正方体、四棱柱和正六棱锥均存在平行棱，故不满足条件． 【详解】解：∵正方体上下底面棱互相平行，四棱柱上下底面棱平行，正六棱锥底面棱平行，均存在平行棱；四面体所有棱均无平行关系． 故选：C． 2．正方体共有_________条棱，其中互相平行的棱共有_________对． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．正方体有条棱，棱分为三组互相平行的棱，每组有条棱，每组中互相平行的棱有对，因此总共有对． 【详解】解：正方体由个面组成，每个面有条棱，但每条棱被两个面共享，因此总棱数为条． 正方体的棱中，方向相同的棱互相平行，可分为三组（如水平方向、前后方向、垂直方向），每组有条棱． 对于每组，每一条棱都与其他条棱平行，但每对棱只计数一次，因此每组中互相平行的棱的对数为对． 由于有三组，故总对数为对． 故答案为和． 3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 题型7用直尺三角板画平行线 1．下题型7用直尺三角板画平行线列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据垂线的含义可判断①，根据对顶角的定义可判断②，根据平行线的定义可判断③，根据邻补角的性质可判断④，根据画平行线的方法可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：一条直线有无数条垂线；原描述错误，故①符合题意； 不相等的两个角一定不是对顶角；描述正确，故②不符合题意； 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原描述错误，故③符合题意； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；描述正确，故④不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．原描述错误，故⑤符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的含义，对顶角的概念，平行线的定义，邻补角的性质，熟记概念是解本题的关键． 2．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 3．如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，垂线段最短． 【分析】（）根据题意画图即可； （）根据点到直线的距离定义即可求解； （）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：比较大小：，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 题型8平行公理的应用 1．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； （2）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 【详解】解：（1）因为，，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）如图②，因为，过点F画（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行），所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 3．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    【答案】见解析 【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行求解即可． 【详解】解：∵长方形的硬纸片对折，是折痕， ∴，， ∴， ∴另一个面不论怎样改变位置，总有与平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行公理是解题的关键． 题型9平面内两直线的位置关系 1．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 2．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①________；②________． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 3．如图，，请根据要求解决下列问题： (1)作直线交直线于点，交直线于点（请在图中标注交点）； (2)找出图中的一组同位角（请用数字表示，并标注在图中）； (3)找出图中的一组内错角（请用字母表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意，画出直线即可； （2）根据同位角的定义，进行作答即可； （3）根据内错角的定义，进行作答即可. 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：如（1）图，、、、为四组同位角； （3）解：由图可知，和是一组内错角，和是一组内错角. 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查了同角（或等角）的余角相等，直线与直线的位置关系，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，直线与直线的位置关系，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、同角（或等角）的余角相等，故A正确； B、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交和平行，故B正确； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确； D、过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段的长度叫作点A到直线l的距离，故D错误； 故选：D． 2．如图，直线，，相交于点，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等得到，由平角的定义得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴． 3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 4．如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角的是． 5．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 二、填空题 6．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 7．如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，施工人员为了节省水管长度，将水泵房建在了处，其数学原理是___________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：由题意得，其数学原理是垂线段最短． 8．如图，，于点，点到的距离是图中线段___________的长度． 【答案】 【详解】解：，则， 点到的距离是线段的长度． 9．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 【答案】 和（答案不唯一） 和 和 【详解】解：是邻补角的一组是和（或和）； 是同位角的一组是和； 相等的一组是和． 10．在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 【答案】 3 不是 【分析】本题主要考查了正方体的特点，解题的关键在于能够熟练掌握正方体的特点． 正方体每个顶点处有三条棱相交，且这些棱两两互相垂直，不平行． 【详解】解：正方体有8个顶点，每个顶点处有3条棱相交；这三条棱分别沿正方体的长、宽、高方向，两两之间的夹角均为，因此任意两条棱都不平行． 故答案为：3，不是． 三、解答题 11．（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 【答案】（1）见解析；交点的个数为0或1或2或3；（2）0或1或3或4或5或6个；（3）见解析 【分析】本题考查了相交线，根据相交线定义，正确画出图形，得出交点个数是解题的关键．（1）根据题意，画出图形，再写出交点的个数；（2）根据题意，画出图形，再写出交点的个数；（3）根据题意画出图形即可． 【详解】解：（1）如图， 交点的个数为0或1或2或3； （2）如图， 所以平面上有4条直线，它们的交点个数可能为0或1或3或4或5或6个； 故答案为：0或1或3或4或5或6个 （3）如图， 12．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 13．如图，直线、相交于点，，．求的度数． 【答案】 【详解】解，∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 14．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 15．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1相交线与平行线复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准掌握相交线、垂线、对顶角、邻补角及平行线的定义与核心性质，熟练识别同位角、内错角、同旁内角，理清角的位置与数量关系。 灵活运用相交线、垂线及平行公理的应用，熟练解决角度计算、几何证明、正误判断等基础题型，掌握平移相关计算与作图方法。 厘清平行线判定与性质的逻辑区别，攻克三线八角识别难点，杜绝定理混用，规避章节高频易错点。 核心题型◆归纳 题型1相交线 题型2对顶角定义 题型3垂线定义 题型4垂线段最短 题型5同位角、内错角、同旁内角 题型6立体图形中平行的棱 题型7用直尺三角板画平行线 题型8平行公理的应用 题型9平面内两直线的位置关系 题型10达标测试 重点知识◆梳理 知识点一、相交线的两大角 1.邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补，和为180°。如下图：∠1+∠2=180° 特征：相邻共生、成对出现、角度互补。 2. 对顶角 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。如下图：∠1=∠2 易错提示：对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角。 结论：两条直线相交，必有2对对顶角、4对邻补角。 知识点二、垂线 1.垂线定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两直线互相垂直，交点为垂足。如下图：AB⊥CD,垂足 为O. 2.垂线三大必考性质 唯一性：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 最短性：垂线段最短（线段长度比较、距离计算核心依据）。 平行推论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3.点到直线的距离（易错重点） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 易错点提示：距离是数值长度，不是线段本身！ 知识点三、三线八角 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，（如下图）三类角只看位置、不看大小，仅两直线平行时才有数量关系。 三类角只看位置、不看大小，仅两直线平行时才有数量关系。 同位角：截线同侧，被截两直线同侧，形似F型 内错角：截线两侧，被截两直线之间，形似Z型 同旁内角：截线同侧，被截两直线之间，形似U型 知识点四、平行线基础定理 定义：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。如下图，同一平面是必备前提。 平行公理：直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行。如下图，在同一平面内，a∥b,b∥c,则a∥c. 知识点五、用直尺、三角板作平行线 1.作图原理 利用同位角相等，两直线平行的判定定理作图，通过三角板平移保证同位角始终相等，从而画出标准平行线。 2.作图步骤 一落：将三角板的一条直角边紧紧贴合在已知直线上。 二靠：用直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺不动。 三移：沿直尺平稳平移三角板，使三角板贴合已知直线的直角边移动到指定点位置。 四画：沿平移后的三角板直角边画出直线，所得直线与已知直线平行。 口诀：一落、二靠、三移、四画 3.易错点提示 作图关键：直尺必须固定，三角板平移过程中不能松动、不能旋转，否则角度改变，两直线不平行。 理论依据：考试填空题、证明题高频考点——同位角相等，两直线平行。 规范要求：作图保留平移痕迹、辅助线痕迹，线条清晰平直，禁止徒手画图。 题型解析◆精准备考 题型1相交线 1．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 2．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 题型2对顶角定义 1．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 2．已知与是对顶角，且与互余，那么______． 3．如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 题型3垂线定义 1．下列说法正确的是（   ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的直线一定相交 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．直线外一点与直线上各点连接而成的线段中最短线段的长度是，则点P到直线的距离是 2．如图，，垂足为，直线经过点，，则__________． 3．如图，直线，相交于点O，，垂足为点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型4垂线段最短 1．下列能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C． 测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 2．如图，在中，，，，，点从点到点沿方向运动．则的最小值是______________． 3．如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 题型5同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列关于与其他角的关系叙述正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 2．如图，同位角有___________对，内错角有___________对，同旁内角有___________对． 3．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 题型6立体图形中平行的棱 1．若一个立体图形中任意两条棱都不平行，这个图形可能是(   ) A．正方体 B．四棱柱 C．四面体 D．正六棱锥 2．正方体共有_________条棱，其中互相平行的棱共有_________对． 3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 题型7用直尺三角板画平行线 1．下题型7用直尺三角板画平行线列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 3．如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 题型8平行公理的应用 1．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 2．如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（___________________）； （2）如图②，因为，过点F画（________________），所以（_____________________________）． 3．如图，将一张长方形的硬纸片对折，是折痕，把面平摊在桌面上，另一个面不论怎样改变位置，总有与平行，请你说出其中的道理．    题型9平面内两直线的位置关系 1．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 2．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①________；②________． 3．如图，，请根据要求解决下列问题： (1)作直线交直线于点，交直线于点（请在图中标注交点）； (2)找出图中的一组同位角（请用数字表示，并标注在图中）； (3)找出图中的一组内错角（请用字母表示）． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 2．如图，直线，，相交于点，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 4．如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 5．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 二、填空题 6．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 7．如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，施工人员为了节省水管长度，将水泵房建在了处，其数学原理是___________． 8．如图，，于点，点到的距离是图中线段___________的长度． 9．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 10．在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 三、解答题 11．（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 12．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 13．如图，直线、相交于点，，．求的度数． 14．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 15．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $