精品解析：福建福州市2025-2026学年下学期九年级质量抽测数学试卷

2025—2026学年第二学期福州市九年级质量抽测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国四个城市某日的某一时刻的气温如下表所示，该时刻温度最高的城市是（ ）． 城市 北京 上海 哈尔滨 福州 气温 ℃ 0℃ ℃ 10℃ A. 北京 B. 上海 C. 哈尔滨 D. 福州 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 福州市博物馆馆藏“碗礁一号”沉船出水代表文物——黄釉青花莲花蕉叶纹瓷葫芦瓶（如图1）．该文物兼具艺术价值与历史研究意义，为馆内重要的海上丝绸之路文物之一．图2为其示意图，关于其三视图的描述，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A. （x+5）2=16 B. （x+5）2=34 C. （x﹣5）2=16 D. （x+5）2=25 5. 下列运算结果一定是的是（ ） A. B. C. D. 6. 光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且 ，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（ ） A. 在线段的延长线上 B. 在线段上 C. 在线段上 D. 在线段的延长线上 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__________． 12. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______． 13. 如图，菱形ABCD中，．将 绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 15. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 16. 如图，三角形ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，且，，若，则的度数是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，点D，A，E，B在同一直线上， ，， ．求证： ． 19. 某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 下表是某公司所有员工月收入的资料： 岗位类别 A B C D E F G H 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3900 3600 3000 （1）由上表可知，该公司所有员工月收入的平均数是6640，中位数是______，众数是______； （2）若要反映该公司员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是______； （3）该公司因工作需要，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，公司所有员工的平均月收入比原来增加了20元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 22. 如图，已知，，，是中线． （1）尺规作图：求作线段，使得平分，且 ，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 24. 阅读材料，回答问题： 问题提出 探究平面组合图形的重心位置 在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心位置如何确定？ 探究分析 为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平面图形的重心位置记为点，分割得到的若干个图形的重心位置记为点（为正整数）． 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴与轴的正半轴上，若点的坐标是，则点的坐标为． 请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整． 第阶段 （1）如图，若点的坐标是，沿直线将矩形分割成两个矩形，则原矩形的重心位置点的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______． 第阶段 一般地，如图，沿直线将矩形分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为，，记直线与轴交于点，则，，发现：，． 猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为和的两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为，，则原矩形重心位置的坐标满足： ，． 如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的关系”推广为“面积的关系”，从而得到：，． 第阶段 如图，若将矩形沿直线与直线 分割得到三个矩形，它们的重心位置分别为，面积分别为，根据第阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置的横坐标满足． （2）请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比的表达式，写出的表达式： ⑤______． 结论应用 根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数． （3）如图，平面直角坐标系中，若，，，，则五边形 重心位置的坐标是⑥______． 25. 如图，是半圆O的直径，C为的中点，D为上一点，交 于点E， 交于点F，交于点G．点O，P关于 对称， 交 于点H，连接 ． （1）求证：； （2）当 时，求的度数； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期福州市九年级质量抽测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国四个城市某日的某一时刻的气温如下表所示，该时刻温度最高的城市是（ ）． 城市 北京 上海 哈尔滨 福州 气温 ℃ 0℃ ℃ 10℃ A. 北京 B. 上海 C. 哈尔滨 D. 福州 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，只需按有理数大小比较规则比较四个城市的气温，即可得到温度最高的城市． 【详解】四个城市的气温分别为，，， ， 有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小， 可得， 温度最高的城市是福州，故选D． 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形； B、是中心对称图形，不是轴对称图形； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3. 福州市博物馆馆藏“碗礁一号”沉船出水代表文物——黄釉青花莲花蕉叶纹瓷葫芦瓶（如图1）．该文物兼具艺术价值与历史研究意义，为馆内重要的海上丝绸之路文物之一．图2为其示意图，关于其三视图的描述，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图形观察可知，这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同． 4. 用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A. （x+5）2=16 B. （x+5）2=34 C. （x﹣5）2=16 D. （x+5）2=25 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意可以先移项，再配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）， 即x2+10x+9=0， x2+10x=﹣9， x2+10x+52=﹣9+52， （x+5）2=16． 故选A． 考点：解一元二次方程-配方法 5. 下列运算结果一定是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则分别计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】对各选项逐一计算判断： A选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，可得， ∴A选项不符合要求； B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， ∴B选项符合要求； C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， ∴C选项不符合要求； D选项：与不是同类项，不能合并，结果不是， ∴D选项不符合要求． 6. 光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出 ，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性和与y轴的交点与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大，函数与y轴交于正半轴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，k≠0），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当，图像与y轴的正半轴相交，当，图像与y轴的负半轴相交． 8. 在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先根据设出的学徒每小时工作量，表示出熟练工每小时工作量，再根据二者总工作量相等的等量关系列方程即可． 【详解】设学徒每小时包粒肉燕， ∵熟练工每小时比学徒多包粒， ∴熟练工每小时包粒， ∵学徒小时制作的总粒数与熟练工小时制作的总粒数相同， 且学徒小时总粒数为，熟练工小时总粒数为， ∴可列方程． 9. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【详解】解：从平均分数看：， 从方差看：， 所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙． 10. 实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且 ，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（ ） A. 在线段的延长线上 B. 在线段上 C. 在线段上 D. 在线段的延长线上 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，再根据 ， 得到，再根据得到，则，得到 ，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ， ∴原点O在线段上． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】从中任意摸出1个球共有3种等可能结果，其中摸到红球的有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意知.从中任意摸出1个球共有 种等可能结果，其中摸到红球的有种结果， 所以摸到红球的概率为． 13. 如图，菱形ABCD中，．将 绕点A顺时针旋转α后恰好与重合，则旋转角α的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】由旋转的性质及菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：因为四边形是菱形，且， 所以对角线平分，， 所以． 所以与是两个大小一样的等边三角形， 又因为将 绕点顺时针旋转后与重合， 所以． 综上，旋转角的度数是． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 【答案】 2 【解析】 【分析】首先，根据已知条件，得出，得，最后，得． 【详解】解：如图，在的正方形网格中， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若 ，，则k的值是______． 【答案】 12 【解析】 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由 ，可知：， 解得 ，，即点的坐标为， 将 代入双曲线：, 故. 16. 如图，三角形ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，且，，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，圆周角定理，求出 的度数，等边对等角，求出，平行线的性质，结合等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：连接 ， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，点D，A，E，B在同一直线上， ，， ．求证： ． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等式的性质得出，利用 证明与全等，进而解答即可． 【详解】略 19. 某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 【答案】4台 【解析】 【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵x为整数， ∴该学校最多能采购B型机器人4台． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号里的进行通分合并，将其化为最简分式，然后把原式中的除法转化为乘法，同时对分母利用平方差公式进行因式分解，再对转化后的式子进行约分，得到最简形式，最后将​代入最简分式，计算出结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 21. 下表是某公司所有员工月收入的资料： 岗位类别 A B C D E F G H 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3900 3600 3000 （1）由上表可知，该公司所有员工月收入的平均数是6640，中位数是______，众数是______； （2）若要反映该公司员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是______； （3）该公司因工作需要，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，公司所有员工的平均月收入比原来增加了20元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【答案】（1）3900，3600 （2）平均数 （3） 解：调整后平均月收入增加20元，因此总收入增加： （元），该员工调整后的月收入比原来增加了500元， 观察表格，只有岗位D（5500元）与岗位E（5000元）的收入差为500元，因此该员工是从岗位E调整至岗位D． 【解析】 【分析】（1）根据员工总人数，找到排序后中间位置的数即为中位数；出现次数最多的数即为众数； （2）平均数受极端值影响大，无法反映大多数员工的实际收入水平，因此不合适； （3）根据平均收入增加20元，可算出总收入增加了 元，因此该员工收入需增加 500元，据此判断岗位调整情况． 【小问1详解】 解：员工总人数： （人）， 将 25 名员工的月收入从小到大排列，第 13 个数为中位数， 岗位H、G，累计 人，第13个数是岗位F收入3900，故中位数为 3900； 月收入为3600的员工人数最多（11人），故众数为3600． 【小问2详解】 解：平均数受岗位 A 的高收入（45000元）极端值影响，被拉高至6640元，远高于大多数员工的实际收入水平，因此平均数不适合反映该公司员工月收入水平的情况． 【小问3详解】 略 22. 如图，已知 ，，，是中线． （1）尺规作图：求作线段，使得平分，且 ，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 【答案】（1） （2） （i）抛物线的开口向上，理由如下： ∵，， ∴异号， 当 时，时，则， ∴，与题意不符合， ∴， ，且， ∴抛物线的开口向上； （ii）∵，为该二次函数图象上的一点，且由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 由（i）可知：，，即， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出的关系，对称轴公式求出对称轴即可； （2）（i）根据条件式，分 和两种情况进行讨论即可得出结果；（ii）把点代入解析式，得到，进而得到，根据条件式，得到即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：（i）略 （ii）略 24. 阅读材料，回答问题： 问题提出 探究平面组合图形的重心位置 在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心位置如何确定？ 探究分析 为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平面图形的重心位置记为点，分割得到的若干个图形的重心位置记为点（为正整数）． 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴与轴的正半轴上，若点的坐标是，则点的坐标为． 请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整． 第阶段 （1）如图，若点的坐标是，沿直线将矩形分割成两个矩形，则原矩形的重心位置点的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______． 第阶段 一般地，如图，沿直线将矩形分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为，，记直线与轴交于点 ，则，，发现：，． 猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为和的两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为，，则原矩形重心位置的坐标满足： ，． 如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的关系”推广为“面积的关系”，从而得到：，． 第阶段 如图，若将矩形沿直线与直线 分割得到三个矩形，它们的重心位置分别为，面积分别为，根据第阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置的横坐标满足． （2）请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比的表达式，写出的表达式： ⑤______． 结论应用 根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数． （3）如图，平面直角坐标系中，若，，，，则五边形 重心位置的坐标是⑥______． 【答案】（1），， （2） 解：由题意可得， ， ，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴； 同理可得，， （3） 【解析】 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）由题意可得 ， ，，即得，，，进而得到，即可求证，同理可得，即可求解； （）连接 ，利用勾股定理可证四边形是平行四边形，设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为，可得，， ， ，进而根据题意即可求解； 本题考查了坐标与图形，图形的重心，矩形的性质等，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，原矩形的重心位置点的坐标是，即， 分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是和，即和， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接 ， ∵，，，， ∴由勾股定理可得，， ∴四边形是平行四边形， 设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为， 则，，即，， ， ， ∴五边形 重心位置的坐标是，即， 故答案为：． 25. 如图，是半圆O的直径，C为的中点，D为上一点，交于点E， 交于点F，交于点G．点O，P关于对称，交于点H，连接． （1）求证：； （2）当 时，求的度数； （3）求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵点 关于对称， ∴； 又∵ ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为点 关于对称，所以；又因为 ，所以根据平行线的传递性，可推出． （2）连接 ，，延长 并交于点M，延长交于点N，可先利用 全等判定方法证明 ，则有 ，进而得到 ，同理可证得 ，则有 ，可得到是等腰直角三角形，，最后可根据 ，得到的度数． （3）设半圆O的半径为R，则，要找的最小值，即找的最小值；将绕点逆时针旋转得到，连接，以为邻边作正方形．可证得 ，所以当O、C、Q共线时可求出的最小值，最终可获解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ，，延长 并交于点M，延长交于点N， 由（1）知，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴ ，即 ， 同理可证 ， ∴ ， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【小问3详解】 解：设半圆O的半径为R， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，以为邻边作正方形． ∴在上，，，且，． ∵，， ∴且． ∴四边形是平行四边形． ∵正方形， ∴，，且． 在平行四边形中，且． 在正方形中，且． ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴ ． ∴在以为圆心、 为半径的圆弧上运动， 当共线且在 之间，此时． ∴的最小值为，而， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $