4.3探索三角形全等的条件第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 （第3课时） 情景导入 到目前为止，我们学习了哪些判定三角形全等的方法? 边边边（SSS） A B C D E F 几何语言： 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF (SSS)。 因为AB=DE，AC=DF，BC=EF， 知识回顾，结构关联 前面几节课我们学习了哪些判定三角形全等的条件？你认为接下来我们会利用哪三个条件探索三角形全等呢？ 思考：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能情况呢？ 每种情况下得到的三角形都全等吗？ A B C A B C A B C 两边及其夹角 两边及其中一边的对角 例如，在△ABC 中，已知两边 AB，BC 的长度，那么已知哪一角可以使作出的三角形与△ABC 全等？ 这两种情况下得到的三角形全等吗？让我们一起来探索吧！ A B C A B C A B C 两边及其夹角 两边及其中一边的对角 知识回顾，结构关联 新知探究 探究：三角形全等的条件:“边角边” 如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢? “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” A B C A B C 每种情况下得到的三角形都全等吗？ 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,情况会怎样呢？小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 新知探究 例如，三角形两条边分别为2.5 cm,3.5 cm,它们所夹的角为40°. 40° 画的三角形都全等. 2.5cm 3.5cm 思路:先作出角,再在两边上截取两边. 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢? 每种情况下得到的三角形都全等吗? 新课探究 两边及其夹角 ①两边及夹角 ②两边及其一边的对角 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢? 如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。 α a c 尝试思考 新知引入，自主探索 动手操作 1 如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点 A，C，自由转动其中一脚时，△ABC 的形状、大小随之改变，当∠ABC 取一定值时，△ABC 的形状、大小确定吗？ 尺规作图 2 小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。 如图，已知线段 a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB= c，∠ABC =∠α。 新知引入，自主探索 几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， 因为AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF， 所以△ABC ≌ △DEF（SAS）。 A B C D E F 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 。 小结 尝试交流 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢? 如图，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗? l A B 新知探究 三角形全等的条件：“边角边” 知识归纳 AB=DE， ∠B＝∠E， BC=EF ， ∵ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简称“边角边”或“SAS”. 几何语言： 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 必须是已知两边的夹角！ C B A F E D 展示与交流 4 B C A 作一条线段BC= a。 以点B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC =∠α。 在射线BD上截取线段BA= c。 连接AC。 △ABC就是所要作的三角形。 新知引入，自主探索 作法1： D 4 B C A 作角∠MBN =∠α。 2. 在射线BM上截取BA= c， 在射线BN上截取BC= a。 3. 连接AC。 △ABC就是所要作的三角形。 M N 新知引入，自主探索 作法2： 展示与交流 新知探究 1.公共边； 2.等线段加(减)同线段其和(差)相等（等式的性质）； 3.由中点得到线段相等； 4.全等三角形的对应边相等. 找相等边的方法 方法归纳 应用举例 【例1】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE，那么BE与DF平行吗？请说明理由． 【方法指导】AB∥CD，根据平行线的性质可以得到∠A＝∠C，由AF＝CE可得AF＋FE＝CE＋FE，即AE＝CF，再根据AB＝CD，利用“SAS”判定△ABE≌△CDF，最后根据全等的性质得到∠AEB＝∠CFD，利用平行线的判断“内错角相等，两直线平行”得到BE∥DF. 解：因为AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠A＝∠C. 因为AF＝CE，所以AF＋EF＝CE＋EF， 即AE＝CF. 在△ABE和△CDF中， 因为AB＝CD，∠A＝∠C，AE＝CF， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABE≌△CDF. 根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠AEB＝∠CFD. 根据“内错角相等，两直线平行”，所以BE∥DF. 【例1】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE，那么BE与DF平行吗？请说明理由． 深入探索，归纳结论 1 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？ A B C D 如图，在△ABC 和△ABD 中， AB =AB，AC = AD，∠B =∠B， 但△ABC 和△ABD 不全等。　 动手操作 2 如图，已知△ABC 的 AB 边和边长为 l 的 AC 边，以及 AC 边的对角∠B，你能用尺规确定顶点 C 的位置吗？ C C’ 以点 A 为圆心，线段 l 长为半径画弧，交∠B的另一边于点C。 深入探索，归纳结论 尝试与交流 新知探究 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的. 如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α． 新知探究 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 △ABC就是所要作的三角形。 1.作一条线段BC=a。 2.以点B为顶点，以BC为一边,作∠DBC=∠α。 3.在射线 BD上截取线段 BA=c。 4.连接AC。 B C D A 新知探究 已知三角形的两边及其夹角,用尺规作三角形 知识归纳 依据：三角形全等的条件“边角边” 作图思路： 方法一：边→角→边 方法二：角→两边 课堂小结 三角形全等的判断定理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 注意 已知两边，必须找“夹角” 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 新知探究 如图所示，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗?把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么?与同伴进行交流。 D 因此所作出的三角形不唯一，不能确定顶点C的位置. C C′ 如图所示，以点A为圆心，以l长为半径画弧，交BD于C、C′两点. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢? 总结提升，纳入系统 (1）通过本节课的学习，你掌握了什么知识？我们是沿着怎样的路径开展研究的？ (2）你感悟到哪些数学思想方法？对我们学习有什么帮助？ (3）你还有哪些收获、疑问或者新思考？ 课堂小结 探索三角形全等的条件3 注意 三角形全等的条件:“边角边” 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简称“边角边”和“SAS”． 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 说明三角形全等时寻找等边的方法 1.公共边； 2.等线段加(减)同线段其和(差)相等（等式的性质）； 3.由中点得到线段相等； 4.全等三角形的对应边相等. $