6.4 实践与探索课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 6.4 实践与探索 第6章 一次方程组 华东师大版七年级下册 6.4 实践与探索 练习题 一、知识点回顾 实践与探索的核心：运用二元一次方程组（或三元一次方程组）解决实际生活中的各类问题，关键是找准题目中的等量关系，将实际问题转化为数学问题，通过解方程组得出答案，再检验答案是否符合实际意义。 核心解题思路： 1. 审题分析：明确题目中的已知条件、未知量，梳理题目中的数量关系（显性关系和隐性关系）； 2. 设元建模：根据未知量的个数，设出合适的未知数（直接设元或间接设元），根据等量关系列出方程组； 3. 求解检验：用代入法或加减法解方程组，将解得的结果代入实际场景，检验是否合理（如人数、件数不能为负数，长度、时间不能为负等）； 4. 规范作答：根据检验结果，写出完整、符合题意的答案。 常见探索场景：和差倍比问题、行程问题、工程问题、商品销售问题、配套问题、几何图形问题、方案设计问题等。 注意：当题目中未知量有3个，且有3个独立等量关系时，可列三元一次方程组求解；若未知量可转化为2个，优先列二元一次方程组，简化计算。 --- 二、选择题（每题 3 分） 1. 某商场购进A、B两种商品共100件，A商品每件进价80元，B商品每件进价50元，购进两种商品共用去6800元，设购进A商品x件，B商品y件，所列方程组正确的是（） A. $$\begin{cases}x+y=100\\80x+50y=6800\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=6800\\80x+50y=100\end{cases}$$ C.$$\begin{cases}x-y=100\\80x-50y=6800\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=100\\50x+80y=6800\end{cases}$$ 2. 一个长方形的周长为40cm，长比宽多4cm，设长方形的长为x cm，宽为y cm，下列方程组能解决该问题的是（） A. $$\begin{cases}x+y=40\\x-y=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\x-y=4\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\y-x=4\end{cases}$$ D.$$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$ 3. 甲、乙、丙三人共捐款150元，甲捐款数是乙的2倍，丙捐款数比乙少10元，设乙捐款x元，甲捐款y元，丙捐款z元，所列三元一次方程组正确的是（） A.$$\begin{cases}y=2x\\z=x-10\\x+y+z=150\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=2y\\z=y-10\\x+y+z=150\end{cases}$$C. $$\begin{cases}y=2x\\x=z-10\\x+y+z=150\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}y=2x\\z=x+10\\x+y+z=150\end{cases}$$ 三、填空题（每题 3 分） 1. 某车间有工人30人，每人每天能生产甲种零件10个或乙种零件12个，已知一个甲种零件配两个乙种零件，设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可列方程组：$$\boldsymbol{\begin{cases}\underline{\quad\quad}\\\underline{\quad\quad}\end{cases}}$$。 2. 甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，两车同时出发，经过t小时相遇，可列方程：______；若设甲车行驶了x km，乙车行驶了y km，可列方程组：$$\boldsymbol{\begin{cases}\underline{\quad\quad}\\\underline{\quad\quad}\end{cases}}$$。 3. 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长是宽的2倍，设宽为x cm，长为y cm，解得x=______，y=______。 四、列方程组解决实际问题（标准步骤） 1. 某工厂生产A、B两种型号的机器零件，已知生产1个A零件和2个B零件共需30分钟，生产2个A零件和1个B零件共需27分钟，求生产1个A零件和1个B零件各需多少分钟？ 2. 甲、乙两人共同加工一批零件，甲每天加工45个，乙每天加工35个，两人合作6天，共加工零件420个，求甲、乙两人各加工了多少个零件？（列二元一次方程组求解） 3. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大2，个位上的数字是十位上数字的3倍，三个数字的和是12，求这个三位数。（设未知数，列方程组求解） 4. 某商场推出两种购物方案：方案一：累计购物不超过300元无优惠，超过300元的部分按8折收费；方案二：所有商品一律按9折收费。若顾客累计购物x元（x>300），分别用含x的代数式表示两种方案的费用，并求当x为何值时，两种方案的费用相等？ 5. 甲、乙、丙三个数的和是80，甲比乙大5，丙是甲的2倍，求甲、乙、丙三个数各是多少？（列三元一次方程组求解） --- 参考答案 选择题 1.A 2.B 3.A 填空题 4.$$\begin{cases}x+y=30\\2×10x=12y\end{cases}$$ 5.$$65t+55t=480$$；$$\begin{cases}x+y=480\\\frac{x}{65}=\frac{y}{55}\end{cases}$$ 6.10；20 解答题 1. 解：设生产1个A零件需x分钟，生产1个B零件需y分钟。 根据题意，列方程组：$$\begin{cases}x+2y=30\\2x+y=27\end{cases}$$ 由第一个方程得：$$x=30-2y$$，代入第二个方程，得$$2(30-2y)+y=27$$ 化简得：$$60-4y+y=27$$，解得$$y=11$$ 把$$y=11$$代入$$x=30-2y$$，得$$x=8$$ 检验：8+2×11=30，2×8+11=27，符合题意。 答：生产1个A零件需8分钟，生产1个B零件需11分钟。 2. 解：设甲加工了x个零件，乙加工了y个零件。 根据题意，列方程组：$$\begin{cases}x+y=420\\\frac{x}{45}=\frac{y}{35}=6\end{cases}$$ 由第二个方程得：$$x=45×6=270$$，$$y=35×6=210$$ 检验：270+210=420，符合题意。 答：甲加工了270个零件，乙加工了210个零件。 3. 解：设十位上的数字为x，百位上的数字为y，个位上的数字为z。 根据题意，列方程组：$$\begin{cases}y=x+2\\z=3x\\x+y+z=12\end{cases}$$ 把$$y=x+2$$、$$z=3x$$代入$$x+y+z=12$$，得$$x+x+2+3x=12$$ 化简得：$$5x+2=12$$，解得$$x=2$$ 则$$y=2+2=4$$，$$z=3×2=6$$ 检验：4-2=2，6=3×2，2+4+6=12，符合题意。 答：这个三位数是426。 4. 解：方案一费用：$$300 + 0.8(x - 300) = 0.8x + 60$$（元） 方案二费用：$$0.9x$$（元） 设当两种方案费用相等时，$$0.8x + 60 = 0.9x$$ 解得$$x=600$$ 检验：当x=600时，方案一费用=0.8×600+60=540元，方案二费用=0.9×600=540元，符合题意。 答：方案一费用为$$(0.8x + 60)$$元，方案二费用为$$0.9x$$元；当x=600时，两种方案费用相等。 5. 解：设甲为x，乙为y，丙为z。 根据题意，列三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=80\\x-y=5\\z=2x\end{cases}$$ 把$$z=2x$$代入第一个方程，得$$x+y+2x=80$$，即$$3x+y=80 \quad (4)$$ 联立$$\begin{cases}x-y=5\\3x+y=80\end{cases}$$，两方程相加得$$4x=85$$，解得$$x=21.25$$ 把$$x=21.25$$代入$$x-y=5$$，得$$y=16.25$$ 把$$x=21.25$$代入$$z=2x$$，得$$z=42.5$$ 检验：21.25+16.25+42.5=80，21.25-16.25=5，42.5=2×21.25，符合题意。 答：甲是21.25，乙是16.25，丙是42.5。 问题 1 要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面，或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？请你设计一种分法. 新课导入 本题有哪些已知量？ 要求的问题是什么？ 可以用什么知识进行解答？ 解：若设用 x 张白卡纸做侧面，y 张白卡纸做底面. 分析：白卡纸张数和 = 20 张，底面数量 = 侧面数量×2. 侧面 底面 纸的数量（张） x y 总个数（个） 2x 3y 根据题意列出方程组： x + y = 20， 3y = 2×2x 解方程组得： x = ， 8 4 7 11 3 7 y = 想一想，最多可以做多少个包装盒？ 想一想，如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分这些白卡纸，才既能使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？ 结论分析 由于解为分数，若白卡纸不套裁（即一张白卡纸只做2 个侧面或只做 3 个底面），用 8 张白卡纸做盒身，可做8×2 = 16（个），用剩下的 12 张白卡纸做盒底面，可做 3×12 = 36（个），则最多只能做 16 个包装盒. 若白卡纸可套裁，用 8 张做侧面，11 张做底面，另一张套裁出一个侧面和一个底面，则共可做盒身 17 个，盒底 34 个，正好配成 17 个包装盒，充分地利用了材料。 问题 2 小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图所示的一个大长方形. 小红看见了，说:“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！ 你能求出这些长方形的长和宽吗？ 探 索 设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm. x y S大正方形 － 8×S长方形 = 22， 即 (x + 2y)2 － 8xy = 4 . 这是我们还没有研究过的方程！ 你有其他办法来解决这个问题吗？ 解：设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm. 3x = 5y， x + 2y = 2x + 2. 由题意，得 解得 x = 10， y = 6. 所以长方形的长为 10 mm，宽为 6 mm. x y 鸡兔同笼 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？ 方法一：半其足 金鸡独立，玉兔双足，这时共有足数为：94÷2 = 47. 鸡的头、足数相等，而每只兔的头数却比足数少一. 所以兔数为 47－35 = 12， 鸡数为 35－12 = 23. 阅读材料 鸡兔同笼 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？ 方法二：列方程 解：设 x 为鸡数，y 为兔数. x + y = 35， 2x + 4y = 94， 根据题意，得 x = 23， y = 12. 解得 答：鸡数为 23 只，兔数为 12 只. 阅读材料 1. 某城市30 名工人一共种植了 1360 平方米草坪，已知一名男工人种植 50 平方米草坪，一名女工人种植 30 平方米草坪，各有男、女工人多少人？ 解：设有男工人 x 人，女工人 y 人，根据题意，则： 解得 x=23， y=7. 答：有男工人 23 人，女工人 7 人. 随堂练习 2. 如图，用 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大的长方形图案，已知大长方形的周长为 200 cm，那么每个小长方形地砖的面积是多少？ 解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm， 根据题意，则： 解得 x=30， y=10. 答：每个小长方形的面积为 300 cm2. 所以每个小长方形的面积为 30×10=300 (cm2). 随堂练习 1. 如图，在长方形 中，放入六 个形状大小相同的小长方形，则图中 的阴影部分的面积是( ) D A. B. C. D. 中考考法 14 【点拨】设小长方形的长为 ，宽 为 ，根据题意得 解得 . 图中 的阴影部分的面积是 . 中考考法 15 设小长方形的长为 ，宽 为 ，观察图形列出二元一次方程 组，解之得出， 的值，再利用阴影 部分的面积长方形的面积 个小长方形的面积，即可得出结论. 中考考法 16 2. 某元宵生产商受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯 米粉和黄油时分三次购买，每次购买单价不变，购进原料的 总金额和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的 总金额为多少元？ 中考考法 17 【解】设糯米粉每千克的价格为元，黄油每千克的价格为 元， 依题意得解得 第三次购买的总金额为 （元）. 中考考法 18 3. 水是人类生命之源，为了鼓励居民节约用 水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若每户 每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水 水价收费（现行居民生活用水水价基本水价 污水处理 费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方 米在基本水价基础上加价 ,每立方米污水处理费不变.甲 用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12 立方米，缴水费46.3元.（注：污水处理的立方数 实际生活 用水的立方数） 中考考法 19 （1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是 多少元. 【解】设每立方米的基本水价为 元，每立方米的污水处理 费为 元.根据题意，得 解得 答：每立方米的基本水价为2.45元，每立方米的污水处理费 为1元. 中考考法 20 （2）如果某用户7月份生活用水水费为64元，那么该用户7 月份用水量为多少立方米？ 根据题意可知，该用户7月份用水量超过10立方米．设该用 户7月份用水量为 立方米．根据题意，得 ,解得 . 答：该用户7月份用水量为15立方米. 中考考法 21 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？给大家分享一下。 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们 往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 2. 处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题 灵活选用. 自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的 重要方式. $