第6章 一次方程组【章末复习】课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 小结与复习 第6章 一次方程组 华东师大版七年级下册 第6章 一次方程组 综合练习题 一、整章知识点梳理 （一）核心概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式为$$ax+by=c$$（a、b不同时为0）。 2. 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，核心是含两个未知数、两个独立等量关系。 3. 三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且共有三个方程的方程组。 4. 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值，二元一次方程组的解用$$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$$表示，三元一次方程组的解用$$\begin{cases}x=a\\y=b\\z=c\end{cases}$$表示。 （二）核心解法 1. 二元一次方程组的解法： 1. 代入消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解（适用于有一个方程能直接变形的情况）。 2. 加减消元法：通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（适用于同一个未知数系数相等或互为相反数的情况，系数不同时可先变形）。 2. 三元一次方程组的解法：核心是“消元转化”，先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再按二元一次方程组的解法求解，最终求出三个未知数的值。 （三）实践与探索 核心：运用一次方程组解决实际问题，关键是找准等量关系，步骤为：审题分析→设元建模→求解检验→规范作答。 常见应用场景：和差倍比、行程、工程、商品销售、配套、几何图形、方案设计等。 注意：1. 解方程组后需检验，确保解符合方程和实际意义；2. 未知量为3个且有3个独立等量关系时，用三元一次方程组，可转化为2个未知量时优先用二元一次方程组。 --- 二、选择题（每题 3 分，共15分） 1. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\xy=5\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=3\\2x-y=1\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=3\\\frac{1}{x}+y=4\end{cases}$$ 2. 解方程组$$\begin{cases}y=2x-3\\3x+2y=11\end{cases}$$，最简便的方法是（） A. 加减法 B. 代入法 C. 都一样 D. 无法解 3. 某商场购进A、B两种商品共100件，A商品每件进价80元，B商品每件进价50元，购进两种商品共用去6800元，设购进A商品x件，B商品y件，所列方程组正确的是（） A. $$\begin{cases}x+y=100\\80x+50y=6800\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=6800\\80x+50y=100\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x-y=100\\80x-50y=6800\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=100\\50x+80y=6800\end{cases}$$ 4. 已知三元一次方程组$$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$，则x+y+z的值为（） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 一个长方形的周长为40cm，长比宽多4cm，设长方形的长为x cm，宽为y cm，下列方程组能解决该问题的是（） A. $$\begin{cases}x+y=40\\x-y=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\x-y=4\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\y-x=4\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$ 三、填空题（每题 3 分，共15分） 1. 把方程$$2x-y=3$$改写成用含x的式子表示y，结果为______。 2. 某车间有工人30人，每人每天能生产甲种零件10个或乙种零件12个，已知一个甲种零件配两个乙种零件，设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可列方程组：$$\boldsymbol{\begin{cases}\underline{\quad\quad}\\\underline{\quad\quad}\end{cases}}$$。 3. 解三元一次方程组$$\begin{cases}x+y-z=1\\2x-y+z=2\\x+2y+z=3\end{cases}$$，第一步消去z，可将方程①+②，得到的二元一次方程是______。 4. 甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，两车同时出发，经过______小时相遇。 5. 若$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$是三元一次方程ax+by+z=7的解，则a+2b的值为______。 四、解答题（每题 14 分，共70分） 1. 用代入法解下列二元一次方程组：$$\begin{cases}y=x+3\\3x+2y=16\end{cases}$$ 2. 用加减法解下列二元一次方程组：$$\begin{cases}2x+3y=11\\2x-y=5\end{cases}$$ 3. 解下列三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$ 4. 某工厂生产A、B两种型号的机器零件，已知生产1个A零件和2个B零件共需30分钟，生产2个A零件和1个B零件共需27分钟，求生产1个A零件和1个B零件各需多少分钟？ 5. 甲、乙、丙三个数的和是80，甲比乙大5，丙是甲的2倍，求甲、乙、丙三个数各是多少？（列三元一次方程组求解） --- 参考答案 选择题 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 填空题 6.$$y=2x-3$$ 7.$$\begin{cases}x+y=30\\2×10x=12y\end{cases}$$ 8.$$3x=3$$（或x=1） 9.4 10.4 解答题 1. 解：$$\begin{cases}y=x+3 \quad (1)\\3x+2y=16 \quad (2)\end{cases}$$ 把(1)代入(2)，得$$3x+2(x+3)=16$$ 化简得：$$5x+6=16$$，解得$$x=2$$ 把$$x=2$$代入(1)，得$$y=5$$ 检验：代入原方程组，两个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}$$ 2. 解：$$\begin{cases}2x+3y=11 \quad (1)\\2x-y=5 \quad (2)\end{cases}$$ (1)-(2)，消去x：$$(2x+3y)-(2x-y)=11-5$$ 化简得：$$4y=6$$，解得$$y=\frac{3}{2}$$ 把$$y=\frac{3}{2}$$代入(2)，得$$2x-\frac{3}{2}=5$$，解得$$x=\frac{13}{4}$$ 检验：代入原方程组，两个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=\frac{13}{4}\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}$$ 3. 解：$$\begin{cases}x+y+z=6 \quad (1)\\2x-y+z=3 \quad (2)\\x+2y-z=2 \quad (3)\end{cases}$$ ①+②，消去y：$$3x+2z=9 \quad (4)$$ ②×2+③，消去y：$$5x+z=8 \quad (5)$$ 联立(4)(5)，得$$\begin{cases}3x+2z=9\\5x+z=8\end{cases}$$，解得$$\begin{cases}x=1\\z=3\end{cases}$$ 把$$x=1$$、$$z=3$$代入(1)，得$$y=2$$ 检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}$$ 4. 解：设生产1个A零件需x分钟，生产1个B零件需y分钟。 根据题意，列方程组：$$\begin{cases}x+2y=30\\2x+y=27\end{cases}$$ 由第一个方程得：$$x=30-2y$$，代入第二个方程，解得$$y=11$$ 把$$y=11$$代入$$x=30-2y$$，得$$x=8$$ 检验：8+2×11=30，2×8+11=27，符合题意。 答：生产1个A零件需8分钟，生产1个B零件需11分钟。 5. 解：设甲为x，乙为y，丙为z。 根据题意，列三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=80\\x-y=5\\z=2x\end{cases}$$ 把$$z=2x$$代入第一个方程，得$$3x+y=80$$，联立$$\begin{cases}x-y=5\\3x+y=80\end{cases}$$ 两方程相加得$$4x=85$$，解得$$x=21.25$$，进而得$$y=16.25$$，$$z=42.5$$ 检验：21.25+16.25+42.5=80，21.25-16.25=5，42.5=2×21.25，符合题意。 答：甲是21.25，乙是16.25，丙是42.5。 一、二（三）元一次方程组的有关概念 1.二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫做二元一次方程组. 3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解. 4.三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫做三元一次方程组. 两个 一次 一次 两个 一次 三个 二、二元一次方程组的解法 (1) 代入法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做代入消元法，简称代入法. (2) 加减法：通过将两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫做加减消元法，简称加减法. 三、三元一次方程组的解法 应用代入消元法和加减消元法，先消去某一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后解得的二元一次方程组，得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解. 1. 列方程组解应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 检：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)． 【注意】 审题是基础，找等量关系是关键. 四、用一次方程组解决实际问题 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． (2) 等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积=成品面积； ② 原料体积=成品体积. (4) 销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价-进价（成本）=利润； ② 利润÷进价×100%=利润率； ③ 进价×（1+利润率）=售价；标价×折扣数÷10=售价. (3) 储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数=利息； ② 本金+利息=本息和. 1.某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有4人住不下；若每间住7人，则有1间只住3人，且空余11间宿舍．问该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？ 练 习 解：设该年级寄宿学生有 x 人，宿舍有 y 间.根据题意可得 解得 答：设该年级寄宿学生有514人，宿舍有85间. 6y+4=x 7×(y-11-1)=x-3 x=514， y=85. 随堂练习 2.某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”的读书活动. 现有A，B 两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5:6 ，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度. 随堂练习 解:设每本A 书籍的厚度为 x cm， 桌子的高度为 y cm，则每本B书籍的厚度为 x cm . 根据题意，得 3x+y=79， 5× x + y = 82 . 解得 x=1， y=76. 答:每本A 书籍的厚度为 1 cm. 随堂练习 考点1 二元一次方程（组）的相关概念 1. 下列方程组： 其中是二元一次方程组的是________. ①②④ 11 2. 已知是关于, 的二元一次方程， 则 ___. 3. 如果是方程组 的解，则 的值为___. 0 3 12 考点2 解二（或三）元一次方程组 4. 解下列方程组： （1） 【解】把①代入②,得 ,解 得.把代入①，得, 方程组的解 为 13 （2） 原方程组整理得 得 ，③ 得，解得 . 把代入②得，解得 ， 所以原方程组的解为 14 （3） 由得 ，④ 把④代入③得，解得 . 15 把代入①②得解得 所以方程组的解为 5. 已知 是一个方程组.圆圆说：“这个方程组 的解是而我由于看错了第二个方程中 的系数，求出 的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复原出来. 17 【解】设 为， 为， 为， 这个方程组的解是 圆圆看错了第二个方程 中的系数，求出的解是 联立解得 所以原方程组为 18 考点3 二元一次方程（组）的应用 6. 已知单项式与是同类项，那么， 的 值分别是( ) C A. 2， B. ， C. 2，1 D. ，1 【点拨】 单项式与 是同类项， 解得 19 7. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一 术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中 “物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三 ，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数， 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体 共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了 次，其 中， 为正整数，依题意可列方程为( ) A A. B. C. D. 20 8. 系文物考古研究院用 复原的青铜蒸 馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋 头酒，需要的原材料与出酒率 如 下表：#1 21 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、 大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏 水） 22 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二 次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食 糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍. （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅； 23 【解】设第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 公斤, 公斤，则第二次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分 别是公斤, 公斤， 由题意可得解得 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40公斤, 20公斤. 24 （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约 为现代复原品的.若粮食糟醅中大米占比约为 ，请问， 在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备 多少公斤大米？ 两次实验得到的粮食酒总量为 （公斤），设需要准备公斤大米，则粮食糟醅的质量为 公斤，由题意可得，解得 . 答：需要准备37.5公斤大米. 25 思想1 建模思想 9. [上海嘉定区期末] 在课余 活动中，小杰、小明和小丽一 起玩飞镖游戏，其落点如图所 30 示，飞镖盘上区域所得分值和 区域所得分值不同，每人各 投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34 分.则小丽的4次飞镖总分是____分. 26 思想2 整体思想 10. 若方程组的解是 求方程组 的解. 27 【解】 方程组的解是 在方程组中 解得 即所求方程组的解为 思想3 数形结合思想 11. 如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做 长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁 剪掉的部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸 盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折 叠后粘贴或封盖.用长为，宽为 的长方形厚纸片， 恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘 ， 三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 29 【解】设长方体纸盒的底面边长为 ，三处“接口”的宽度 为，则长方体纸盒的高为 ， 由题意得解得 所以 . 所以该茶叶盒的容积是 . 30 $