精品解析：新疆维吾尔自治区和田地区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

和田市2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D B. AB∥CD，AD∥BC C. AB∥CD，AD＝BC D. AB＝CD，AD＝BC 5. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 四边相等且对角线相等的四边形是正方形 6. 如图，矩形的对角线、交于点O，点E、F分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）米路，却紧伤了花草． A. 1 B. 2 C. 5 D. 12 8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 9. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米． A. 17 B. 15 C. 10 D. 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10. 函数中，自变量的取值范围是_______. 11. 正五边形的内角和为___________度． 12. 已知最简二次根式与能合并，则______． 13. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 14. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．正方形④⑤⑥⑦的面积分别为2，4，3，5，则正方形①的面积为__________． 15. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 19. 如图，平面直角坐标系中的网格由边长为1的小正方形构成，中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （1）求边的长； （2）若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标． 20. 如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 21. “一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量． （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 22. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 阅读与思考 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法． 例如：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得，，得：． 把作为整体代入，得． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）； （2）化简：； （3）求值：已知，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和田市2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是关键．根据二次根式的定义及二次根式的被开方数一定是非负数判断即可． 【详解】解：A．没有说明a的取值范围，时无意义，故A不符合题意； B．无意义，故B不符合题意； C．是二次根式，故C符合题意； D．是三次根式，故D不符合题意； 故选：C． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的判定，需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数， B、，，，是勾股数， C、，，，不是勾股数， D、，，，不是勾股数， 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，除法运算，加法运算，减法运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D B. AB∥CD，AD∥BC C. AB∥CD，AD＝BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理和平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意； D、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和平行线的性质，准确理解是解题的关键． 5. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 四边相等且对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确性． 【详解】解：A． 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题； B． 菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题； C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题； D． 四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题．   故选：D． 6. 如图，矩形的对角线、交于点O，点E、F分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 由矩形的性质得，，由点E、F分别为、的中点，，根据三角形的中位线定理得，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点O， ∴，， ∵点E、F分别为、的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）米路，却紧伤了花草． A. 1 B. 2 C. 5 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边为：=5， 则他们仅仅少走了3+4-5=2（米）． 故选B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 9. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米． A. 17 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 11. 正五边形的内角和为___________度． 【答案】540 【解析】 【分析】本题主要考察了多边形内角和定理，根据多边形内角和公式计算即可得出答案． 【详解】解：， 即正五边形的内角和为540度， 故答案为：540 12. 已知最简二次根式与能合并，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得 故答案为： 13. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 【答案】AC=BD 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】添加的条件是AC=BD， 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD 【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 14. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．正方形④⑤⑥⑦的面积分别为2，4，3，5，则正方形①的面积为__________． 【答案】 14 【解析】 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∵正方形④⑤⑥⑦的面积分别为2，4，3，5， ∴， 即正方形①的面积为14. 15. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式以及平方差公式化简每个式子，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． （1）首先求出，然后根据完全平方公式写成代入计算即可； （2）首先求出，根据平方差公式写成代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，， ∴ ∴． 18. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 19. 如图，平面直角坐标系中的网格由边长为1的小正方形构成，中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （1）求边的长； （2）若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标． 【答案】（1） （2）画图见解析；点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式，求出结果即可； （2）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时，当、为对角线时，分别画出图形，根据中点坐标公式，求出结果即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当，为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点D的坐标为； 当，为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点D的坐标为； 当、为对角线时，如图所示： 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 20. 如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形得出，再证出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 即，又， ， ∴四边形是平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）． 21. “一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量． （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到，进而可得为直角三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； 【小问2详解】 ，， ， 是直角三角形，且， ， 为直角三角形． 22. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）首先由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，又由，，可证得四边形是平行四边形，即可判定四边形是菱形； （2）根据以及，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ． 23. 阅读与思考 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法． 例如：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得，，得：． 把作为整体代入，得． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）； （2）化简：； （3）求值：已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的概念进行解答即可； （2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可； （3）先将变形得，将等式两边进行平方，利用完全平方公式得，最后代入原式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式为：． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：由得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $