精品解析：江苏省常州市2026年九年级教学质量调研 数学试题

2026年九年级教学质量调研2026.5 数学试题 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试时不允许使用计算器． 2．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 四棱锥 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，、是对角线，．若，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 8. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是： A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ） C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 8的立方根是________． 10. 计算：_________． 11. 分解因式：_____________． 12. 2025年春节期间，常州市共接待各地游客约6240000人次．数据6240000用科学记数法表示为________． 13. 若，则代数式的值为________． 14. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm． 15. 如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 17. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 18. 如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，若，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．第19题6分，20~25题每小题8分，26~28题每小题10分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）解不等式组：． 21. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 2.0 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由． 22. 为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． （1）小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． 23. 如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 24. 2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 26. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 27. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 28. 如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． （1）填空：_________； （2）若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级教学质量调研2026.5 数学试题 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试时不允许使用计算器． 2．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选B． 3. 如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据几何体的侧面展开图，则该几何体是三棱柱． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的值，进而根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 5. 如图，在矩形中，、是对角线，．若，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，为等边三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：在矩形中，、是对角线， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线 ． 8. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是： A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ） C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ） 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案. 【详解】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格， ∴③反映了建议（Ⅰ）， ∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象， ∴①反映了建议（Ⅱ）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 10. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 2025年春节期间，常州市共接待各地游客约6240000人次．数据6240000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值以及的值即可得到答案． 【详解】解：． 13. 若，则代数式的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 根据已知条件将要求的代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴当时， 原式=． 故答案为：． 14. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展图与圆的关系，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的圆的周长．先计算半圆的弧长，再根据圆锥底面周长等于此弧长求出圆锥底面的半径． 【详解】解：半圆的半径为， 半圆的弧长为， 圆锥底面的周长为， 设圆锥底面半径为，则， 解得，， 故答案为． 15. 如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数． 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠3=50°， ∵∠BAC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°-∠3=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得，，，再结合旋转的性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C， ∴，，， ∵将绕点O按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 17. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 18. 如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求出，得出，则当最小时，最大，令中点为点F，连接，则点D在以F为圆心，为半径的圆上，则当最小时，最小，当时，最小，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当最小时，最大， 令中点为点F，连接， ∵， ∴点D在以F为圆心，为半径的圆上， ∵中点为点F，， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时，， ∴，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．第19题6分，20~25题每小题8分，26~28题每小题10分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，化简二次根式，计算零次幂，再合并即可； （2）分别解出两个不等式的解，确定解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 由①得：， ∴； 由②得：， ∴； 综上，该不等式组的解集是． 21. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 2.0 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由． 【答案】（1）； （2）B （3） 这片树叶更可能是荔枝树叶，理由如下： ， 这片树叶更可能是荔枝树叶． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数： （1）根据数据中的中位数及众数的概念即可求解； （2）①根据方差判断数据稳定性的方法即可求解；②根据平均数、众数、中位数的性质即可求解； （3）求出树叶的长宽比，根据表格中数据对比即可求解； 【小问1详解】 解；把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为， ∴中位数； ∵这10片荔枝树叶的长宽比中长宽比为出现了四次，出现的次数最多， ∴众数, 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， 芒果树叶的形状差别小，故同学说法不合理； 荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， 同学说法合理． 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． （1）小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列表格，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4种项目，则抽到“惠山泥人”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中抽到不同项目的情况有12种， 则小丽和小慧抽到不同项目的概率为． 23. 如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】解：，， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．根据平行线的性质可知．再根据，可得出．即可利用“”证明，即得出，，根据平性线的判定定理即得出． 【详解】略 24. 2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量． 【答案】新品种小麦的亩产量为800公斤 【解析】 【分析】设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解． 当时，． 答：新品种小麦的亩产量为800公斤． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式，根据待定系数法求得一次函数解析式，再求得点A的坐标，最后得出反比例函数解析式； （2）求得的长，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k≠0）的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点 ∴把代入，得，解得， 把代入，得； 把代入，得，解得； 【小问2详解】 解：过，点A作轴，垂足为H，如图所示： ， ， ∵一次函数的图像与y轴交于点B， 即当时，， ， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数，熟练求出函数解析式是解题的关键． 26. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 27. 综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】 （1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 28. 如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． （1）填空：_________； （2）若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． 【小问1详解】 解：将，代入函数表达式，得： 解得： 【小问2详解】 解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：． ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $