排列组合分组分配问题的六大题型归纳讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第五讲 排列组合分组分配问题的六大题型 题型一 相同元素的分组问题:________法 例1：（1）把6本完全相同的书分成3堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）把6个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法. 题型二 相同元素的分配问题:________法 例2：（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的放法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的放法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的放法？ （4）把20个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，共有多少种不同的放法？ （5）方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 题型三 不同元素的分组问题 例3：将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ （1） 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本．（___________________分组） （2）分成三堆，一堆4本，另外两堆各1本．（___________________分组） （3）平均分成三堆．（___________________分组） 题型四 不同元素的分配问题，（遵循__________________原则） 例4：将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)甲得一本，乙得两本，丙得三本；（___________________分配） (2)一人得一本，一人得二本，一人得三本；（___________________分配） (3)平均分给甲、乙、丙三人；（___________________分配） (4)分给甲、乙、丙三人,一人得4本，另外两人各得一本；（___________________分配） 题型五 有限制条件的分组、分配问题 例5：（1）甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．36种 C．42种 D．56种 （2）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 题型六 多类不同元素的分组分配问题 例6：把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． （1）有多少种不同的分组方法（不考虑分配到汽车上去）？ （2）有几种不同的分配方法？ （3）每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ （4）如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 课后练习 1.把4本完全相同的书分成2堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 3.从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 4.已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 5．登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 6．某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（   ） A．36 B．72 C．108 D．216 7．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 8．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 排列组合分组分配问题的六大题型 题型一 相同元素的分组问题: 列举 法 例1：（1）把6本完全相同的书分成3堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】共有1+1+4型、1+2+3型、2+2+2型，故只有3种放法. （2）把6个相同的小球放入3个相同的盒子,共有 不同的放法. 【答案】7 【解析】共有6+0+0型、5+1+0型、4+1+1型、4+2+0型、3+3+0型、3+2+1型、2+2+2型，故只有7种放法. 题型二 相同元素的分配问题: 隔板 法 例2：（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的放法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的放法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的放法？ （4）把20个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，共有多少种不同的放法？ （5）方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【解析】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种， 空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （4）先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有(种)方法．故选：A （5）方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【答案】455；969 【分析】第一空：将方程正整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法，第二空，通过转化为将方程正整数解的组数，采用隔板法求解即可. 【解析】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由，得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 题型三 不同元素的分组问题 例3：将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ （1） 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本．（___完全不平均_分组） （2）分成三堆，一堆4本，另外两堆各1本．（__部分平均__分组） （3）平均分成三堆．（__完全平均__分组） 【解析】 （1） 先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）． （2）(种）. （3）(种）. 题型四 不同元素的分配问题，（遵循_先分组后分配的_原则） 【典例】将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)甲得一本，乙得两本，丙得三本；（__定向__分配） (2)一人得一本，一人得二本，一人得三本；（__不定向_分配） (3)平均分给甲、乙、丙三人；（___不定向__分配） (4)分给甲、乙、丙三人,一人得4本，另外两人各得一本；（__不定向__分配） 【解析】(1)分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． (2)分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种） （3）种方法． （4）种方法． 题型五 有限制条件的分组、分配问题 例5：（1）甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．36种 C．42种 D．56种 【答案】A 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数. 【解析】总分配方案种数为，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为， 故选:A. （2）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 【答案】D 【解析】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 题型六 多类不同元素的分组分配问题 例6：把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有多少种不同的分组方法（不考虑分配到汽车上去）？ (2)有几种不同的分配方法？ (3)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (4)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【解析】（1）所求分组方法有种. （2）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （3）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （4）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 课后练习 1.把4本完全相同的书分成2堆，每堆至少1个，不同的放法种数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】共有3+1型、2+2型,故只有2种放法. 2．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【分析】根据插板法和组合数计算得出结果 【解析】根据插板法公式，方法数为. 故选：C. 3.从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【答案】6 【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得. 【解析】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种．故答案为：6 4.已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【解析】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解.故选：A 5．登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种. 再将余下的6人平均分成两组有种. 然后这四个组自由搭配还有种， 故最终分配方法有种 故选：B. 6．某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（   ） A．36 B．72 C．108 D．216 【答案】A 【解析】每条路线安排一男一女，故总的分配方法有, 故选：A 7．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【解析】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 8．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $