第9讲：排列组合14个常考题型归纳讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第9讲：排列组合常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：特殊元素/特殊位置优先考虑】 【练方法】 解题方法 1.明确特殊元素（如必须在某位置、不能在某位置）或特殊位置（如首位、末位、中间位） 2.优先安排特殊元素或特殊位置计算其方法数 3.再安排剩余无约束元素计算其方法数 4.用分步乘法计数原理两步结果相乘得到总方法数 5.若有多个特殊约束需分类讨论（如“甲在首位”或“甲在末位”） （25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ）经典例题1例题 A．20 B．16 C．10 D．6 （25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？经典例题2例题 (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． （24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.小试牛刀1 （25-26高三上·安徽宣城·期末）现将位民警派往甲，乙，丙，丁4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有__________种（用数字作答）.小试牛刀2 （25-26高二上·河南驻马店·期末）为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种.小试牛刀3 【题型2：相邻问题捆绑法】 【练方法】 解题方法 1.将要求相邻的元素捆绑为一个“大元素”视为一个整体 2.计算这个“大元素”与其他元素的全排列数 3.计算相邻元素内部的全排列数 4.用分步乘法将整体排列数与内部排列数相乘得到总方法数 （江苏省常州市横林高级中学、戚墅堰高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ）经典例题1例题 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 （2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ）经典例题2例题 A．24 B．48 C．72 D．120 （25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ）小试牛刀1 A．12 B．24 C．36 D．72 （25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ）小试牛刀2 A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 （25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ）小试牛刀3 A．12 B．24 C．72 D．48 【题型3：不相邻问题插空法】 【练方法】 解题方法 1.先排无约束的元素计算其全排列数 2.找出这些元素形成的空隙数（包括两端） 3.将不相邻的元素插入到空隙中计算其排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘得到总方法数 （25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____．经典例题1例题 （25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________.经典例题2例题 （25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ）小试牛刀1 A．144 B．72 C．36 D．12 （2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法．小试牛刀2 （25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：相邻与不相邻综合】 【练方法】 解题方法 1.先处理相邻问题：将相邻元素捆绑为“大元素”计算内部排列 2.再将“大元素”与其他无约束元素排列形成新的序列 3.最后处理不相邻问题：将不相邻元素插入到上述序列的空隙中 4.用分步乘法将相邻处理、整体排列、插空三步结果相乘得到总方法数 （25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：经典例题1例题 (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ （25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有______种.（用数字作答）经典例题2例题 （25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ）小试牛刀1 A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 （24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ）小试牛刀2 A．24 B．48 C．144 D．240 【题型5：定序问题倍缩法】 【练方法】 解题方法 1.先对所有元素进行全排列计算总排列数 2.找出定序元素的个数计算其全排列数 3.总方法数=全排列数÷定序元素的全排列数（即） 4.若有多组定序元素分别除以各组的全排列数 （2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ）经典例题1例题 A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 （25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答)经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）现有面值分别为一分的硬币1枚，二分的硬币2枚，五分的硬币3枚，一角的硬币4枚，五角的硬币5枚，一元的硬币6枚共21枚硬币排成一排，共有多少种排法？小试牛刀1 （24-25高二下·海南海口·期中）如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答）小试牛刀2 （24-25高二下·重庆·期中）今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种．小试牛刀3 【题型6：平均分组与部分平均分组】 【练方法】 解题方法 1.不平均分组：直接分步选取用组合数相乘得到方法数 2.平均分组：先按组合数选取再除以相同组的阶乘（消除组间排列重复） 3.部分平均分组：先处理不平均部分再处理平均部分平均部分仍需除序 4.若组有编号（如“第一组”“第二组”）一般不需要除序 （25-26高二上·山东德州·期末）将10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有__________种不同分法.（用数字作答）经典例题1例题 （25-26高三上·浙江宁波·期末）现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（     ）种经典例题2例题 A．1470 B．1512 C．1806 D．2982 （24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答）小试牛刀1 （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） （24-25高二下·广东深圳·期中）某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人．小试牛刀2 (1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ (2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ （24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）小试牛刀3 (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 【题型7：简单组合问题】 【练方法】 解题方法 1.明确“从个不同元素中选个”的目标不考虑顺序 2.直接代入组合数公式计算 3.若有特殊约束（如“甲必须入选”或“甲不能入选”）先固定甲的状态再计算剩余元素的组合数 4.若有“至少”“至多”约束优先用分类讨论或对立事件计算 （2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有______种.经典例题1例题 （2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.经典例题2例题 （2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．小试牛刀1 （24-25高二下·广东肇庆·月考）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种．小试牛刀2 （25-26高三上·广西崇左·期末）某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______.小试牛刀3 【题型8：分组分配问题】 【练方法】 解题方法 1.先分组：按平均分组/不平均分组的方法计算分组方法数 2.再分配：将分好的组分配到不同位置（如不同班级、不同岗位）计算排列数 3.用分步乘法将分组方法数与分配排列数相乘得到总方法数 4.若组有编号分配时直接对应编号无需额外排列 （25-26高二上·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________.经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____．经典例题2例题 （2026高三·广东江苏·专题练习） “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有______种．小试牛刀1 （25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答）小试牛刀2 （25-26高三上·湖北襄阳·月考）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有__________种.小试牛刀3 【题型9：数字排列问题】 【练方法】 解题方法 1.明确数字位数、是否允许重复、是否有特殊约束（如首位不为0、奇偶性、整除性） 2.优先处理受约束最多的数位（如首位、末位） 3.按数位分步计算每一位的可选数字个数 4.用分步乘法得到总排列数 5.若有奇偶性/整除性约束需分类讨论（如末位为偶数/奇数） （2026高三·全国·专题练习）用这个数字，可以组成____个大于，且小于的数字不重复的四位数．经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：经典例题2例题 (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． （25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数．小试牛刀1 (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ （2026·甘肃·一模）由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ）小试牛刀2 A．24 B．12 C．10 D．6 （24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ）小试牛刀3 A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【题型10：染色问题】 【练方法】 解题方法 1.确定染色顺序：优先染相邻区域最多的区域减少后续约束 2.按顺序分步染色每一步的可选颜色数=总颜色数-相邻区域已用颜色数 3.用分步乘法得到总染色方法数 4.若区域形成环形（首尾相连）需分类讨论首尾区域颜色是否相同再分别计算 （2026高二下·福建厦门·专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种．经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ）经典例题2例题 A．80 B．100 C．110 D．120 （25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ）小试牛刀1 A．48 B．96 C．120 D．192 （25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种.小试牛刀2 A．12 B．18 C．24 D．30 （2025高三·全国·专题练习）将5种不同的颜色填入图中六边形内的6块区域中，要求相邻的区域不同色，则不同的填法有______种．小试牛刀3 【题型11：新文化题型】 【练方法】 解题方法 1.提取题干核心信息忽略文化背景描述转化为排列组合模型 2.识别约束类型：特殊元素、相邻、不相邻、分组等 3.选择对应方法（优先法、捆绑法、插空法、分组法）计算方法数 4.验证结果符合实际意义（如人数、物品数为正整数） ．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ）经典例题1例题 A．10 B．20 C．36 D．38 （24-25高三上·全国·月考）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为______.小试牛刀1 （24-25高二下·江苏宿迁·期中）在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.小试牛刀2 ．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：小试牛刀3 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为  ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入  的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【题型12：与几何有关的排列组合问题】 【练方法】 解题方法 1.转化为组合/排列模型：如“选点连线”“选点构成三角形”等 2.先计算总方法数再减去不符合几何条件的情况（如共线点、共面点） 3.若涉及位置关系（如直线过某点、图形对称性）需分类讨论 4.注意几何图形的限制（如三点不共线、四点不共面）避免重复计数 （25-26高二下·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．经典例题1例题 (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ （25-26高二下·全国·课堂例题）五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条.经典例题2例题 （25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对小试牛刀1 A．37 B．54 C．66 D．67 （25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______．小试牛刀2 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）从正六棱柱的所有顶点中任取4个点，则（    ）小试牛刀3 A．所取4个点不全在该正六棱柱的一个面内的取法有489种 B．所取4个点共面的概率为 C．过所取4个点中任意2点的连线中有3对异面直线的取法有426种 D．若所取4个点共面，则这4个点为矩形顶点的概率为 【题型13：排列组合综合素养题型】 【练方法】 解题方法 1.拆解复杂问题：将综合题拆分为基础题型（特殊位置、相邻、不相邻、分组等） 2.按“先特殊后一般、先捆绑后插空、先分组后分配”的顺序处理 3.用分类加法与分步乘法计数原理逐步计算各模块方法数 4.汇总得到总方法数结合概率、最值等知识求解最终问题 5.验证结果符合题意与实际意义 （2026·湖北随州·二模）定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______．经典例题1例题 （25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）．经典例题2例题 （2026·广东茂名·一模）从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·山东菏泽·期末）数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______．小试牛刀2 （2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.小试牛刀3 【题型14：隔板法】 【练方法】 知识梳理 适用场景：相同元素分到不同位置，且每个位置至少一个（或多个） 核心模型：（）的正整数解个数为 变形：若，解个数为 解题思路 1.识别模型：相同元素、不同位置、至少一个 2.转化为方程求解，利用隔板法构造空隙 3.代入公式计算： 至少1个： 至少2个：先给每个位置1个，转化为至少1个 （25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________.经典例题1例题 （2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ）经典例题2例题 A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【多选题】（24-25高二下·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 （24-25高二下·重庆·月考）方程的正整数解的不同组数为______．（用数字作答）小试牛刀2 （24-25高二下·广东江门·期中）下列判断正确的是（    ）小试牛刀3 A．方程有两个不同的实数解 B．方程的正整数解共有126组 C．方程有唯一实数解 D．方程的非负整数解共有3003组 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第9讲：排列组合常考题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：特殊元素/特殊位置优先考虑】 【练方法】 解题方法 1.明确特殊元素（如必须在某位置、不能在某位置）或特殊位置（如首位、末位、中间位） 2.优先安排特殊元素或特殊位置计算其方法数 3.再安排剩余无约束元素计算其方法数 4.用分步乘法计数原理两步结果相乘得到总方法数 5.若有多个特殊约束需分类讨论（如“甲在首位”或“甲在末位”） （25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ）经典例题1例题 A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【详解】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. （25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？经典例题2例题 (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）解法一：特殊元素优先排法，先安排甲再排其余人可得；解法二：特殊位置优先考虑法，先排两端的再排其余的可得；解法三：间接法，先不考虑限制计算总数，再考虑减去甲在两端的情况可得； （2）先排甲乙两个人再排其余人可得； （3）解法一：间接法，先计算总数有种排法，再减去甲站左端有，乙站右端有，再加上甲站左端且乙站右端有，从而可得结果；解法二：以甲的位置分两类计算，一类甲站右端有，二类甲在中间四个位置且乙不站右端有，进而可得结果. 【详解】（1）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法， 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法， 然后其余4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有（种）站法． 法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有（种）． （2）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． （3）法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 甲在左端且乙在右端的站法有种，共有（种）站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：第一类，甲站右端有种； 第二类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种， 故共有（种）站法． （24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可. 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. （25-26高三上·安徽宣城·期末）现将位民警派往甲，乙，丙，丁4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有__________种（用数字作答）.小试牛刀2 【答案】10 【分析】分民警去乙学校和不去乙学校两种情况分析即可求解. 【详解】若民警去乙学校，则不同的分派方法有种， 若民警不去乙学校，则不同的分派方法有种， 综上，不同的分派方法共有种. 故答案为：10. （25-26高二上·河南驻马店·期末）为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种.小试牛刀3 【答案】8 【分析】乙去民主社区，先安排甲再排另外两人，则有，同理丙去民主社区，即可得解. 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 乙去民主社区，此时甲只能去文明或和谐社区，再排另外两人， 则有； 同理丙去民主社区也有种方法， 故不同的安排方法有种. 故答案为：8 【题型2：相邻问题捆绑法】 【练方法】 解题方法 1.将要求相邻的元素捆绑为一个“大元素”视为一个整体 2.计算这个“大元素”与其他元素的全排列数 3.计算相邻元素内部的全排列数 4.用分步乘法将整体排列数与内部排列数相乘得到总方法数 （江苏省常州市横林高级中学、戚墅堰高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ）经典例题1例题 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． （2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ）经典例题2例题 A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. （25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ）小试牛刀1 A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A （25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ）小试牛刀2 A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【分析】利用捆绑法结合排列数的性质求解即可. 【详解】先将节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》捆绑在一起， 有种排法，再把这个整体和另外三个节目全排列，有种排法， 则共有种排法，故A正确. 故选：A （25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ）小试牛刀3 A．12 B．24 C．72 D．48 【答案】D 【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可. 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 【题型3：不相邻问题插空法】 【练方法】 解题方法 1.先排无约束的元素计算其全排列数 2.找出这些元素形成的空隙数（包括两端） 3.将不相邻的元素插入到空隙中计算其排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘得到总方法数 （25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____．经典例题1例题 【答案】 【分析】就是否相邻分类讨论并利用插空法可求不同的密码个数. 【详解】如果六位密码中相邻，则先排， 再利用插空法可得不同的密码个数为， 如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡， 这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为， 故不同密码的个数为. （25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________.经典例题2例题 【答案】 【分析】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位，结合插空法可得结果. 【详解】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. （25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ）小试牛刀1 A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B （2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有___________种不同的站法．小试牛刀2 【答案】408 【分析】利用排列知识结合正难则反思想计算即可. 【详解】当女生不相邻时共有种， 当男生甲站在左端且女生不相邻时，有， 故女生不相邻，男生甲不站在整个队伍的最左端，有种． 故答案为：408 （25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 【题型4：相邻与不相邻综合】 【练方法】 解题方法 1.先处理相邻问题：将相邻元素捆绑为“大元素”计算内部排列 2.再将“大元素”与其他无约束元素排列形成新的序列 3.最后处理不相邻问题：将不相邻元素插入到上述序列的空隙中 4.用分步乘法将相邻处理、整体排列、插空三步结果相乘得到总方法数 （25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：经典例题1例题 (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. （25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有______种.（用数字作答）经典例题2例题 【答案】144 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有种方法；甲班两人内部有种排法，故共有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故答案为：144 （25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ）小试牛刀1 A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C （24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ）小试牛刀2 A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 【题型5：定序问题倍缩法】 【练方法】 解题方法 1.先对所有元素进行全排列计算总排列数 2.找出定序元素的个数计算其全排列数 3.总方法数=全排列数÷定序元素的全排列数（即） 4.若有多组定序元素分别除以各组的全排列数 （2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ）经典例题1例题 A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B （25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答)经典例题2例题 【答案】 120 210 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. （2025高三·全国·专题练习）现有面值分别为一分的硬币1枚，二分的硬币2枚，五分的硬币3枚，一角的硬币4枚，五角的硬币5枚，一元的硬币6枚共21枚硬币排成一排，共有多少种排法？小试牛刀1 【答案】 【分析】由条件考虑利用倍缩法解决. 【详解】此题中的21个元素不完全相同，也不完全不同，那么相同的元素之间不考虑其顺序，但是不同的元素之间又要考虑顺序，因此采用倍缩法，排法总数为． 故答案为：. （24-25高二下·海南海口·期中）如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有______种（请用数字作答）小试牛刀2 【答案】210 【分析】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，求解即可. 【详解】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，如图， 问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，则总共有种排法. 故答案为：210. （24-25高二下·重庆·期中）今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种．小试牛刀3 【答案】120 【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排； 再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法. 故答案为：120. 【题型6：平均分组与部分平均分组】 【练方法】 解题方法 1.不平均分组：直接分步选取用组合数相乘得到方法数 2.平均分组：先按组合数选取再除以相同组的阶乘（消除组间排列重复） 3.部分平均分组：先处理不平均部分再处理平均部分平均部分仍需除序 4.若组有编号（如“第一组”“第二组”）一般不需要除序 （25-26高二上·山东德州·期末）将10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有__________种不同分法.（用数字作答）经典例题1例题 【答案】2100 【分析】根据部分平均分组的求法，即可得答案. 【详解】10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有种不同分法. 故答案为：2100 （25-26高三上·浙江宁波·期末）现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（     ）种经典例题2例题 A．1470 B．1512 C．1806 D．2982 【答案】C 【分析】分位同学分得的书法作品数为，，和，，和，，和，，共四种情况讨论即可. 【详解】分四类： 第一类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第二类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 第三类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第四类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 由加法原理，知共有种不同分法. 故选：C. （24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答）小试牛刀1 （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【答案】（1）15；（2）90；（3）1560 【分析】（1）根据给定条件，利用部分平均分组列式计算. （2）利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式计算. （3）按分组，再分配给4个人即可. 【详解】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法 （24-25高二下·广东深圳·期中）某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人．小试牛刀2 (1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ (2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）应用排列数公式计算求解； （2）应用分组分类结合排列数及组合数公式计算解题. 【详解】（1）由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司， 所以共有种不同的分配方法． （2）6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司， 则有种不同的分配方法． 若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司， 则有种不同的分配方法， 所以甲、乙不在同一家公司共有种不同的分配方法． （24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）小试牛刀3 (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 【答案】(1) (2)540 (3)230 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）分三种情况讨论，利用分组分配问题求解即可. （3）分4种情况，利用分组分配问题求解即可. 【详解】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种； （2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况： ①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种， ②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种， ③三科均2人，共有：种， 所以一共有：90+360+90=540种. （3）因为甲乙两人都不报化学学科， 所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况： ①有1人报化学：种， ②有2人报化学：种, ③有3人报化学：种， ④有4人报化学：种， 所以一共有：120+84+24+2=230种. 【题型7：简单组合问题】 【练方法】 解题方法 1.明确“从个不同元素中选个”的目标不考虑顺序 2.直接代入组合数公式计算 3.若有特殊约束（如“甲必须入选”或“甲不能入选”）先固定甲的状态再计算剩余元素的组合数 4.若有“至少”“至多”约束优先用分类讨论或对立事件计算 （2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有______种.经典例题1例题 【答案】1122 【分析】由规则②④可知环节三最多有3个人，分环节三有3个人、环节三有2个人两种情况，结合计数原理和组合知识解决. 【详解】为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四， 由规则②④可知，环节一至少有2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人. （1）当环节三有3个人时， 则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生， 则安排好环节三有种方案， 剩余4个人，环节一必然有2个人，环节二和环节四各有1个人， 则安排好环节一、环节二和环节四有种方案. 所以安排好四个环节共有种方案. （2）当环节三有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生， 则安排好环节三有种方案， 剩余5个人， 当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有种方案； 当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有种方案. 所以安排好四个环节共有种方案. 综上，满足条件的安排方案共有种. （2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.经典例题2例题 【答案】150 【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案. 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. （2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种．小试牛刀1 【答案】145 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 （24-25高二下·广东肇庆·月考）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种．小试牛刀2 【答案】180 【分析】利用间接法，先求出总选法共种，再求出甲、乙两人都入选的不同选法共有种，即可得到甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 【详解】总选法：从 7 人中选出 3 人担任 3 个不同职务共种， 甲、乙两人都入选的不同选法共有种， 所以甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 故答案为：180. （25-26高三上·广西崇左·期末）某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】将人数安排分为，两种，结合排列组合和计数原理求出. 【详解】人数安排可以是，， 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择2人坐该车，然后再从剩余的人中选取4人坐其中一辆，共有种； 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择4人坐该车，然后再从剩余的人中选取3人坐其中一辆，共有种； 则共有种安排方式. 故答案为：. 【题型8：分组分配问题】 【练方法】 解题方法 1.先分组：按平均分组/不平均分组的方法计算分组方法数 2.再分配：将分好的组分配到不同位置（如不同班级、不同岗位）计算排列数 3.用分步乘法将分组方法数与分配排列数相乘得到总方法数 4.若组有编号分配时直接对应编号无需额外排列 （25-26高二上·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】先分组，从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，再排列，将分好的3组全排列，对应3个场地，根据分步乘法计数原理计算得解. 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）将个不同的科研项目分配给个不同的研究所，要求每个研究所至少负责个项目，则项目和项目被分配到同一研究所的概率是_____．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用分组分配原理求出“每个研究所至少负责个项目”的分配方法种数，并求出“项目和项目被分配到同一研究所且每个研究所至少负责个项目”的方法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】每个研究所至少负责个项目，可能分成型和型， 第一型有种方法，第二型有种方法， 共种方法． 若限定项目与分配到同一研究所，第一型有种方法， 第二型有种方法，共种方法． 故所求概率为． 故答案为：. （2026高三·广东江苏·专题练习） “湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有______种．小试牛刀1 【答案】70 【分析】先分跳箱，按照跳箱数量分别为、、或、、或、、计算；再分药球，按照药球数量分别为、、或、、计算，再由分步乘法计数原理可得. 【详解】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将箱药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故答案为：70 （25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答）小试牛刀2 【答案】60 【分析】利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数. 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. （25-26高三上·湖北襄阳·月考）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有__________种.小试牛刀3 【答案】12 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，根据分步乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故答案为：12 【题型9：数字排列问题】 【练方法】 解题方法 1.明确数字位数、是否允许重复、是否有特殊约束（如首位不为0、奇偶性、整除性） 2.优先处理受约束最多的数位（如首位、末位） 3.按数位分步计算每一位的可选数字个数 4.用分步乘法得到总排列数 5.若有奇偶性/整除性约束需分类讨论（如末位为偶数/奇数） （2026高三·全国·专题练习）用这个数字，可以组成____个大于，且小于的数字不重复的四位数．经典例题1例题 【答案】 【分析】当千位数字为3或4时，剩余数位可任选不重复的数字进行排列；当千位数字是时，需分百位数字小于4和等于4两种情况进行计算，而百位数字等于4时，还需分十位数字小于2和等于2两种情况进行计算.因此，分四类情况分别计算，最后求和可得答案. 【详解】若千位数字为3，4之一，则百、十、个位可以从除千位上的数字之外的5个数中任选3个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一，则十位、个位可从除千位和百位选定的数字之外的4个数中任选2个进行排列，所以有个； 若千位数字为5，百位数字是4，十位数字是0，1之一，则个位可从除千位、百位和十位选定的数字之外的3个数中任选1个进行排列，所以有个； 最后还有5420也满足题意. 综上，所求四位数共有个. 故答案为：． （2025高三·全国·专题练习）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：经典例题2例题 (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． （25-26高二上·全国·单元测试）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数．小试牛刀1 (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 【答案】(1)300 (2)156 (3)237 【分析】（1）方法1：先排首位（不能为0），再排后面三位，利用分布乘法计数原理求解. 方法2：分组成的四位数有无数字0讨论，利用分类加法计数原理求解. （2）分个位数字是否为0进行讨论，利用分类加法计数原理求解. （3）分别求个位、十位、百位、千位比2024大的数可得答案. 【详解】（1）方法一  先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为 ． 方法二  当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为 ． （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有 个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有 （个）． （2026·甘肃·一模）由数字，可以组成多少个不同的四位数（    ）小试牛刀2 A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先计算所有数字的全排列，再除以重复数字的排列数即可. 【详解】4个数字的全排列数为. 因为有2个相同的数字2 ，所以需除以重复数字的排列数， 故数字，可以组成不同的四位数的个数：. （24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ）小试牛刀3 A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【答案】C 【分析】利用排列组合的相关知识运用分类和间接法等逐一进行判断即可. 【详解】对于A，首位不能为，故共有种；剩下的4个数全排列共有种，一共有种，故A正确， 对于B，末位为0时，剩下的4个数全排列共有种； 末位为2时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 末位为4时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 总计有种，故B正确， 对于C，首位为4时，剩下的4个数全排列共有种； 首位为3时，千位为，剩下的3个数全排列共有种，一共有种；千位为，剩下的3个数全排列共有种， 总计有种，故C错误， 对于D，一共的排列共有96个数，数字2和数字4相邻的数共有种，0在首位的情况有种， 数字2和数字4不相邻的数有种，故D正确. 故选：C. 【题型10：染色问题】 【练方法】 解题方法 1.确定染色顺序：优先染相邻区域最多的区域减少后续约束 2.按顺序分步染色每一步的可选颜色数=总颜色数-相邻区域已用颜色数 3.用分步乘法得到总染色方法数 4.若区域形成环形（首尾相连）需分类讨论首尾区域颜色是否相同再分别计算 （2026高二下·福建厦门·专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种．经典例题1例题 【答案】72 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． （25-26高二下·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ）经典例题2例题 A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. （25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ）小试牛刀1 A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． （25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种.小试牛刀2 A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】讨论用3种颜色和2种颜色两种情况，分别求解，综合即可得答案. 【详解】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B （2025高三·全国·专题练习）将5种不同的颜色填入图中六边形内的6块区域中，要求相邻的区域不同色，则不同的填法有______种．小试牛刀3 【答案】4100 【分析】对区域①②③进行讨论，有三种颜料使用情况，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】第一类：区域①②③同色，则有种； 第二类：区域①②③有2种颜色，则有种； 第三类：区域①②③有3种颜色，则有种. 可得，故不同的填法有4100种. 故答案为：4100 【题型11：新文化题型】 【练方法】 解题方法 1.提取题干核心信息忽略文化背景描述转化为排列组合模型 2.识别约束类型：特殊元素、相邻、不相邻、分组等 3.选择对应方法（优先法、捆绑法、插空法、分组法）计算方法数 4.验证结果符合实际意义（如人数、物品数为正整数） ．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ）经典例题1例题 A．10 B．20 C．36 D．38 【答案】D 【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解. 【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、， 三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、； 依题意根算筹可以分为，，三种情况： 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 综上可得一共有个三位数. 故选：D （24-25高三上·全国·月考）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意用根算筹组成的无重复数字三个数字组合为；；；，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【详解】用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；， 三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种， 能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种， 所以这个三位数能被3整除的概率为， 故选：A. （2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某季节的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为______.小试牛刀1 【答案】31 【分析】应用间接法，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即可得. 【详解】由题设，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即为构成三角形的情况， 所以不同三角形的个数为个. 故答案为： （24-25高二下·江苏宿迁·期中）在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.小试牛刀2 【答案】 39 140 【分析】根据三进制表示规则直接计算可得结果，先将3个0，2个1进行排列，再利用插空法将3个进行排列，然后除去首位为0的所有情况，即可求得结果. 【详解】易知00001110对应的十进制数为； 先将3个0，2个1进行排列，共有种， 再将3个插入到6个空隙中去，共有种， 所以能表示出的不同的三进制数个数共有种， 其中有首位为0时，共有种， 则符合题意的不同的三进制数个数共有种. 故答案为：39；140. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用插空法将将3个插入到6个符合题意的空隙中去，求得总个数，然后减去首位为0时的个数即可得出结果. ．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：小试牛刀3 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为  ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入  的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【答案】 【分析】将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）； 1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个； 2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个. 1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9， 所以能表示的数有个； 1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5， 所以能表示的数有个； 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故答案为：. 【题型12：与几何有关的排列组合问题】 【练方法】 解题方法 1.转化为组合/排列模型：如“选点连线”“选点构成三角形”等 2.先计算总方法数再减去不符合几何条件的情况（如共线点、共面点） 3.若涉及位置关系（如直线过某点、图形对称性）需分类讨论 4.注意几何图形的限制（如三点不共线、四点不共面）避免重复计数 （25-26高二下·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．经典例题1例题 (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】（1）直接法按共线点的选取情况分类，结合分类加法计数原理计算；间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数，再减去4个共线点多算的直线数，两种方法均可得到结果； （2）直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类，分别结合另5个点的选取计算有效三角形数；间接法先求9个点中任取3点的总组合数，再减去4个共线点中取3点的组合数。 （3）直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类，结合另5个点的选取计算有效四边形数；间接法先求9个点中任取4点的总组合数，再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． （25-26高二下·全国·课堂例题）五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条.经典例题2例题 【答案】 10 20 【分析】从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，是组合问题，两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，是排列问题，即可求解. 【详解】从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有（条），再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是.所以有向线段共有20条. 故答案为：10，20. （25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对小试牛刀1 A．37 B．54 C．66 D．67 【答案】A 【分析】首先共可得条不同的直线，共有对直线，排除掉共面的即可得解. 【详解】从上，，，取一个点和上，，取一个点， 确定的直线数有条，再加上直线，，则共可得条不同的直线， 则共有对直线， 其中直线与新的条直线都共面，直线与新的条直线也都共面，共24对， 新的条直线中，若直线过点，则形成直线，共有对共面， 直线上有4个点，故共有对共面， 新的条直线中，若直线过点，则形成4条直线， 其中两两共面，有对， 直线上有3个点，故共有对共面， 故异面直线有对. 故选：A （25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】先求出总取法，再分正方体的个面，个中间平面，个对角面和8个斜切面四种情况讨论，求出四点共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从个点中取4个点，共有种取法， 四点共面分下面四种情况： ①正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ②个中间平面：每个平面包含个点，此时共有种； ③个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有种； ④8个斜切面（三条面对角线形成的）：每个面包含3个顶点和3个中心点，此时共有种； 所以四个点不共面共有种， 所以所求概率. 故答案为：. 【多选题】（2025高三·全国·专题练习）从正六棱柱的所有顶点中任取4个点，则（    ）小试牛刀3 A．所取4个点不全在该正六棱柱的一个面内的取法有489种 B．所取4个点共面的概率为 C．过所取4个点中任意2点的连线中有3对异面直线的取法有426种 D．若所取4个点共面，则这4个点为矩形顶点的概率为 【答案】BC 【分析】应用正六棱柱的特征结合分类讨论应用排列数及组合数计算判断A，C，应用古典概型计算判断B，D. 【详解】选项A：正六棱柱有12个顶点，6个侧面均有4个顶点，2个底面均有6个顶点， 所以所取4个点不全在该正六棱柱的一个面内的取法有（种），A错误. 选项B：可以将4个点共面的情况分为5种：①从每个侧面中取4个点，有种情况； ②从每个底面中取4个点，有种情况； ③从上底面中取共边的2个点，则下底面中有2条直线与其共面但不与其共侧面，有种情况； ④从上底面中取相隔一点的对角线的2个端点，则下底面中有2条直线与其共面，有种情况； ⑤从上底面中取相隔两点的对角线的2个端点，则下底面中有3条直线与其共面，有种情况； 所取4个点共面的概率为，B正确. 选项C：若过所取4个点中任意2点的连线中有3对异面直线，则所取的4个点不共面， 所以取法种数为，C正确. 选项D：由B知所取4个点共面的取法有69种，4个点恰好为矩形4个顶点的取法种数为， ①等式中第一个“6”表示正六棱柱的6个侧面； ②等式中“”表示正六棱柱的上、下底面中均有3种所取4个点可构成矩形的情况； ③等式中“”中的“6”表示上底面的6条边可以与下底面的6条边构成矩形且构成的矩形不是侧面，情况有6种， “12”表示从上底面中取相隔一点的对角线的2个端点，则下底面中有2条对角线与其共面且可构成矩形，情况有12种， “3”表示从上底面中取相隔两点的对角线的2个端点，则下底面中有1条对角线与其共面且可构成矩形，情况有3种 所以所求概率为，D错误. 故选：BC. 【题型13：排列组合综合素养题型】 【练方法】 解题方法 1.拆解复杂问题：将综合题拆分为基础题型（特殊位置、相邻、不相邻、分组等） 2.按“先特殊后一般、先捆绑后插空、先分组后分配”的顺序处理 3.用分类加法与分步乘法计数原理逐步计算各模块方法数 4.汇总得到总方法数结合概率、最值等知识求解最终问题 5.验证结果符合题意与实际意义 （2026·湖北随州·二模）定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______．经典例题1例题 【答案】56 【分析】将问题转化为方程的正整数解的个数问题，再利用“隔板法”求解. 【详解】由题中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，因 ，则任意 的最大值为， 该解集中的均满足,因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法,即中有个元素. （25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）．经典例题2例题 【答案】2304 【详解】因为这5个数字之积为0，并排成一个5位数， 所以第4个圆的上方位被选， 则左方位有种选择，右方位有种选择，下方位有种选择，正中位有种选择， 且0不能在万位上， 先排万位有种，剩下的有， 所以共有种. （2026·广东茂名·一模）从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意首先分析能被2整除时，的取值要求，再结合排列组合及古典概型可求解. 【详解】因为1至13的整数中有6个偶数，7个奇数， 若能被2整除，则只需能被2整除，的取值异于即可， 当都为奇数时，的取法有种； 当都为偶数时，的取法有种， 所以能被2整除的概率为. 故选：B. （25-26高三上·山东菏泽·期末）数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】令，则，结合累加法，确定中，有个，个，再结合组合数的应用即可求得结果. 【详解】由题知，，，， 令，则， 所以， 即， 设中有个，有个， 则，解得， 所以在中，有个，个， 所以满足这些条件的数列的个数， 即为从个位置中选出两个位置放的组合数， 即. 故答案为： （2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.小试牛刀3 【答案】200 【详解】 将有阴影的圆分别标为， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有 种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有 种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有 种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有 种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 【题型14：隔板法】 【练方法】 知识梳理 适用场景：相同元素分到不同位置，且每个位置至少一个（或多个） 核心模型：（）的正整数解个数为 变形：若，解个数为 解题思路 1.识别模型：相同元素、不同位置、至少一个 2.转化为方程求解，利用隔板法构造空隙 3.代入公式计算： 至少1个： 至少2个：先给每个位置1个，转化为至少1个 （25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】本题可通过设出四位数的各位数字，将问题转化为求不定方程的非负整数解的个数，再利用隔板法进行求解. 【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是， 则，均为整数， 设，，，， ，，， 对于方程 可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值， 为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中， 隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板， 其余位置放元素，其组合数为. 故答案为：. （2026·江西上饶·一模）将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ）经典例题2例题 A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 【多选题】（24-25高二下·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【答案】ACD 【分析】对于A，由分步乘法原理验算即可；对于B，先分组再排列即可验算；对于C，由分类加法原理验算即可；对于D，由隔板法即可验算. 【详解】对于A，共有种不同的放法，故A正确； 对于B，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故B不正确； 对于C，共有共种分组方式，共有种不同的放法，故C正确； 对于D，相当于找到方程的非负整数解的数目，令， 则问题相当于找到方程的正整数解的数目， 相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板，故所求为，故D正确. 故选：ACD. （24-25高二下·重庆·月考）方程的正整数解的不同组数为______．（用数字作答）小试牛刀2 【答案】 【分析】将问题化为求12个小球分成3组，且每组至少有一个小球的分法数，结合组合数求结果. 【详解】由题意，问题可看作求12个小球分成3组，且每组至少有一个小球的分法数， 根据隔板法，共有种. 故答案为： （24-25高二下·广东江门·期中）下列判断正确的是（    ）小试牛刀3 A．方程有两个不同的实数解 B．方程的正整数解共有126组 C．方程有唯一实数解 D．方程的非负整数解共有3003组 【答案】BCD 【分析】构造函数，利用导数探讨函数最小值判断AC；利用隔板法列式求解判断BD. 【详解】对于A，令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上递减，在上递增，， 因此有唯一解，A错误； 对于B，将10个相同小球排成一列，用5块隔板将10个小球分成5部分，每种分法的5个结果 即为一组正整数解，共有，B正确； 对于C，函数定义域为，求导得 ，令函数，函数在上递增，， ，则存在唯一实数，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上递减，在递增，， 因此方程有唯一实数解，C正确； 对于D，原方程化为， 将16个相同小球排成一列，用5块隔板将16个小球分成5部分，每种分法的5个结果 即对应一组非负整数解，共有，D正确. 故选：BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 $