10.3 实际问题与二元一次方程组（1）—和差倍分问题2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（1） ——和差倍分问题 姓名： 班级： 1． 复习回顾 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机，1 h 就完成了8 hm²棉田的采摘.如果大型采棉机 1 h 完成2 hm²棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm²棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 问题1 问题包含了哪些等量关系？ 大采棉机台数+小采棉机台数=6 2×大采棉机台数+1×小采棉机台数=8 问题2 你能用一元一次方程解决该问题吗？ 解：设这个种棉大户租用了大型采棉机各台 归纳小结：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一 审 ：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 二 设 ：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 三 列 ：根据题目中的等量关系，列出方程(组)； 四 解 ：解所列方程(组)，求出未知数的值； 五 检 ：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意； 六 答 ：写出答案(包括单位名称). 问题3 你能用二元一次方程解决该问题吗？ 解：设这个种棉大户租用了大、小型采棉机各台、台， 根据题意列出的方程组是 2． 课堂探究 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 【详解】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg， 根据题意得： ， 解得： ， ∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg， 则每头大牛1天需要的饲料估计正确，每头小牛1天需要的饲料估计不正确. 3． 例题讲解 例1．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 【答案】1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元 【分析】本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解． 【详解】解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元． 例2. 某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？ 【答案】到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组是解题关键．设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人，根据题意列出方程二元一次方程组求解即可得答案． 【详解】解：设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人， ∵旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少， ∴， 解得：． 答：到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人． 例3. 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 【答案】(1)这个项目改进加工方法前、后各用了2天、6天． (2)这个队的胜、负场数分别是6场和4场． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设这个项目改进加工方法前、后各用了x、y天，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设这个队的胜、负场数分别是m、n场，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）解：设这个队的胜、负场数分别是m场和n场， 由题意可得：，解得：． 答：这个队的胜、负场数分别是6场和4场． 例4. 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元上调为300元，建筑垃圾清运费的收费标准由150元上调为180元．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 【答案】该公司去年的餐厨垃圾8吨，建筑垃圾34吨． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目蕴含的等量关系是解决本题的关键；根据题意可得等量关系：餐厨垃圾处理费的单价吨数建筑垃圾处理费单价建筑垃圾吨数总费用；设该公司去年的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，接下来根据等量关系列出方程组，然后用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：设该公司去年的餐厨垃圾有x吨，建筑垃圾有y吨， 根据题意，得 解得：， 答：该公司去年的餐厨垃圾8吨，建筑垃圾34吨． 例5．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【答案】购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的除法运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组成为解题的关键． 设购买甜果、苦果的个数分别为个，然后根据题意列二元一次方程组即可求得购买甜果、苦果的个数，然后再根据题意求得每个甜果、苦果的价格即可． 【详解】解：设购买甜果、苦果的个数分别为个， 由题意可得：，解得：． ∴购买甜果、苦果的个数分别为个， ∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果， ∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 答：购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 4． 课堂练习 1．我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元400年前后）中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，设鸡有只，兔有只，根据题意所列二元一次方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到等量关系，正确列出方程组是解答的关键．设鸡有x只，兔有y只，直接根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：D． 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？若设每头牛、每只羊分别值金两和两，根据题意列方程组得（　　） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据题意，5头牛和2只羊的总价值为10两，对应方程；2头牛和5只羊的总价值为8两，对应方程，直接联立这两个方程即可得到正确选项． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，根据“5头牛、2只羊，共值金10两”，可列方程： 根据“2头牛、5只羊，共值金8两”，可列方程： 将两个方程联立，得到方程组： ， 故选：A． 3．学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅．第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？ 【答案】每套《西游记》元，每套《水浒传》元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据每次购买花费的钱数得到等量关系列出方程组求解．设每套《西游记》元，每套《水浒传》元，然后找出两个等量关系：2套《西游记》的钱数套《水浒传》的钱数元；4套《西游记》的钱数套《水浒传》的钱数元；根据这两个等量关系可列出方程组，解方程组即可； 【详解】解：设每套《西游记》元，每套《水浒传》元， 由题意得，， 解得：， 答：每套《西游记》元，每套《水浒传》元． 4. 2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 5. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 【答案】这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元，根据“快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元． 6. 周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子．已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，王芳买的茄子比鲈鱼多，共花费44元．她买了鲈鱼和茄子各多少千克？ 【答案】她买了鲈鱼1千克，茄子千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设她买了鲈鱼千克，茄子千克，根据王芳买的茄子比鲈鱼多，共花费44元建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设她买了鲈鱼千克，茄子千克， 由题意得：， 解得， 答：她买了鲈鱼1千克，茄子千克． 7. 七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元．每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元 【答案】．每张“九天揽月”活动的票价为20元，“深海探幽”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 设每张“九天揽月” 活动的票价为x元， 设每张“深海探幽” 活动的票价为y元， 根据有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元．列出方程组求解即可． 【详解】解：设每张“九天揽月” 活动的票价为x元， 设每张“深海探幽” 活动的票价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，“深海探幽”活动的票价为30元． 8. 为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级（1）班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级（2）班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元．如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？ 【答案】每套男生演出服的租用费是元，每套女生演出服的租用费是元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设每套男生演出服的租用费是元，每套女生演出服的租用费是元，结合题意列二元一次方程组即可． 【详解】解：设每套男生演出服的租用费是元，每套女生演出服的租用费是元， ∴， 解得，， ∴每套男生演出服的租用费是元，每套女生演出服的租用费是元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组（1） ——和差倍分问题 姓名： 班级： 1． 复习回顾 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机，1 h 就完成了8 hm²棉田的采摘.如果大型采棉机 1 h 完成2 hm²棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm²棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 问题1 问题包含了哪些等量关系？ 问题2 你能用一元一次方程解决该问题吗？ 归纳小结：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一 ：审题，弄清题意及题目中的数量关系； 二 ：设未知数，可直接设元，也可间接设元； 三 ：根据题目中的等量关系，列出方程(组)； 四 ：解所列方程(组)，求出未知数的值； 五 ：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意； 六 ：写出答案(包括单位名称). 问题3 你能用二元一次方程解决该问题吗？ 2． 课堂探究 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 3． 例题讲解 例1．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 例2. 某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？ 例3. 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 例4. 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升为8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元上调为300元，建筑垃圾清运费的收费标准由150元上调为180元．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 例5．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千．甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 4． 课堂练习 1．我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元400年前后）中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，设鸡有只，兔有只，根据题意所列二元一次方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？若设每头牛、每只羊分别值金两和两，根据题意列方程组得（　　） A．B． C．D． 3．学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅．第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？ 4. 2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 5. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 6. 周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子．已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，王芳买的茄子比鲈鱼多，共花费44元．她买了鲈鱼和茄子各多少千克？ 7. 七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元．每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元 8. 为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级（1）班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级（2）班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元．如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $