专题09实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解法复习讲义（16大题型+知识梳理）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题09实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的 解法复习讲义 高效复习◆重点 1.理解三元一次方程及方程组的定义，精准区分其类型特征； 2.掌握消元核心思想，熟练运用代入、加减消元法求解三元一次方程组； 3.掌握二元一次方程组的应用核心，能通过找两个等量关系建模求解，同时熟练运用三元一次方程组应用建模方法，精准解决实际问题； 4.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤。 核心题型◆归纳 题型1根据实际问题列二元一次方程组 题型2根据几何图形列二元一次方程组 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 题型15三元一次方程组的定义及解 题型16三元一次方程组的应用 题型17提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程组的应用 1. 核心：找出两个不重复的实际等量关系，设两个未知数，列二元一次方程组求解。 2.找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系。 3..二元一次方程组常见等量关系 （1）行程问题：路程=速度×时间； 相遇问题：总路程=甲行驶路程+乙行驶路程”； 追及问题：路程差=速度差×追及时间； 顺风航行问题：顺风速度=静风速度+风速； 逆风航行问题：逆风速度=静风速度-风速”（路程不变，速度随风向变化）。 （2）购物问题：总价=单价×数量。 （3）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间， 合作问题：合作效率=甲效率+乙效率； 总工作量=各部分工作量之和。 （4）和差倍比问题：两数和=大数+小数、两数差=大数-小数、倍数关系“大数=小数×倍数”。 （5）浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，混合问题混合前总溶质质量=混合后总溶质质量。 4.列二元一次方程组解决问题的步骤： （1）审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系； （2）设元，找出问题中的两个关键未知量，并用字母表示出来； （3）找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系； （4）列，根据等量关系，列方程组 （5）解方程组，求出未知的数值； （6）检验所求解是否符合实际意义，然后作答。 知识知识点02三元一次方程组 1.定义：只含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解题步骤 （1）消去一个未知数：从三个方程组中，任选两组，消掉同一个未知数，得到两个只含两个未知数的方程； （2）解二元一次方程组：用代入或加减，求出这两个未知数； （3）代入：第三个未知数把求出的两个数代回原简单方程，求出第三个未知数； （4）检验：把解代入三个原方程，检验是否都成立。 知识点03三元一次方程组的应用 1.核心：找出三个实际等量关系，设三个未知数，列方程组求解。 2.常见应用场景：行程（三个对象）、浓度（三种溶液）、工程（三个主体）、和差倍比、购物（三种商品）。 3.解题步骤与二元应用一致，重点在于精准梳理三个等量关系，灵活消元。 题型解析◆精准备考 题型1根据实际问题列二元一次方程组 1．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 2．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问：几何日相逢？”译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢．设甲从出发到相遇用时日，乙从出发到相遇用时日，则可列方程组为_______． 【答案】 【详解】解：由“乙先出发2日，甲才从长安出发”可得，， 由“甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，设甲从出发到相遇用时日，乙从出发到相遇用时日”可得，， 因此可列方程组为． 3．六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 【答案】(1)A品牌时装每套进价100元，B品牌时装每套进价75元 (2)860元 【分析】（1）设A品牌每套进价 元，B品牌每套进价 元，由5套A、6套B共950元和3套A、2套B共450元列二元一次方程组求解； （2）设购进A品牌 件、B品牌 件，由总进价4300元列方程求出 ，再用总售价减总进价求盈利． 【详解】（1）解：（1）设A品牌时装每套进价 元，B品牌时装每套进价 元， 由题意，得 , ，解得 ． A品牌每套进价100元，B品牌每套进价75元； （2）解：设购进A品牌 件，则购进B品牌 件， 由题意，得 ， 解得 ． 购进B品牌 件， 总售价 （元）， 总进价 （元）， 盈利 （元）． 时装店销售完这50件时装共盈利860元． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 2．郧阳中学校舍区重新铺设步道，提供的地砖是完全相同的小长方形（如图1），现向同学们征集图形设计，刘同学设计出一个大长方形和一个正方形（如图2、图3），其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于，依据题意，学校所提供地砖长宽、的值依次为_________． 【答案】 【分析】根据图形的面积不变，构造两个等式求解即可． 【详解】解：根据图2，得，整理，得； 根据图3，得，整理，得， 故， 解得，（舍去）； 故 故． 3．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 1．一架无人机载重为，需配送重和的两种包裹.要求无人机满载飞行，则配送包裹的总件数不可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解问题，根据满载条件列方程，求出所有可能的总件数，即可判断不可能的选项． 【详解】解：设配送包裹件，包裹件，均为非负整数， 由无人机满载可得：， 整理得， ∵ 为非负整数， ∴为非负偶数， ∵是奇数，奇数减奇数为偶数， ∴是奇数，即为奇数 又∵ ， 得 ∴ 的可能取值为 当时，，总件数，排除D选项； 当时，，总件数，排除C选项； 当时，，总件数，排除A选项； 因此总件数不可能是． 2．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有______t． 【答案】33.5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 3．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示．求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数． 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 【答案】每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． 【分析】根据表格中两种租车情况的载客总数找出等量关系，设未知数后列出方程组求解即可． 【详解】解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人． 由题意得： 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 1．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 1．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 2．某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 1．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， 由②得：， 把代入①得：， ， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，，∴，故选项C符合题意， ，故选项D不符合题意． 2．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【答案】42 【分析】设原来两位数的十位数字与个位数字分别为未知数，根据题目给出的两个等量关系列二元一次方程组，求解后即可得到原来的两位数． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 因此原来的两位数为． 3．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 1．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 2．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁， 由题意，得： 解得： 所以小雅的年龄是15岁． 故答案为：15． 3．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 1．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 2．若干本书分给小朋友，每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本，则有____________本书． 【答案】 【分析】设小朋友的人数为，根据书本总数不变建立方程，结合和都是正整数，利用质数的性质确定和的值，进而求出书本总数. 【详解】解：设小朋友的人数为， 每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本， 根据题意可得：， 整理得：， ，均为正整数，是质数，正因数只有和， 可得： 或 ， 当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时， 解得，符合题意； 将，代入， 可得书的本数为：. 3．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 1．购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】设甲、乙两种笔记本的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合x、y为正整数，且甲数量是乙的整数倍，利用整除性确定符合条件的方案数． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意得 ， 整理得 ，变形得 ， ∵、均为正整数， ∴， ∴， 又∵为偶数，是奇数， ∴为奇数，的可能取值为， ∵甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，即为正整数， 分别验证： 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； ∴符合条件的方案共种． 2．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 【答案】 【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：永州款的单价为元． 3．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 【答案】(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件 (2)9折 【分析】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）解：设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，则 ， 解得， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 1．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 2．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， ∵小玲给小倩2元，小倩给小玲n元， ∴，， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案为：4． 3．为表彰优秀，七班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学．若每人奖励本，还剩本；若每人奖励本，还差本，问七班期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本？ 【答案】七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本． 【分析】设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，根据“若每人奖励本，还剩本”可列出方程，再根据“若每人奖励本，还差本”可列出方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本， 根据题意得， 解得： 答：七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本． 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 1．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形，则小长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图中大长方形的长、图中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【详解】解：∵个一样大小的小长方形， ∴设小长方形的宽为，长为， ∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或， 据题意得：， 解得：， ∴小长方形的面积． 2．有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为的纸条的与长为的纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则__________． 【答案】110 【分析】根据纸条的总长度为90，列出方程组，解方程组，得出，最后求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 3．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 1．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 3．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？”设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，则列方程组正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系：5个大容器容量加1个小容器容量等于3，1个大容器容量加5个小容器容量等于2，据此列方程组即可． 【详解】解：根据大容器5个，小容器1个，总容量为3斛可得 ， 根据大容器1个，小容器5个，总容量为2斛可得 ， 所以可列方程组为． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，若设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，则根据题意可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据题意将总价转换为以分为单位，再根据“三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分”列出方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，依题意得： ． 3．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【答案】甲原本有37.5钱，乙原本有25钱 【分析】设甲原本有x钱，乙原本有y钱，根据若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲原本有x钱，乙原本有y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴甲原本有37.5钱，乙原本有25钱． 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 1．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则 的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】从表格中选取两组对应值，列出关于的方程组，求解得到的值后代入待求式计算即可． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ， 两式相加得，解得， 把代入，得， 将代入得． 2．如图，点沿轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则______．    【答案】 【分析】根据终点坐标与起点坐标的差值列出二元一次方程组，利用整体思想求解的值即可． 【详解】解：由题意可知，点的坐标为，做一次“正横跳马”，横坐标增加，纵坐标增加，做一次“正竖跳马”，横坐标增加，纵坐标增加， ∵点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点， ∴横坐标的总增加量为，纵坐标的总增加量为， ∴可列方程组为：， ，得， ∴， ∴． 3．某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？ 【答案】快快和稳稳各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元 【分析】设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元，根据机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元． 题型15三元一次方程组的定义及解 1．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 2．三元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【详解】解：， 可得， 整理得， 得， 得， 得， 因此原方程组的解为． 3．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：①×5，得 ，得 ， ， ． 把代入①，得 ， ． 所以这个方程组的解是 （2） 解：，得 ， ，得 ， ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把，代入②，得 ． 所以这个方程组的解是 题型16三元一次方程组的应用 1．如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据天平平衡列出方程组，通过消元可得答案． 【详解】解：由题意得，， 得， ∴，即． 2．小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元元元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 3．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，只有2人解出的题叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？ 【答案】难题比容易题多20道 【分析】通过设未知数，根据题目所给条件列出方程，进而找出难题和容易题数量的关系． 【详解】解：设难题有道，容易题有道，中等题有道， 则， 由，得． 答：难题比容易题多20道． 过关检测◆提升 一、单选题 1．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据题意，列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据每人出9钱，余11钱可得方程，根据每人出6钱，差16钱，可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设有人买鸡，鸡的价格为钱， 由题意得，． 2．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元， 设采购m个篮球，n个足球， 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 答：该班共有3种采购方案． 3．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 【答案】D 【分析】设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为，根据图1天平变化后的平衡状态，得出，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解． 【详解】解：设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为， 由题意可知，， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量． 4．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 5．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 二、填空题 6．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 7．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 8．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克( )元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握根据题意列出对应方程并正确计算是解题的关键． 设苹果和柚子的单价，根据题意列出方程组，通过消元法求解柚子的价格． 【详解】解：设苹果每千克元，柚子每千克元．根据题意，得： ， 由得， 解得． 故答案为：． 9．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 10．一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组求出、的值，再根据图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图①和②列出方程组得， 解得， 图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积， 故答案为：． 三、解答题 11．列方程组解应用题：某镇区年与年小学入学人数之比为，且年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，求该镇区年、年入学人数． 【答案】该镇区年入学人数为人，年入学人数为人． 【分析】根据人数比，设该镇区年入学人数为人，年入学人数为人，由比例关系得到，再结合年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，列出方程，最后通过代入消元法求解方程，得出两年的入学人数． 【详解】解：设该镇区年入学人数为人，年入学人数为人， 依题意得：，即 把代入，解得， ∴， 答：该镇区年入学人数为人，年入学人数为人． 12．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 13．2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元 (2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张； 【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设门票每张元，门票每张元． 由题意得：， 解得， 答：门票每张20元，门票每张30元． （2）解：设购买门票张，门票张，由题意得： ，     ， ∵都是正整数， 取 ， ∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张； ②购买门票12张，门票4张； ③购买门票9张，门票6张． 14．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 15．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的 解法复习讲义 高效复习◆重点 1.理解三元一次方程及方程组的定义，精准区分其类型特征； 2.掌握消元核心思想，熟练运用代入、加减消元法求解三元一次方程组； 3.掌握二元一次方程组的应用核心，能通过找两个等量关系建模求解，同时熟练运用三元一次方程组应用建模方法，精准解决实际问题； 4.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤。 核心题型◆归纳 题型1根据实际问题列二元一次方程组 题型2根据几何图形列二元一次方程组 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 题型15三元一次方程组的定义及解 题型16三元一次方程组的应用 题型17提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程组的应用 1. 核心：找出两个不重复的实际等量关系，设两个未知数，列二元一次方程组求解。 2.找等量关系的方法： （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系。 3..二元一次方程组常见等量关系 （1）行程问题：路程=速度×时间； 相遇问题：总路程=甲行驶路程+乙行驶路程”； 追及问题：路程差=速度差×追及时间； 顺风航行问题：顺风速度=静风速度+风速； 逆风航行问题：逆风速度=静风速度-风速”（路程不变，速度随风向变化）。 （2）购物问题：总价=单价×数量。 （3）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间， 合作问题：合作效率=甲效率+乙效率； 总工作量=各部分工作量之和。 （4）和差倍比问题：两数和=大数+小数、两数差=大数-小数、倍数关系“大数=小数×倍数”。 （5）浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，混合问题混合前总溶质质量=混合后总溶质质量。 4.列二元一次方程组解决问题的步骤： （1）审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系； （2）设元，找出问题中的两个关键未知量，并用字母表示出来； （3）找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系； （4）列，根据等量关系，列方程组 （5）解方程组，求出未知的数值； （6）检验所求解是否符合实际意义，然后作答。 知识知识点02三元一次方程组 1.定义：只含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解题步骤 （1）消去一个未知数：从三个方程组中，任选两组，消掉同一个未知数，得到两个只含两个未知数的方程； （2）解二元一次方程组：用代入或加减，求出这两个未知数； （3）代入：第三个未知数把求出的两个数代回原简单方程，求出第三个未知数； （4）检验：把解代入三个原方程，检验是否都成立。 知识点03三元一次方程组的应用 1.核心：找出三个实际等量关系，设三个未知数，列方程组求解。 2.常见应用场景：行程（三个对象）、浓度（三种溶液）、工程（三个主体）、和差倍比、购物（三种商品）。 3.解题步骤与二元应用一致，重点在于精准梳理三个等量关系，灵活消元。 题型解析◆精准备考 题型1根据实际问题列二元一次方程组 1．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问：几何日相逢？”译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢．设甲从出发到相遇用时日，乙从出发到相遇用时日，则可列方程组为_______． 3．六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 题型2根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．郧阳中学校舍区重新铺设步道，提供的地砖是完全相同的小长方形（如图1），现向同学们征集图形设计，刘同学设计出一个大长方形和一个正方形（如图2、图3），其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于，依据题意，学校所提供地砖长宽、的值依次为_________． 3．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 1．一架无人机载重为，需配送重和的两种包裹.要求无人机满载飞行，则配送包裹的总件数不可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 2．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有______t． 3．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示．求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数． 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 1．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 3．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 题型5工程问题（二元一次方程组的应用） 1．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是______天，计划生产_____辆电动车． 3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 1．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 3．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 1．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 2．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 3．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 1．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若干本书分给小朋友，每人本，则余本，每人本，则最后一人只得本，则有____________本书． 3．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 1．购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 3．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 1．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 2．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 3．为表彰优秀，七班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学．若每人奖励本，还剩本；若每人奖励本，还差本，问七班期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本？ 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 1．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形，则小长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 2．有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为的纸条的与长为的纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则__________． 3．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 1．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 3．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 题型13古代问题（二元一次方程组的应用） 1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？”设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，则列方程组正确的是（    ）      A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，若设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，则根据题意可列方程组为________． 3．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 1．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则 的值为（    ） A．3 B．7 C． D． 2．如图，点沿轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，则______．    3．某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？ 题型15三元一次方程组的定义及解 1．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．三元一次方程组的解为_____________． 3．解方程组： (1) (2) 题型16三元一次方程组的应用 1．如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 3．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，只有2人解出的题叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？ 过关检测◆提升 一、单选题 1．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据题意，列出方程组（   ） A．B． C． D． 2．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 4．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 5．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是_____岁． 7．某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组______． 8．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克( )元． 9．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 10．一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 三、解答题 11．列方程组解应用题：某镇区年与年小学入学人数之比为，且年入学人数的倍比年入学人数的倍少人，求该镇区年、年入学人数． 12．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 13．2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 14．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 15．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $