8.5.2 直线与平面平行 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5 空间直线、平面的平行 第八章 立体几何初步 8.5.2 直线与平面平行 复习引入 1. 空间直线与平面有哪几种位置关系？ 2. 根据基本事实2可判断直线在平面内，判断直线与平面平行或相交，凭直观有时是很难确定的，我们需要寻找一个简单可行的判定办法。 3. 如果直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面内的直线只能是平行或异面，不可能相交。现经过直线 l 作平面 ，使∩= m ，那么直线 l 与 m 是什么位置关系？ 4. 对于直线与平面平行，在理论上需解决两个问题，一是在什么条件下可判断直线与平面平行，二是在直线与平面平行的条件下可得到什么结论。把上面的分析加以整理，即可得到相关定理。 1. 空间直线与平面有哪几种位置关系？ 直线与平面的位置关系 直线在平面内—有无数个公共点； 直线与平面相交—有且只有一个公共点； 直线与平面平行—没有公共点. 注意 ①直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称直线在平面外， 记作 l； ②直线l与平面相交于点A,记作l=A;直线a与平面平行，记作a∥. 2. 根据基本事实2可判断直线在平面内，判断直线与平面平行或相交，凭直观有时是很难确定的，我们需要寻找一个简单可行的判定办法。 思考1 门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线l 与门框所在平面 的位置关系是什么？ 思考2 将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线 l 与桌面所在平面 的位置关系是什么？ 平行 思考3 从上述观察中能提出什么猜想？ 平行 只要保证直线 l 与平面 内的一条直线平行，即可判断直线 l 与平面平行. 3. 如果直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面内的直线只能是平行或异面，不可能相交。 l ∥ m 现经过直线 l 作平面 ， 那么直线 l 与 m 是什么位置关系？ 使∩= m ， 4. 对于直线与平面平行，在理论上需解决两个问题， 一是在什么条件下可判断直线与平面平行， 二是在直线与平面平行的条件下可得到什么结论。 把上面的分析加以整理，即可得到相关定理。 教材导学 阅读教材： 1. 直线与平面平行的判定定理是什么？用符号语言如何表述？ 2. 直线与平面平行的性质定理是什么？用符号语言如何表述？ 1. 直线与平面平行的判定定理是什么？用图形语言和符号语言如何表述？ 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 文字语言 ，b∈ ，且∥b ∥. 图形语言 符号语言 2. 直线与平面平行的性质定理是什么？用图形语言和符号语言如何表述？ 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 文字语言 图形语言 符号语言 a∥， a∈， ∩ = b a∥b . 9 拓展探究 1. 直线与平面平行的判定定理是如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如何证明这个定理？ 2. 设 a ， b 为异面直线. （1）过直线 a 可作几个平面与直线 b 平行？ （2）过 a ， b 外一点 P 可作几个平面与直线 a ， b 都平行？ 1. 直线与平面平行的判定定理是如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如何证明这个定理？ 反证法： 因为 a∥b ，则 Pb . 因为 a ∥ b ， 则 a∩= P . 在平面内过点 P 作 c ∥ b. 则 a ∥c ， 假设 a 与 不平行，因为a， 这与 a∩ c = P 矛盾. 2. 设 a ， b 为异面直线. （1）过直线 a 可作几个平面与直线 b 平行 （2）过 a ， b 外一点 P 可作几个平面与直线 a ， b 都平行？ 有且只有一个 至多一个 例1 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线 l 与平面内的一条直线平行，则 l∥ B. 如果两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于平面 C. 如果两条直线都平行于平面 ，则这两条直线平行 D. 如果直线 l 与平面平行，则过平面内一点且与 l 平行的直线在平面内 巩固应用 D 例2 在平行六面体 ABCD- 中， E 为 C 的中点，证明：直线 AC ∥平面DE. 【证】因为 AD∥BC ，BC ，所以 AD ∥ ，所以四边形 AD是平行四边形. E A B D C 连结 A，交 D 于 F ，则 F 为 A的中点，连 EF. F 因为 E 为 C的中点，则 EF ∥CA . 因为 AC平面DE ， EF 平面DE ，所以 AC ∥平面DE. 例3 设l，m为直线， ，为平面，已知= l ， m∥， m∥，求证： l ∥ m . 【证】过直线 m 作两平面，分别与平面相交于a ，与平面相交于b. 因为 m∥， m∥，则 m∥， m∥b ，所以 a∥b. 因为 b， a ，则 a∥. 因为 = l ，所以 a ∥ l. 因为 m ∥a ，所以 l ∥m. 例4 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形， E 为 BC 的中点，点 F 在侧棱 PD 上，若 CF ∥平面 PAE ，确定点 F 的位置. 【解】设平面 ECF 与侧棱 PA 的交点为 M ，因为 CF ∥平面 PAE ，则 CF ∥ EM . 因为 BC ∥AD ，则 BC ∥平面 PAD ，从而 BC ∥ MF. 因为 E 为 BC 的中点，则 AD ，从而AD，所以 F 为 PD 的中点. P A B D M 所以四边形 CFME 为平行四边形，则 MF = EC. 16 小结 1. 直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”，其核心思想是把判定直线与平面平行转化为判定两直线平行. 2. 直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，它是判定两直线平行一个理论依据.凡遇到线面平行条件，一般先作辅助平面，再利用性质定理转化为线线平行. 3. 判定直线 l 与平面 平行，主要以判定定理为理论依据，推理时需阐明三个要点：① l，② m ，③ l ∥ m .其中③是主体，一般利用三线平行公理或平面几何性质进行逻辑分析. 17 作业 《课时作业》 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.2 直线与平面平行 $