6.3 三元一次方程组及其解法课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 6.3 三元一次方程组及其解法 第6章 一次方程组 华东师大版七年级下册 6.3 三元一次方程组及其解法 练习题 一、知识点回顾 1. 三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。 示例：$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$ 2. 核心解法：消元法（转化思想）—— 把三元一次方程组通过代入法或加减法，消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 3. 解题步骤： 1. 消元：从三个方程中选择两个，消去其中一个未知数（优先消去系数简单或系数互为相反数的未知数），得到一个二元一次方程； 2. 再消元：从剩下的方程和第一步得到的二元一次方程中，再消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程； 3. 解二元一次方程组：用代入法或加减法解得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值； 4. 求第三个未知数：把求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出第三个未知数的值； 5. 检验并作答：将三个未知数的值代入原方程组，检验是否都满足，再写出完整解。 注意：消元时要注意统一消去同一个未知数，避免混乱；检验时需代入原方程组的所有方程，确保解的正确性。 --- 二、选择题（每题 3 分） 1. 下列方程组中，属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\\z+w=5\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+2y=3\\y-z=4\\xz=5\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\\x+z=5\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=3\\\frac{1}{y}+z=4\\x+z=5\end{cases}$$ 2. 解三元一次方程组$$\begin{cases}x+y+z=10\\x-y+z=2\\2x+y-z=7\end{cases}$$，优先消去的未知数最简便的是（） A. x B. y C. z D. 任意一个都可以 3. 已知三元一次方程组$$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$，则x+y+z的值为（） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 三、填空题（每题 3 分） 1. 若$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$是三元一次方程ax+by+z=7的解，则a+2b的值为______。 2. 解三元一次方程组$$\begin{cases}x+y-z=1\\2x-y+z=2\\x+2y+z=3\end{cases}$$，第一步消去z，可将方程①+②，得到的二元一次方程是______。 3. 已知$$\begin{cases}x=2\\y=1\\z=-1\end{cases}$$是三元一次方程组$$\begin{cases}2x+ay-z=7\\bx-by+z=5\\cx+dy+z=1\end{cases}$$的解，则a+b+c+d的值为______。 四、用消元法解下列三元一次方程组（标准步骤） 1. $$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$ 2. $$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$ 3. $$\begin{cases}2x+3y+z=11\\x+y+z=6\\3x-y-z=2\end{cases}$$ 4. $$\begin{cases}x-2y+z=0\\3x+y-2z=0\\7x+6y+7z=100\end{cases}$$ --- 参考答案 选择题 1.C 2.B 3.A 填空题 4.4 5.3x=3（或x=1） 6.8 解答题 1. 解：$$\begin{cases}x+y+z=6 \quad (1)\\2x-y+z=3 \quad (2)\\x+2y-z=2 \quad (3)\end{cases}$$ ①+②，消去y：$$(x+y+z)+(2x-y+z)=6+3$$，化简得$$3x+2z=9 \quad (4)$$ ②×2+③，消去y：$$2(2x-y+z)+(x+2y-z)=3×2+2$$，化简得$$5x+z=8 \quad (5)$$ 联立(4)(5)，得二元一次方程组：$$\begin{cases}3x+2z=9\\5x+z=8\end{cases}$$ 由(5)得$$z=8-5x$$，代入(4)：$$3x+2(8-5x)=9$$，解得$$x=1$$ 把$$x=1$$代入$$z=8-5x$$，得$$z=3$$ 把$$x=1$$、$$z=3$$代入(1)：$$1+y+3=6$$，解得$$y=2$$ 检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}$$ 2. 解：$$\begin{cases}x+y=5 \quad (1)\\y+z=6 \quad (2)\\x+z=7 \quad (3)\end{cases}$$ ①+②+③，得$$2(x+y+z)=18$$，化简得$$x+y+z=9 \quad (4)$$ (4)-(1)，得$$z=4$$；(4)-(2)，得$$x=3$$；(4)-(3)，得$$y=2$$ 检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=3\\y=2\\z=4\end{cases}}$$ 3. 解：$$\begin{cases}2x+3y+z=11 \quad (1)\\x+y+z=6 \quad (2)\\3x-y-z=2 \quad (3)\end{cases}$$ ①-②，消去z：$$(2x+3y+z)-(x+y+z)=11-6$$，化简得$$x+2y=5 \quad (4)$$ ②+③，消去z：$$(x+y+z)+(3x-y-z)=6+2$$，化简得$$4x=8$$，解得$$x=2$$ 把$$x=2$$代入(4)：$$2+2y=5$$，解得$$y=\frac{3}{2}$$ 把$$x=2$$、$$y=\frac{3}{2}$$代入(2)：$$2+\frac{3}{2}+z=6$$，解得$$z=\frac{5}{2}$$ 检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\\z=\frac{5}{2}\end{cases}}$$ 4. 解：$$\begin{cases}x-2y+z=0 \quad (1)\\3x+y-2z=0 \quad (2)\\7x+6y+7z=100 \quad (3)\end{cases}$$ ①×2+②，消去z：$$2(x-2y+z)+(3x+y-2z)=0×2+0$$，化简得$$5x-3y=0 \quad (4)$$，即$$x=\frac{3}{5}y$$ ①×7-③，消去z：$$7(x-2y+z)-(7x+6y+7z)=0×7-100$$，化简得$$-20y=-100$$，解得$$y=5$$ 把$$y=5$$代入$$x=\frac{3}{5}y$$，得$$x=3$$ 把$$x=3$$、$$y=5$$代入(1)：$$3-10+z=0$$，解得$$z=7$$ 检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。 解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=3\\y=5\\z=7\end{cases}}$$ 1. 解二元一次方程组有哪几种方法？ 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化二元为一元 化归转化思想 代入消元法和加减消元法 消元法 思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？ 问题 1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？ x + y = 7， 3x + y = 17. x = 5， y = 2. 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 胜了 10 ÷ 2 = 5（场） 方法一 平了 18 － 5×3 = 3（场） 负了 10－5－3 = 2（场） 胜一场：3 分 平一场：1 分 负一场：0 分 方法二 设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场. 依题意，得 x + y +（x － y）= 10， 3x + y = 18. 解得 x = 5， y = 3. 所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场. 如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 新课探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 三元一次方程组：把三个共含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程合在一起，就组成了三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 将③代入①和②，得到 2y + 2z = 10， ④ 4y + 3z = 18. ⑤ 解得 y = 3， z = 2. 将 y = 3，z = 2 代入方程③，可以得到 x = 5. x = 5， y = 3， z = 2 . 所以这个三元一次方程组的解是 x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？ 方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得， z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入①和③，可以消去 z. 解这个二元一次方程组，得 x = 1， y = －3. 代入④，得 z = 7－3－6 =－2 . 所以原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 解 由方程②，得 z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入方程①和③，得 2x － 3y + 4(7－3x + 2y) = 3， x + 2y－3(7－3x + 2y) = 1. 整理，得 －2x + y = – 5， 5x－2y = 11. 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 例 2 解方程组： 3x + 4y－3z = 3， ① 2x －3y －2z = 2， ② 5x －3y + 4z = －22. ③ 1. 先消去哪个未知数？为什么？ 2. 选择哪种消元方法得到二元一次方程组？ 解 ③－②，得 x + 2z = －8. ①×3 + ②×4，得 x－z = 1. x + 2z = －8， x－z = 1. 得方程组 解得 x = －2 ， z = －3 . 把 x = －2，z = －3 代入方程②，得 y = 0 . 所以原方程组的解是 x = －2， y = 0， z = －3 . 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 1. 解方程组 则 x＝_____， y＝______，z＝_______. x＋y－z＝11， y＋z－x＝5， z＋x－y＝1. ① ② ③ 【解析】通过观察未知数的系数，可采取 ① +② 求出 y， ②+ ③ 求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可. 6 8 3 随堂练习 2. 若 x＋2y＋3z ＝ 10，4x＋3y＋2z ＝ 15，则 x＋y＋z 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z = 25，所以 x+y+z = 5. D 随堂练习 3. 在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值. 解：根据题意，得三元一次方程组： ②－①，得 a＋b =1， ④ ③－①，得 4a＋b = 10，⑤ ④ 与 ⑤ 组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把 代入①，得 a = 3， b = -2 c = -5， 因此 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③ a = 3， b = -2. a = 3， b = -2， c = -5. a＋b = 1， 4a＋b = 10. 随堂练习 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 18 2. 解方程组 最简消元方法是( ) B A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 中考考法 19 3. 已知，且当 时， ；当时，；当时， ，则 的值为____. 15 中考考法 20 【点拨】把,;,;, 分别代 入得 , ,整理得解得将, 的值代入①， 得.则,,的值分别为2, ,4,所以 . 中考考法 21 4. 已知，，满足 则 _______. 【点拨】 ，得，即 ， . ，得，即 ， ， . 中考考法 22 5. 用适当的方法解方程组： （1） 中考考法 23 【解】将①代入②，得 ，整理得 ，④ 将①代入③，得，整理得 ，⑤ ，得，⑥ ，得 . 把代入⑤，得，解得 . 把，代入①，得 . 原方程组的解为 中考考法 24 （2） ，得 ，④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 方程组的解为 中考考法 25 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化“三元”为“二元” 一共有三个方程 $