第4章三角形同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形单元核心知识，通过基础巩固、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形稳定性、三边关系、高的概念|结合生活情境（如桥塔三角形设计）| |中档|全等判定、等腰三角形计算、尺规作图|图形辨析与多解问题（如等腰三角形周长）| |提升|综合证明、实际测量应用|项目式探究（如测量水潭宽度方案）|

第四章三角形综合同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．同安银湖大桥全长约为 米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（    ） A．三角形的内角和是 B．外形美观 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 2．如图，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（    ） A．5，5，3 B．2，3，5 C．8，5，2 D．7，3，3 5．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（   ） A．2，4，6 B．3，4，7 C．2，6，7 D．3，3，7 6．如图，在中，边上的高线是（    ）    A．线段 B．线段 C．线段BC D．线段 7．图，已知图中的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 9．若三角形的两条边长分别为和，则第三边的值可能是(   ) A． B． C． D． 10．用尺规作图作的平分线，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　） A． B． C． D． 11．等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 12．苏老师在“数学综合实践”活动中组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有，，和四种规格，小明同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（    ） A． B． C． D． 13．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏，游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件点，，分别是点，，的对应点，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件      甲           乙           甲      上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（    ） A．若第轮甲添加，则甲获胜 B．若第轮甲添加，则甲必胜 C．若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜 D．若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最多轮必分胜负． 14．如图，，由“”判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．若等腰三角形的两边长分别为，则它的第三条边长为______． 17．如图，为了木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的______． 18．在建筑设计时，房屋的顶梁、大桥的钢架、索道的支架都采用了三角形结构，其中所运用的几何原理是______． 19．若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为______． 20．已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为_________． 21．已知，其中，则_______． 22．等腰三角形的一边长为5，一边长为2，则该等腰三角形的周长为 _______． 23．如图，，添加一个条件能证得，这个条件可以是______（写出一个即可）． 24．如图，，且点C在上，，则______ 25．如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 三、解答题 26．已知a，b，c是三角形的三边长，化简： . 27．已知三角形的三边为a，b，c； (1)若，，c为最长边且为整数，求三角形的周长； (2)化简：． 28．作三角形中边上的高． 29．如图，已知点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为E、F． (1)在直线l上求作一点C，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 30．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：_______方案二：_______． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 31．如图，某校学生为了测量学校一幢教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．用测角仪测得旗杆顶视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得到楼底的距离与旗杆高度相等，量得旗杆与观察点之间距离为，这样就可以计算出楼高，求教学楼的高度． 32．已知，如图和相交于点O，，．求证：． 33．如图，点B、C、E、F在同一直线上，于点B，，且，．    (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年5月10日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C D A B B B 题号 11 12 13 14 15 答案 C D A D B 1．C 【分析】本题考查了三角形具有稳定性的应用，三角形结构在工程中广泛应用的主要原因是其具有稳定性，能有效抵抗变形，确保结构稳固，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，即在受力时不易变形，能保持结构牢固； ∴大桥采用三角形设计可确保稳固安全， 故选：． 2．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 3．A 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：A、，符合三角形三边关系，故可构成三角形； B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 4．A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于逐一判断即可． 【详解】解：A、，能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，不能组成三角形． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】直接根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】解：由图可知： 在中，边上的高线是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键 7．A 【分析】本题考查三角形全等的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据全等三角形对应边的夹角为对应角解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， 且夹着的两边与夹着的两边都为，对应相等， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】分为等腰三角形的腰长和为等腰三角形的腰长两种情况，结合三角形的三边关系解答即可. 【详解】解：当为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长为、、，可以构成三角形，周长为10cm； 当为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长为、、，由于，故不能构成三角形； 故选：B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，属于基础题型，正确分类是解题的关键. 9．B 【分析】设第三边的长为，根据三角形三边关系可得，结合选项即可求解． 【详解】解：设第三边的长为，则， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用证明得到，据此可得答案． 【详解】解；由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故选：B． 11．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可，分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形是解决此题的关键． 【详解】是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∵， ∴不能组成三角形， 是腰长时，三角形的三边分别为， ∵， ∴能组成三角形， ∴周长, 综上所述，此三角形的周长是， 故选：C． 12．D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为， ∵已经取和两根木棍， ∴，即． ∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意． 故选：D． 13．A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：根据全等三角形的判定定理逐项分析判断如下： A、若第轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，说法错误，符合题意； B、若第轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，说法正确，不符合题意； C、若第轮乙添加条件修改为， 若第轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，说法正确，不符合题意； D、若第轮乙添加条件修改为，第轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多轮必分胜负，说法正确，不符合题意； 故选：A． 14．D 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，再有，就可以用判定． 【详解】解：已知，是公共边，具备了一边一角对应相等， A．添加后，由“”判定，不合题意； B．添加后，由“”判定，不合题意； C．添加后，不能判定，不合题意； D．添加后，由“”判定，符合题意； 故选D． 15．B 【分析】 本题考查作图基本作图，由作图可知：，，推出射线是的角平分线，由此对选项逐一判断，即可解答，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，熟练判断三角形全等． 【详解】 解：由作图可知：，， 在与中， ， ，故A，C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意， 无法得出，故B不正确，符合题意， 故选：B． 16． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为4、2、2， ∵，不能构成三角形，不符合题意； 若等腰三角形的两边长分别为4、4、2， 此时能构成三角形 故第三条边长为4 故答案为：4 17．三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 18．三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形具有稳定性这一基本性质，理解题意是解决本题的关键． 三角形结构具有稳定性，使其在工程设计中能够保持形状不变，从而增强结构的坚固性，据此判断即可． 【详解】解：在几何中，三角形是最基本的稳定图形， ∵其三边长度确定后，形状唯一，不会发生形变， ∴房屋顶梁、大桥钢架等采用三角形结构，是利用了三角形的稳定性来确保结构安全． 故答案为：三角形的稳定性． 19．16 【分析】第三边的长为x，根据三角形的三边关系，可得，再由第三边的长为奇数，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边的长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴，即第三边的长为7， ∴这个三角形的周长为． 故答案为：16 【点睛】本题主要查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 20．/ 【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形的性质可得，在中利用三角形三边关系可求得的范围，可求得的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，   为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ， ， ， 故答案为：． 21．3 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 22．12 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案，解题的关键是掌握等腰三角形的性质与三角形的三边关系，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 故答案为：12． 23． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法进行求解即可． 【详解】解：∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； ∵，，添加， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 24．/50度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 先根据角的和差证明．利用证明，可得，再求解即可． 【详解】解：． ． ． 在和中， ， ， ． 对顶角相等， ∴， ． 故答案为： 25． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．c 【分析】先根据三角形的三边关系确定，再化简绝对值，然后计算加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴ . 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键. 27．(1)17或16 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系得出的取值范围，进而解答即可； （2）根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可． 【详解】（1）解：，， ， 即， 为最长边且为整数， 或8， 三角形的周长或； （2）三角形的三边为，，， ，，， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，根据三角形三边关系定理列出不等式，求出的取值范围是解题的关键． 28．见解析 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高． 29．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）做线段的垂直平分线，交直线l于点C，点C即为所求． （2）先证明，进而证明，得到，，进一步可证明． 本题考查了作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；也考查了三角形全等的判定． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，点C即为所求． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 30．(1)②，③ (2)计算过程见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质解决实际问题，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合三角形全等的判定定理求解即可得到答案； （2）由（1）中方案一的求解过程，得到，再由全等三角形的性质即可得到水潭的宽度． 【详解】（1）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； 为的中点， ， ， ， 在和， ； 综上所述，方案一：②； 在和， ； 则方案二：③； 故答案为：②，③； （2）解：方案一： 为的中点， ， ， ， 在和， ； ． 31． 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 32．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据可证明，则由全等三角形对应角相等可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 33．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再由，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，即， ∴，即． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $