4.3 探素三角形全等的条件(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册（北师大版） 13,CD-60所以cDg(cm)。15.解：有2条角 平分线，其中AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE 的角平分线：有2条中线，其中BE是△ABC的中线 DE是△ADC的中线：有1条高线，EG分别是△BDE △BEG,△BEC,△DEC,△DEG,△CEG的高线。 16.解：(1)在△ABC中，因为∠A+∠ABC+∠ACB= 180°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A。在△BCP中， 因为∠P+∠PBC+∠PCB=180°，所以∠P=180°- (∠PBC+∠PCB)。又因为PB,PC分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，所以∠PBC=?∠ABC,∠PCB= 分∠ACB。所以∠P=I80P-(3LABC+∠ACB 180-7(∠ABC+∠ACB)=180-7(180°-∠A)。所以 LP-90+号∠A。(2)不成立。结论为LP=号∠A。 (3)∠P=90-1∠A。17.100°18.C19.B 2 2全等三角形 1.35°2.105°3.64.120°5.A6.B7.D 8.C9.解：因为△ABC≌△DEF,所以∠ACB= ∠DFE。所以BC∥EF。1O.解：因为△ABD≌△ACE 所以AD=AE,AB=AC。所以AD-AC=AE-AB,即CD=BE。 11.解：(1)因为△ABC≌△DEB,BC=3,所以BE= BC=3。所以AE=AB-BE=6-3=3。(2)因为△ABC≌ △DEB,所以∠ABC=∠DEB。因为∠A=25°，∠C=55°， 所以∠DEB=∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-25°-55°= 100°。所以∠AED=180°-∠DEB=180°-100°=80°。12. 解：(1)AC⊥AB。理由：因为CE⊥DE,所以 ∠CED=90°。所以∠AEC+∠BED=90°。因为△ACE≌ △BED,所以∠ACE=∠BED。所以∠ACE+∠AEC=90° 所以∠A=180°-（∠ACE+∠AEC)=180°-90°=90°。所以 AC⊥AB。(2)AB=AC+BD。理由：因为△ACE≌ △BED,所以AC=BE,AE=BD。所以AB=BE+AE=AC+ BD。13.解：(1)因为∠B=50°，∠BAE=70°，∠B+ ∠BAE+∠AEB=180°，所以∠AEB=60°。因为∠AEF= 60°，∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，所以∠FEC=60°。因 为∠C=50°，∠FEC+∠C+∠EFC=180°，所以∠EFC= 70°。(2)因为△ABE≌△AFE,∠BAF=100°，所以 ∠BAE=∠EAF=7∠BMF=-50°。因为∠B+∠BAE+ ∠AEB=180°，所以∠AEB=180°-50°-50°=80°。(3)当 △ABE≌△ECF时，EC=AB=2.5。因为BC=6,BE=BC- EC6-2.5=3.5。当△ABE≌△FCE时，BE=CE。因为 BC=6=BE+CE,所以BE=CE=BC=3。综上所述，BE 的长为3或3.5.14.100°15.C 3探索三角形全等的条件（第1课时）】 1.①与③，②与④ 2.三角形具有稳定性 3.B4.解：如图所示。 6 m 5解：在△ABC和△ADE B a D a 中，AB=AD,AC=AE, BC=DE,所以△ABC≌ 第4题答图 △ADE(SSS)。所以∠C=∠AED。又因为∠EAC=180° -∠AEC-∠C,∠DEB=180°-∠AEC-∠AED,所以 ∠EAC=∠DEB。6.解：(1)因为AF=DC,所以 AF-CF-DC-CF,即AC=DF。又因为AB=DE,BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SSS)。所以∠A=∠D。所以 AB∥DE。(2)成立，理由略。7.解：(1)因为 1 AD=BE,所以AD+BD=BE+BD,即AB=DE。在△ABC 和△DEF中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以 △ABC≌△DEF(SSS)。(2)因为∠A=55°，∠E= 45°，△ABC≌△DEF,所以∠A=∠FDE=55°，所以 ∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45）=80°。 3探索三角形全等的条件（第2课时） 1.∠B=∠D∠C= ∠E2.△EDB ASA或 AAS3.C4.如图所示。 5.解：因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF。因为 2a AC∥DF,所以∠ACB=A a B ∠F。又因为AB=DE,所 以△ABC≌△DEF(AAS)。 第4题答图 所以BC=EF,即BE+EC=FC+EC。所以BE=CF。6. 解：(I)因为CF∥AB,所以∠ADF=∠F,∠A= ∠ECF。在△ADE和△CFE中，因为∠A=∠ECF, ∠ADE=∠F,DE=FE,，所以△ADE≌△CFE(AAS)。 (2)因为△ADE≌△CFE,所以AD=CF=4。所以 BD=AB-AD=5-4=1.7.解：因为∠BAC=∠EAD 所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC。所以∠BAE= ∠CAD。在△ABE和△ACD中，因为∠ABD=∠ACD AB=AC,∠BAE=∠CAD,所以△ABE≌△ACD (ASA)。所以BE=CD。因为BD=8,DC=5,所以ED= BD-BE=BD-CD=8-5=3.8.解：(1)因为∠BAE+ ∠AEB+∠ABE=180°，∠BED+∠AEB=180°，所以 ∠BED=∠BAE+∠ABE。因为∠BAC=∠BAE+∠CAF」 ∠BED=∠BAC,所以∠ABE=∠CAF。同理，得 ∠BAE=∠ACF。在△ABE和△CAF中，因为∠ABE= ∠CAF,AB=AC,∠BAE=∠ACF,..△ABE≌△CAF (ASA)。(2)EF+CF=BE。理由：因为△ABE≌ △CAF,所以AE=CF,BE=AF。因为AE+EF=AF,所 以CF+EF=BE。9.解：(1)成立。理由：因为 BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠AEC=90°。所以 ∠BAD+∠ABD=90°。又因为∠BAC=90°，所以∠BAD+ ∠CAE=90°，所以∠ABD=∠CAE。又因为AB=AC,所 以△ABD≌△CAE(AAS)。 (2)BD=DE+CE。由 (1)知△ABD≌△CAE,所以AD=CE,BD=AE。因为 AE=AD+DE,所以BD=DE+CE。 (3)BD=DE-CE。 (4)BD=DE-CE。10.解：在△AOC和△BOD 中，因为∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,AC=BD,所以 △AOC≌△BOD(AAS)。11.解：(1)在△ABC 和△BAD中，因为∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB, AB=BA,所以△ABC≌△BAD(AAS)。(2)因为 ∠DAB=70°，∠D=90°，所以∠DBA=90°-70°=20°。由 (1)知△ABC≌△BAD,.∠CAB=∠DBA=20°。 3探索三角形全等的条件（第3课时） 1.SAS2.EA=BC3.B4.解：因为BD=CE, ∠CBD=∠ECB,BC=CB,所以△BCE≌△CBD(SAS)。 所以∠ACB=∠ABC。5.解：因为∠ABD=∠CBE, 所以∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE,即∠ABE= ∠DBC。又因为AB=DB,BE=BC,所以△ABE≌ △DBC(SAS)。6.如图所示。 第6题答图 80 7.解：(1)全等。理由：因为点C是线段AB的 中点，所以AC=BC。又因为CD平分∠ACE,CE平分 ∠BCD,所以∠1=∠2，∠2=∠3。所以∠1=∠3。在 △ACD和△BCE中，因为CD=CE,∠1=∠3，AC=BC 所以△ACD≌△BCE(SAS)。(2)因为∠1+∠2+ ∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°。由(1)知 △ACD≌△BCE,所以∠D=∠E=50°。所以∠B=180° ∠E-∠3=70°。8.解：在△DAB和△CBA中，因为 AD=BC,∠DAB=∠CBA,，AB=BA,所以△DAB≌ △CBA(SAS)。所以AC=BD。9.解：因为点D是 BC的延长线上一点，DE∥AB，,所以∠D=∠ABC。在 △BDE和△ABC中，BD=AB,∠D=∠ABC,DE=BC 所以△BDE≌△ABC(SAS)。所以BE=AC。 3探索三角形全等的条件（第4课时） 1.答案不唯一，如AD=AE或∠B=∠C或∠AEB= ∠ADC。2.C3.解：(1)在△CDA和△DCB中 因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,所以△CDA≌△DCB (SSS)。所以∠ADC=∠BCD。(2)因为△CDA≌ △DCB,所以∠DAC=∠CBD。因为∠AED=∠BEC AD=BC,所以△AED≌△BEC(AAS)。所以DE=CE 4.解：(1)因为CF∥AB,所以∠A=∠ACF, ∠ADF=∠F。因为E为AC的中点，所以AE=CE。在 △AED和△CEF中，∠A=∠ACF,∠ADE=∠F,AE= CE,所以△AED≌△CEF(SAS)。所以EF=ED。(2) 因为CF∥AB,所以∠ABC+∠BCF=180°。因为BE平分 ∠ABC,AC平分∠BCF,所以∠ACB=∠ACF,∠ABE= ∠CBE。所以LCBE+LACB=号（LABC+LBCF) =90°。由(1)知∠A=∠ACF,又因为∠A=65° 所以∠ACF=∠ACB=65°。所以∠CBE=90°-∠ACB= 25°。所以∠ABC=2∠CBE=50°。 5.解：AB+AC>2AD。如图， 延长AD到点E,使DE=AD,连 接BE,则∠ADC=∠EDB。又因 为AD是中线，所以BD=CD 所以△ADC≌△EDB(SAS)。 所以AC=BE。因为AB+BE>AE， 所以AB+AC>2AD。6.解： (1)因为AC,BD相交于点E, E ∠ACB=∠ADB,点F在ED上， 所以∠ACB=∠ADF。因为 第5题答图 ∠BAF=∠EAD,所以∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF。 所以∠BAC=∠FAD。在△ABC和△AFD中，∠BAC= ∠FAD,AC=AD,∠ACB=∠ADF,所以△ABC≌ △AFD(ASA)。(2)由(1)得△ABC≌△AFD,所 以AB=AF。又因为BE=FE,AE=AE,所以△ABE≌ △AFE(SSS)。所以∠AEB=∠AEF=号×180=-90°。所 以AC⊥BD。7.解：(1)因为CD∥BE,所以 ∠DCA=∠B。因为点C是线段AB的中点，所以AC= CB=号AB。在△DAC和△ECB中，∠A=LECB,AC CB,∠DCA=∠B,所以△DAC≌△ECB(ASA)。 （2)因为AB=16,所以AC=CB=7AB=8。因为 CD∥BE,所以∠DCE=∠BEC。由(I)可知， △DAC≌△ECB,所以CD=BE。在△DCE和△BEC 中，CD=BE,∠DCE=∠BEC,CE=EC,所以△DCE≌ △BEC(SAS)。.∴DE=BC=8。 4利用三角形全等测距离 1.C2.B3.解：因为∠ACD=∠ACB,AC= 1 参考答案与提示 AC,∠BAC=∠CAD=90°，所以△ABC≌△ADC (ASA)。所以AB=AD。4.解：如图，因为CE⊥ MN,BF⊥MN,CA⊥AM,NM⊥AM,所以∠CEF= ∠BFE=∠CAM=∠AME=90°。所以CE∥AM。所以 ∠2=∠CMA。因为∠1=∠2，所以∠1=∠CMA。因为 BF=AM,∠BFE=∠CAM,所以△BFN≌△MAC (ASA)。所以NF=AC=AB+BC=49(m)。所以MN= NF+MF=NF+AB=49+31=80(m)。答：商业大厦MW 的高度为80m。5.解：(1)因为PA=PD,PB= PC,∠APB=∠DPC,所以△APB≌△DPC(SAS)。 所以CD=BA。又因为CD=35m,所以AB=35m。 (2)可行。理由：因为BD⊥AB,ED⊥BF,所以 ∠ABD=∠BDE=90°。又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD, 所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。目的是 使∠ABD=∠BDE。若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方 案仍然成立。因为∠ABD=∠BDE,BC=CD,∠ACB= ∠ECD,所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。 6.解：如图，连接ME,MF,因为AB∥CD,所 以∠B=∠C。又因为BE=CF,BM=CM,所以 △BEM≌△CFM(SAS)。所以∠BME=∠CMF。又因 为点M在BC上，所以∠BME+∠CME=180°。所以 ∠CMF+∠CME=180°，即∠EMF=180°。所以E,F, M三点在同一条直线上。7.B8.D C 第4题答图 第6题答图 ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)①609②1216③2021④5625 ⑤7224(2)如果两个因数的十位上的数字相同， 个位上数字的和为10，那么这两数的积的前两位是十 位上的数与该数加1的积，后两位是这两数个位上的 数的积，若积的数位不足两位，则用零补齐。(3) ①9024②答案不唯一，如31×39(4)10a+b, 10a+(10-b)理由：(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a- 10ab+10ab+10b-b2=100a(a+1)+b(10-b)。2.解： (1)因为a=60°，所以∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED= 90°-号&=60°。因为LABC+LACB+LBMC=180°， ∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，所以∠BAC=180°-60°- 60°=60°，∠DAE=180°-60°-60°=60°。所以∠BAC= ∠DAE。所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以 ∠BAD=∠CAE。又因为AB=AC,AD=AE,所以 △BAD≌△CAE(SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角 形内角和定理，得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所 以∠BPC=∠BAC=60°=&。(2)因为a=90°，所以 ∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=90°-a=45°。因为 ∠ABC+∠ACB+∠BAC=18O°，∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，所以∠BAC=180°-45°-45°=90°，∠DAE=180°-口数学 七年级下册（北师大版） 探索三角形全等的条件（第3课时） 自主导学Q、典例精析 例题如图，点A,E,B,D在同一条直线上，AE=DB,AC=DF,且AC∥DF。请探 究BC与EF有怎样的位置关系，并说明理由。 【分析】观察图形的特征发现BC∥EF。根据直线平行的判定条件， 只需得到∠ABC=∠DEF,而只要得到△CAB≌△FDE即可推出这对角 相等。 【解答】BC∥EF。理由：因为AE=DB,所以AE+EB=DB+BE,即 例题图 AB=DE。又因为AC∥DF,所以∠A=∠D。在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,∠A=∠D, AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS)。 所以∠ABC=∠DEF。所以BC∥EF。 【点拨】运用“SAS”的判定条件时，要注意对应相等的角一定是这两组对应边的夹角。 基础巩固)达标闯关 1.如图，已知AB=CD,∠ABD=∠BDC,则判定△ABD≌△CDB的依据是 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，A,B,C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD,请添加一个适当的条 件： 使得能用“SAS”条件判断△EAB≌△BCD。 3.如图，已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌ △CBE的是() A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DE D.AD∥BC 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD=CE,∠CBD=∠ECB,试说 明：∠ACB=∠ABC。 第4题图 88 三角形第四章 5.如图，已知AB=DB,BC=BE,∠ABD=∠CBE,试说明：△ABE≌△DBC。 B 第5题图 能力提升坤综合拓展 6.如图，已知线段a,∠，用尺规作△ABC,使AB=2a,AC=a,∠BAC=2∠a。 a a 第6题图 7.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE。 (1)△ACD和△BCE全等吗？请说明理由。 (2)若∠D=50°，求∠B的度数。 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2025·新疆)如图，AD=BC,∠DAB=∠CBA,请说明：AC=BD。 第8题图 9.(2025·陕西)如图，点D是△ABC的边BC的延长线上一点，BD=AB,DE∥AB, DE=BC。请说明：BE=AC。 D 第9题图 8的