5.3 分式方程 分式方程的应用 课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

5.3 分式方程 分式方程的应用 预习检测 1. 一组学生去春游，预计共需用120元，后来又有2 人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，设 原来这组学生人数为x，则可列方程为(　C　) C 2. 某生态示范园计划种植一批普通苹果，原计划总 产量达36万千克，为了满足市场需求，后决定改种 “三优苹果”.“三优苹果”平均每亩的产量是普通 苹果的1.5倍，总产量比普通苹果增加9万千克，种 植亩数比普通苹果减少20亩，则普通苹果平均每亩 的产量为(　A　) A. 0.3万千克 B. 0.35万千克 C. 0.4万千克 D. 0.45万千克 A 3. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60 km 所需时间与逆水航行48 km所需时间相同，已知水 流速度是2 km/h，则轮船在静水中航行的速度 为 ⁠. 4. 某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条 从市中心到飞机场的轻轨铁路，实际施工时，每月 的工效比原计划提高了20％，结果提前5个月完成这 一工程，原计划完成这一工程的时间是 个月. 18 km/h　 30　 新知探究 (1) 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ ① 高速列车所用的时间 + 2 h = 快速列车所用的时间， ② 高速列车的平均行驶速度 = 快速列车的平均速度×3， ③ 高速列车所用的时间 = 174 高速列车的平均行驶速度 ④ 快速列车所用的时间 = 174 快速列车的平均行驶速度 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 (2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ 时间/h 平均速度/(km/h) 路程/km 高铁列车 特快列车 关系式 列表分析如下： 3x x 174 174 高速列车用时 + 2 h = 快速列车用时 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 (3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 时间/h 平均速度/(km/h) 路程/km 高铁列车 特快列车 关系式 列表分析如下： y y + 2 174 174 高速列车平均速度 = 3×快速列车平均速度 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 【尝试·思考】 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为 4800 元，八年级同学捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多 20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为 x 人， 那么 x 满足怎样的方程 ? 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 分母中都含有未知数. 【观察·交流】 由上面的问题，你得到了哪些方程 ? 观察这些方程，它们有什么共同特点 ? 与同伴进行交流。 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 分式方程的概念 分式方程的特征 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数. 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？ 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程. 注意： π 是确定的常数，不是未知数. 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 例2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少? 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？ 步骤一样 探究点：分式方程的概念及列分式方程 新知探究 问题 某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元，所有房屋出租的租金第一年为 9.6 万元，第二年为 10.2 万元. (1) 你能找出这一情境中的等量关系吗? 第一年出租的房屋间数 = 第二年每间房屋的租金 = 第二年出租的房屋间数 第一年每间房屋的租金 + 500 出租房屋间数 = 所有出租房屋租金 ÷ 每间房屋租金 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 (2) 根据这一情境你能提出哪些问题 ? 可以提出的问题如下: ① 该单位出租了多少间房屋? ② 第一年每间房屋的租金是多少元? ③ 第二年每间房屋的租金是多少元? 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 则第二年每间房屋的租金为 (x + 500) 元，根据题意，得 (3) 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：设第一年每间房屋的租金为 x 元， 解得 x = 8000. 答：第一年每间房屋的租金为 8000元，第二年每间房屋的租金为 8500元. 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 审 设 列 解 验 答 设：_______ 未知数 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________ 分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是不是分式方程的解 是否符合题意 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 【练一练】1. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格. 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年 7 月的用水量－去年 12 月的用水量 = 5m3. 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根. 答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3. 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 例1 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工 10 个这种工艺品，师傅加工 300 个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120 个这种工艺品所用时间的 2 倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析 : 问题中有怎样的等量关系? 如何分别用代数式表示师傅加工 300 个这种工艺品、徒弟加工 120 个这种工艺品所用的时间 ? 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 解: 设徒弟每天加工这种工艺品个，则师傅每天加工这种工艺品 (x + 10) 个，根据题意，得 解这个方程，得 x = 40. 经检验，x = 40 是所列方程的根.40 + 10 = 50. 所以，师傅每天加工这种工艺品 50 个，徒弟每天加工这种工艺品 40 个. 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ ＝“1” ＋ 两队合作完成的工作量 甲队单独完成的工作量 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 设乙单独完成这项工程需要 x 月. 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 工作时间(月) 工作效率之和 工作总量 甲单独 两队合作 1 探究点：列方程解决实际问题 新知探究 解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的 ， 可知乙队的施工速度快. 探究点：列方程解决实际问题 课堂小结 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、利润问题等 步骤 一审二设三列四解五验六答 当堂反馈 书写通关 解：设自行车速度为x km/h. 根据题意得 . 解得x＝ ⁠. 经检验， 是原方程的根，且符合题意. 则3x＝ . 答：自行车的速度是 ，汽车的速度是 . 14　 x＝14　 42　 14 km/h　 42 km/h　 易错通关：注意时间单位的统一和验根 当堂反馈 某工程队修建一条长 1200 m的道路，采用新的施 工方式，工效提升了50％，结果提前 4 天完成任务. 求这个工程队原计划每天修建道路多少米. 解：设原计划每天修建道路x m， 解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意. 答：原计划每天修建道路 100 m. $