第五章 图形的轴对称 检测试卷2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章《图形的轴对称》检测试卷2025-2026学年北师版数学七年级下册（解析版） 全卷共24小题，时间100分钟，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线l 对称， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论，①当该角为顶角时；②当该角为底角时；分别求解即可． 【详解】解：等腰三角形的一个角为，则该角可能为顶角或底角， 分两种情况讨论： ①当该角为顶角时， 则该等腰三角形的顶角为； ②当该角为底角时， 则该等腰三角形的顶角为：； 综上，该等腰三角形的顶角为或， 故选：． 4．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的作法可知CO=DO，EO=EO，EC=ED，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可证． 【详解】解：由作法知CO=DO，EO=EO，EC=ED， ∴ （SSS）， 故选：A． 5． 如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°， 则∠2的度数是（    ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【详解】【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】∵l1∥l2， ∴∠1+∠CAB=∠2， ∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC， ∴∠CAB=45°， ∴∠2=20°+45°=65°， 故选C． 6． 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 7． 如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使； 分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． 若，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 8. 某市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学， 要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 9．如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点， 点P是l上的动点，则最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 10． 如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3， 则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∵， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=_______度． 【答案】75 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求解． 【详解】∵OA=OB，∠AOB=30°， ∴∠A==75°， 故答案为：75 12．如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，， 则图中阴影部分的面积是________． 【答案】9 【分析】根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：∵关于直线对称， ∴、关于直线对称， ∴和关于直线对称，，， ∴， ∵的面积是：， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：9． 13． 如如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______°． 【答案】54 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出相关角的度数，根据翻折的性质得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条对边平行可得， 根据翻折的性质可得， 故答案为：54． 14． 如图，在中，是的垂直平分线，．若的周长为25， 则的周长为__________． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，进而可推出“的周长的周长”，由此即可得出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长 的周长 ， 故答案为：． 15． 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动， 点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时， 则这时等腰三角形的腰长是_____________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 16． 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE， AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明ACP与BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据DEQ的角度关系DE≠DP． 【详解】解：∵等边ABC和等边CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB， 即∠ACD＝∠BCE， 在ACD与BCE中， ， ∴ACD≌BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①小题正确； ∵ACD≌BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在ACP与BCQ中， ， ∴ACP≌BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC， ∴PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE，故②小题正确； ∵AD＝BE，AP＝BQ， ∴AD﹣AP＝BE﹣BQ， 即DP＝QE， ∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误． 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8题，第17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分，满分72分） 17．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1) 格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2) 画出格点关于直线对称的； (3) 在上找一点P使得周长最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，对称轴图形及其性质求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据对称轴图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵的周长为，的值是定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接交于点， ∴根据两点直线，线段最短得到，此时的值最小时， ∴点P即为所求． 18． 两个城镇A，B与两条公路，的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔， 要求发射塔到A，B两个城镇的距离必须相等，到，两条公路的距离也必须相等， 那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计、角平分线．线段的垂直平分线等知识，作，夹角的平分线，线段AB的垂直平分线即可，交点即为所求． 【详解】解：点的位置如答图所示． 19．已知：如图，中，于D．求证：． 【答案】详见解析. 【分析】过A作AE⊥BC于E，得到∠AEB=90°，由三角形的内角和得到∠BAE+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，等量代换∠DCB=∠BAE，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】过A作AE⊥BC于E， ∴∠AEB=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∴∠DCB=∠BAE， ∵AB=AC， ∴∠BAE=∠BAC， ∴∠BAC=2∠DCB． 20．如图，，，的垂直平分线交于点． (1) 求的度数； (2) 若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 21．如图①，已知在中，，D是边上任意一点， 过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1) 当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2) 如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)当点D在的中点时，，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【详解】（1）解：当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． (1) 如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上， 沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2) 如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60， 求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 23. （1）在中，，和分别垂直平分和，垂足分别为E，F， 则的度数为__________； （2）在（1）中，若无的条件，你能求出的度数吗？请说明理由； （3）在（2）的情况下，若的周长为多少？    【答案】（1）20；（2）能，20°，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键． （1）由垂直平分线的性质可得、，同理可得：，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，即，然后根据计算即可； （2）由垂直平分线的性质可得、，同理可得：，再根据三角形内角和定理可得，即，然后根据计算即可； （3）由（2）知，然后根据三角形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）解：能，．理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）知， ∴， ∴的周长为． 24．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P， 使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点， 则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点， 点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点， 求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【答案】（1）2；（2）4；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，理解并掌握轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，两点直线线段最短的计算方法是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，轴对称的性质得到的最小值为的值，且，由此即可求解； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接，此时的值最小，，由M，O为的中点，得到，，可证明，得到，由此即可求解； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， 可证，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，是高， ∴作点B关于的对称点，恰好与点C重合，的最小值为的值， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接， ∴，此时的值最小，， ∵M，O为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《图形的轴对称》检测试卷2025-2026学年北师版数学七年级下册 全卷共24小题，时间100分钟，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2． 如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（    ） A． B． C． D． 3． 若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（    ） A． B．或 C． D． 4． 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（    ） A． B． C． D． 5． 如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°， 则∠2的度数是（    ） A．45° B．55° C．65° D．75° 6． 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7． 如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使； 分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G． 若，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．无法确定 B． C．1 D．2 8. 某市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学， 要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（    ） A． B． C． D． 9． 如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点， 点P是l上的动点，则最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10． 如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3， 则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=_______度． 12．如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，， 则图中阴影部分的面积是________． 13． 如如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______°． 14． 如图，在中，是的垂直平分线，．若的周长为25， 则的周长为__________． 15． 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动， 点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时， 则这时等腰三角形的腰长是_____________． 16． 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE， AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题（本大题共8题，第17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分，满分72分） 17．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题:（用直尺画图，保留痕迹） (1) 格点（顶点均在格点上）的面积为_____________； (2) 画出格点关于直线对称的； (3) 在上找一点P使得周长最小． 18． 两个城镇A，B与两条公路，的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔， 要求发射塔到A，B两个城镇的距离必须相等，到，两条公路的距离也必须相等， 那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 19．已知：如图，中，于D．求证：． 20．如图，，，的垂直平分线交于点． (1) 求的度数； (2) 若，，求的周长． 21．如图①，已知在中，，D是边上任意一点， 过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1) 当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2) 如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． (1) 如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上， 沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2) 如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60， 求的长． 23. （1）在中，，和分别垂直平分和，垂足分别为E，F， 则的度数为__________； （2）在（1）中，若无的条件，你能求出的度数吗？请说明理由； （3）在（2）的情况下，若的周长为多少？    24．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P， 使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点， 则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点， 点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点， 求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $