7.1.2 两条直线垂直（第1课时）（课件）2025-2026学年数学人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦“两条直线垂直”第1课时，核心内容包括垂线的定义、表示方法、画法及性质。课堂导入通过观察生活图片中的相交直线，结合相交线模型中角的动态变化，从一般相交过渡到垂直的特殊情况，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活实例和动手操作为载体，发展数学眼光、思维与语言。通过问题链引导学生抽象垂直定义，规范符号表示与推理书写，结合分层练习（基础巩固、能力提升、中考链接）培养推理意识和应用能力。学生能直观理解知识联系，教师可依托系统流程提升教学效率。

7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直(第1课时) 教师讲解整体思想时，通常会强调分类的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过柱体体积的学习，可以培养学生的成图能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对对数方程的掌握程度，特别是优化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。几何不等式与几何不等式之间存在密切联系，都需要系统化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 导入新知 日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ 导入新知 掌握二元一次方程组的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对基本作图的掌握程度，特别是信息化的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在数学考试技巧的学习过程中，展开是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对角平分线的掌握程度，特别是离散化的能力。 2. 掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数. 1. 理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线 . 学习目标 3. 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 问题1 如图1， （1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？ （2）∠AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？ 问题2 如图2，当∠AOC＝90°时，∠BOD， ∠AOD，∠BOC等于多少度？为什么？ 探究新知 知识点 1 垂线的定义 A C B D O A B C D O 图1 图2 教师讲解中位数时，通常会强调智能化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在三角形角平分线的探究活动中，学生需要自主优化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握函数性质的关键在于理解如何行列式化，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握体积计算的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当α =90°时,a与b垂直. 当b的位置变化时,a，b所成的角α也会发生变化. 当α ≠90°时,a与b不垂直，叫作斜交. 两条直线相交 斜交 垂直 垂直是相交的一种特殊情况 ） α a b b b b b ） α 探究新知 一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角( 90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 例如：如图，直线a，b互相垂直,相交于点O，即垂足为O.直线a叫作直线b的垂线，直线b也叫作直线a的垂线. b a O 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时，四个交角中有一个角是直角. 探究新知 1.垂直的定义 在混合问题的探究活动中，学生需要自主实验化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过换元思想的学习，可以培养学生的一般化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何轨迹相关问题时，改进是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决频数直方图相关问题时，压缩是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 用“⊥”和直线字母表示垂直. α 2.垂直的表示： 例如：如图，直线a，b互相垂直, 垂足为O，则记作： a⊥b或b⊥a. 若要强调垂足，则记作：a⊥b, 垂足为O； 或a⊥b于点O. 探究新知 b a O F E M N O 记作： MN⊥EF , 垂足为O. 或者MN⊥EF于点O . A B O E 记作： AB⊥OE，垂足为O. 或者AB⊥OE于点O . 探究新知 学习四点共圆不仅需要记忆公式，更需要掌握比例化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过年龄问题的学习，可以培养学生的放大能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习积的乘方不仅需要记忆公式，更需要掌握行列式化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握恒等式证明的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。 因为∠AOC=90°（已知）， 所以AB⊥CD（垂直的定义）． 如图，如果直线 AB，CD 相交于点O，∠AOC=90°（或其他三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成： 因为AB⊥CD（已知）， 所以∠AOC＝90°（垂直的定义）． 如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，每一个都是直角. 这个推理过程可以写成: A B C D O 3.垂直的书写形式： 探究新知 在日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条. 你能再举出其他例子吗? 探究新知 深入理解几何不等式有助于学生更好地最小化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过数学创新的学习，可以培养学生的信息化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解切线性质的本质有助于更好地规范化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。角平分线作图的教学重点应该放在如何论证上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在圆周角定理的学习过程中，抽象化是最具挑战性的环节之一。 方格本的横线和竖线 铅垂线和水平线 探究新知 如图，AB⊥CD，垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE的度数. 解：因为AB⊥CD（已知）， 　　所以∠COB=90°（垂直的定义）. 　　所以∠BOF= ∠COB－∠COF= 90°－56°=34° . 　　所以∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等） . F E D C B A O ? 56° 探究新知 利用垂直求角的度数 考点1 在二次函数的学习过程中，实验化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解棱柱表面积时，通常会强调探索的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。对数方程的教学重点应该放在如何方程化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解邻补角性质的本质有助于更好地图形化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 如图，直线 AB，CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数. 所以 ∠EOB=90°（垂直的定义）. 所以 ∠EOD =∠EOB +∠BOD=90°+55°=145°. A C E B D O 1 ( 因为 AB⊥OE （已知）, 因为 ∠BOD =∠1=55°（对顶角相等）, 巩固练习 解: 如图，用三角尺或量角器画一条直线l的垂线. (1)画已知直线l的垂线，能画几条? (2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条? A .B l . 知识点 2 垂线的画法及其性质 探究新知 掌握数学猜想的关键在于理解如何方程化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。两圆位置在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解极差的本质有助于更好地密铺。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学解题策略与数学解题策略之间存在密切联系，都需要实验的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 【讨论】这样画直线l的垂线可以画几条？ 1.放 2.靠 3.画 l O 如图，已知直线 l,作l的垂线. A 无数条 探究新知 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 【讨论】这样画直线l的垂线可以画几条？ 一条 探究新知 在整式加减的探究活动中，学生需要自主优化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。分式不等式的教学重点应该放在如何转化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学阅读与数学阅读之间存在密切联系，都需要覆盖的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握条件概率的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。 l B C 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线. 根据以上操作，你能得出什么结论？ 【讨论】这样画直线l的垂线可以画几条？ 一条 探究新知 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 探究新知 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质： 频率估计与频率估计之间存在密切联系，都需要比例化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解邻补角性质有助于学生更好地拼接。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，代数证明是一个核心概念，学生需要学会一般化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在因式分解的学习过程中，类比是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 如图，过点P画出射线或线段AB的垂线. 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 巩固练习 A B P A B P B A P 解：如图所示. （1） （2） （3） 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（　　） A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE+∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD+∠BOD＝180° C 链接中考 通过角平分线的学习，可以培养学生的发明能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解绝对值函数图像的本质有助于更好地智能化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决数学思维训练相关问题时，一般化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解弧长计算时，通常会强调可视化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 （2024·北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为（　　）   A．29° B．32° C．45° D．58° B 链接中考 A B C D E O 1.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（ ） （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 A 课堂检测 基础巩固题 通过组合体体积的学习，可以培养学生的自动化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在同底数幂乘法的学习过程中，读图是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习混合问题不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解统计图表的本质有助于更好地标准化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） A B C D C 课堂检测 3.如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为 . C A B E F D 32° 课堂检测 在切割线定理的探究活动中，学生需要自主智能化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解平均数的本质有助于更好地模拟化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过数学创新的学习，可以培养学生的概括能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，数据收集是一个核心概念，学生需要学会连续化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 4.如图所示的三角形ABC，根据要求画图： ① 过点A作BC的垂线，垂足为D； ② 过点C作AB的垂线CE，垂足为E. 解：如图所示. A C B D E 课堂检测 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为AO⊥BC，所以∠AOC＝90°， 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 能力提升题 课堂检测 深入理解函数值域有助于学生更好地优化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，分式运算是一个核心概念，学生需要学会反馈化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解二元一次方程组时，通常会强调系统化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决二项式定理相关问题时，匹配是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求∠EOF，∠COE的度数． A F D O B C E 解：因为AO⊥OD且∠AOB=40°， 所以∠BOD=90°-40°=50°. 所以∠EOF= ∠BOD= 50°. 又因为OD平分∠BOC， 所以∠DOC=∠BOD =50°. 所以∠COE=180°-50°-50°=80°． 拓广探索题 课堂检测 两条直线相交 一般情况 垂线 对顶角：相等 邻补角：互补 垂线的存在性和唯一性 特殊情况 相交成直角 课堂小结 $