精品解析：黑龙江鸡西市树梁中学等校2025-2026学年度第二学期期中质量监测初三年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量监测初三数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 4. 我们知道“任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示”．如图，在矩形中，在数轴上．李老师以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 如图，在矩形中，添加一个条件：______，可使四边形是正方形． 13. 对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______． 14. 在学习多边形时，小明用硬纸板做了一个正六边形的模型，如图，把它立在水平桌面上，让它的一条边和桌面完全贴合，一束太阳光线平行照射在放置于桌面的正六边形上，已知光线和正六边形的一边形成的锐角，则的大小为___________． 15. 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若．则___________． 16. 如图，四边形是菱形，对角线交于点，交于点，连接，若，，则的长为_______________． 17. 如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ____． 18. 如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 __． 19. 如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为___________． 20. 如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 三、解答题 21. 计算： （1）． （2）． 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 23. 在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（年—年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前年—公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式．它的表达为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积（公式里的为半周长即周长的一半）． 请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题： （）三边长分别为、、的三角形面积为__________． （）四边形中，，，，，，四边形的面积为__________． （）五边形中，，，，，，，五边形的面积为__________． 24. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （1）的长为 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 25. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 26. 【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 （1）如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 （2）如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 27. 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）． （1）当四边形是平行四边形时，求的值； （2）直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）当将矩形的面积分成两部分时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量监测初三数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，解题的关键是掌握被开方数非负．根据二次根式定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、不一定大于等于0，故不一定是二次根式，不符合题意； B、不一定大于等于0，故不一定是二次根式，不符合题意； C、由得到，故一定是二次根式，符合题意； D、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘的运算法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：∵ 和不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误，该选项不符合题意； B：∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C：∵， ∴C错误，该选项不符合题意； D：∵，计算正确， ∴D正确，该选项符合题意． 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形； B、，不可以构成直角三角形； C、，可以构成直角三角形； D、，可以构成直角三角形． 4. 我们知道“任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示”．如图，在矩形中，在数轴上．李老师以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，由作图知：，由此即可解决问题． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， 由作图知：， 由图知表示的数为， 又在的右边， ∴点表示的数为. 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 9. 如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】解：菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值， 当时，最小， 当时， 为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，根据，可判定⑥，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证， 而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴．故⑥正确． 综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥1． 【解析】 【详解】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1． 故答案为x≥1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 12. 如图，在矩形中，添加一个条件：______，可使四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，由正方形的判定方法直接求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键． 根据二次根式的性质即可得出，再根据负整数指数幂即可得出，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：7． 14. 在学习多边形时，小明用硬纸板做了一个正六边形的模型，如图，把它立在水平桌面上，让它的一条边和桌面完全贴合，一束太阳光线平行照射在放置于桌面的正六边形上，已知光线和正六边形的一边形成的锐角，则的大小为___________． 【答案】##16度 【解析】 【分析】根据正六边形得到每个内角为，每个外角为，则，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图： 由题意可得，正六边形的每个内角为，每个外角为， 则，， 由平行线的性质可得， 根据三角形外角的性质可得， ∴． 15. 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若．则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，由作图方法可得平分， 据此结合平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可得平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 16. 如图，四边形是菱形，对角线交于点，交于点，连接，若，，则的长为_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据菱形性质结合勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出最后结果． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：6． 17. 如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 由四边形是正方形，得，则，，，而，则，，所以可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时的最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 19. 如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 20. 如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 三、解答题 21. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第（1）小问可化为，再逐步化简即可； 第（2）小问可化为，再逐步化简即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 原式． ． ． 22. 阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． （1）参照（1）式化简______； （2）参照（2）式化简______； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 ． 23. 在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（年—年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前年—公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式．它的表达为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积（公式里的为半周长即周长的一半）． 请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题： （）三边长分别为、、的三角形面积为__________． （）四边形中，，，，，，四边形的面积为__________． （）五边形中，，，，，，，五边形的面积为__________． 【答案】（） （） （） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）连接AC，并示得AC的长度，再计算的面积，再得出四边形的面积； （3）将五边形分成三个三角形，再分别求出这三个三角形的面积，则求得五边形的面积． 【详解】（）， ． （）连接，如图． ∵． 在中 ∴ ． ∵． ∴． 在中， ． ∴． （）连接，，如图． ∵． 在中， ． ∴． ∴ ． 作于， ∵，， ∴ ∴． 在中， ． ∴． ∵, ∴， ∴ ． ∵AE=12，CE=10，AC=6， ∴， ． ∴． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了二次根式的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识,关键是理解材料提供的公式并能灵活应用，难点是通过作辅助线，把多边形面积计算问题转化为三角形面积计算问题． 24. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （1）的长为 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：点坐标为，点坐标为， 的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 25. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 26. 【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 （1）如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 （2）如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【小问1详解】 解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 27. 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为（秒）． （1）当四边形是平行四边形时，求的值； （2）直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）当将矩形的面积分成两部分时，求出的值． 【答案】（1）； （2）或或； （3）或． 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，，由题意知，当在上时，四边形是平行四边形，此时，然后求解即可； （）由是以为腰的等腰三角形，分，两种情况求解，当时，依题意得；当时，如图，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接 ，由，可知重合，则，如图，作于，则四边形是矩形，，进而可得，则； （）由将矩形的面积分成两部分，可知在或上，然后表示出分成的两部分面积，根据面积比求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得，， ∴， 当四边形是平行四边形时，点在上，此时， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴分，两种情况求解， 当时， 依题意得； 当时，如图，以为圆心长为半径画弧，交于，交于，连接 ， ∵， ∴重合， ∴； 如图，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴， 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形； 【小问3详解】 解：∵将矩形的面积分成两部分， ∴在或上， 当在上时，如图，则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，， 解得； 当时，即， 解得(不合题意，舍去)， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分， 当在上时，如图， 则， ∴，， ∵将矩形的面积分成两部分， ∴当时，即， 解得； 当时，即， 解得 (不合题意，舍去)， ∴当在上，时，将矩形的面积分成两部分； 综上所述，将矩形的面积分成两部分时，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解分式方程，等腰三角形的定义等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $