4.3探索三角形全等的条件第2课时课件2025-2026学年数学新教材北师大版七年级下册

第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 （第2课时） 学习目标 1. 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法. 2. 会运用“角边角”“角角边”判定方法进行简单的说理. 3. 经历探索三角形全等的条件的过程归纳获得数学结论的方法，体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程. 情景导入 如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等。 A B C D E F △ABC≌△DEF (SSS) 在△ABC 和△DEF 中， 因为AB = DE， AC = DF， BC = EF， 所以△ABC ≌ △DEF（SSS）。 几何语言: 【学习任务1】 学生活动1：利用“角边角”判定三角形全等 （师提问，生思考，1min） 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？ 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 α β c 【课本P101 按要求画图】 作法： A B D E C α β c 1.作∠DAF=∠α。 F 2.在射线AF上截取线段AB=c。 3.以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。 α β △ABC就是所要作的三角形。 你作的三角形与同伴作的一定全等吗? （生在书上作图，同桌之间相互对比，3min） 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。 新知探究 探究一：三角形全等的条件：“角边角”(“ASA”) 一定全等. 80° 例如,三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2cm. 60° 2 cm 你作的三角形与同伴作的一定全等吗？ 新知探究 三角形全等的条件:“角边角” 知识归纳 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”. 几何语言： A B C D E F ∵ 在△和△ 中， ∴ △ ≌△ （ASA）. 新课探究 探究三角形全等的条件——角边角 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况: 三个条件 ① 三边 ② 三角 ③ 两角一边 ④ 两边一角 SSS 不能 ? 如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢? ① 两角及夹边 A B C ② 两角和其中一角的对边 B A C 每种情况下得到的三角形都全等吗? 文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 几何语言： ∵在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）. A B C A′ B′ C′ “角边角”判定方法 （师总结板书，生记笔记，2min） 新知探究 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的. 新知探究 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 △ABC就是所要作的三角形。 1.作∠DAF=∠α。 2.在射线 AF上截取线段 AB=c。 3.以点B为顶点，以BA为一边作∠ABE=∠B，BE交AD于点C。 D A F B E C 作法思路：先作一角，截一边，在边同侧的另一端作另一角. 另一种作法是先作一边，再在边的两端同侧分别作角. 还有其他作法吗？ 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？ 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。 α β c 尝试思考 几何语言： 在△ABC和△DEF中， 因为∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E， 所以 △ABC≌△DEF（ASA）。 A B C D E F 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 小结 【学习任务2】 学生活动2：利用“角角边”判定三角形全等 （师问生思考，生思考后回答，2min） 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“尝试·思考” 中的条件吗？ A B C 如图所示，已知∠A，∠B以及AC。 因为三角形内角和为180°， 所以∠C的度数可求。 ∠A，∠B以及AC ∠A，∠C以及AC （ASA） （师总结板书，生记笔记，2min） 文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. ∵在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）. A B C A′ B′ C′ 几何语言： “角角边”判定方法 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢?你能将它转化为“尝试·思考”中的条件吗?与同伴进行交流. 新知探究 探究二：三角形全等的条件：“角角边”(“AAS”) 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等。 能将它转化为“尝试·思考”中的条件，根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角，这样就可以转化为已知两角及其夹边得到三角形全等了. 你能证明你的结论吗？ 新知探究 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ ∴△ABC≌△DEF（ASA ）. 解： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. ∴ ∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E, ∴ ∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F. ∵ 新知探究 三角形全等的条件:“角角边” 知识归纳 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 简写为“角角边”或“AAS”。 几何语言： A B C D E F ∵ 在△和△中， ∴ △ ≌△ （AAS）. 新知探究 说明三角形全等时寻找等角的方法： 知识归纳 (1)公共角相等、对顶角相等、直角相等； (2)等角加(减)等角,其和(差)相等； (3)同角(或等角)的余角(或补角)相等； (4)根据角平分线、平行线得角相等. 新课探究 探究三角形全等的条件——角角边 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢? A B C 如图所示，已知∠A，∠B以及AC。 因为三角形内角和为180°， 所以∠C的度数可求。 ∠A，∠B以及AC ∠A，∠C以及AC （ASA） 几何语言： 在△ABC和△DEF中， 因为∠B = ∠E，∠A = ∠D，AC = DF， 所以△ABC≌△DEF（AAS）。 A B C D E F 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。 【评价任务2】 （生独立思考，举手回答，1min） 1、如图，已知∠A =∠D，AB = CD，可得△ABO≌_______，理由是______。 A B C D O △DCO AAS （生独立思考，随机抽人回答，3min） 2. 已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1 =∠2. 试说明：AB = AD. A C D B 1 2 解：∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B =∠D = 90°. ∴ AB = AD. ∵在△ABC 和△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC（AAS）. 典例分析 如图所示，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1=∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由. 例1 解:AC=BD.理由: 因为AD,BC分别平分∠CAB,∠DBA, 所以∠CAB=2∠1,∠DBA=2∠2. 又因为∠1=∠2, 所以∠CAB=∠DBA. 在△ABC与△BAD中, 因为∠2=∠1,AB=BA,∠CAB=∠DBA, 所以△ABC≌△BAD(ASA), 所以AC=BD. 典例分析 如图所示,点C,F,E,B在同一条直线上,AF∥ED,CF=BE,请你在不作辅助线的情况下添加一个条件,使△ABF≌△DCE,并说明理由. 例2 解:答案不唯一,如添加∠A=∠D. 理由:因为AF∥ED, 所以∠AFB=∠DEC. 因为BE=CF, 所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在△ABF和△DCE中, 因为∠A=∠D,∠AFB=∠DEC,BF=CE, 所以△ABF≌△DCE(AAS). 课堂小结 （师引导生回答，2min） 角边角 角角边 内容 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”) 应用 为说明线段和角相等提供了新的依据 注意 注意“角边角”和“角角边”中两角与边的区别 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”) 感谢聆听! $