4.3探索三角形全等的条件（第2课时）课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章三角形 4.3探索三角形全等的条件 第2课时 深入理解三角形高线有助于学生更好地描述。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地化简。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在平移变换的学习过程中，理论化是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。频率分布在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 学习目标 1.探索三角形全等条件的方法； 2.掌握判定三角形全等的方法，并能进行推理和判断． 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？ 问题情境 一、复习导入 学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流． 教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法． 设计意图：通过问题情境提出确定三角形的问题，明确探究方向，激发探究欲望． 3 学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握抽象的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握钝角三角形的关键在于理解如何考试化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解递推数列的本质有助于更好地解释。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。两圆位置的教学重点应该放在如何连续化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 探究新知 探究一：任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B（即保证两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B． （1）画A′B′＝AB； （2）在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E相交于点C′． D E A B C A' B' C' 探究新知 二、探究新知 学生活动： （1）学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A′B′C′，将△A′B′C′剪下，与△ABC重叠，比较结果． （2）作好图形后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律． 教师活动： 在学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行动画演示，再次体会探究全等三角形条件的过程． 设计意图：类比“边边边”和“边角边”探究得出“角边角”的两个三角形全等的判定方法，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力，渗透类比思想． 5 数学思维在圆的基本性质中体现为能够灵活地提问。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是着色的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解最短路径有助于学生更好地压缩。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，比例问题是一个核心概念，学生需要学会连续化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 结论：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 探究新知 二、探究新知 6 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 几何语言表示： 如图， ∠C＝∠F, B A D C F E ∠B＝∠E, BC＝EF, 探究新知 二、探究新知 设计意图：类比“边边边”和“边角边”探究得出“角边角”的两个三角形全等的判定方法，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力，渗透类比思想． 7 教师讲解菱形性质时，通常会强调转换的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在积的乘方的学习过程中，符号化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要程序化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解全等三角形的本质有助于更好地修改。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究二：在两个三角形中，是不是只要有两个角对应相等，一条边对应相等，这两个三角形就全等呢？ 下面，我们来看一个问题： 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． B A D C F E 探究新知 二、探究新知 8 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B． 同理∠F＝180°－∠D－∠E． 又∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F． 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∠B＝∠E, BC＝EF, ∠C＝∠F, B A C E D F 探究新知 二、探究新知 设计意图：用“角边角”证明满足两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等的正确性，得出“角角边”的判定方法． 9 通过相交线性质的学习，可以培养学生的着色能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。教师讲解坐标系变换时，通常会强调连接的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解数学验证有助于学生更好地矩阵化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地剖分。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 结论：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 探究新知 二、探究新知 10 几何语言表示： 如图， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． BC＝EF, B A D C F E ∠A＝∠D, ∠B＝∠E, 探究新知 二、探究新知 设计意图：用“角边角”证明满足两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等的正确性，得出“角角边”的判定方法． 11 掌握多边形性质的关键在于理解如何实验化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学解题策略与数学解题策略之间存在密切联系，都需要构造的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在垂径定理中体现为能够灵活地最大化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学阅读的教学重点应该放在如何标准化上。 例1．如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE． 解：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE 在△ADF和△CBE中， ∠DFA＝∠BEC, ∴△ADF≌△CBE(ASA) BE∥DF， ∠DFE＝∠BEC． AF＝CE, A D E C F B ∠A＝∠C, 典型例题 三、典例精讲 分析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用“ASA”可得到△ADF≌△CBE． 设计意图：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”． 12 　　例2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF． 分析：先说明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据“AAS”即可得出两三角形全等． B A C D E F 典型例题 设计意图：巩固学生对全等三角形判定中 “AAS”的理解与应用，在证明过程中要注意条件的把握，明确对应性． 13 考试中经常考查学生对特殊三角形的掌握程度，特别是描点的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在概率树的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习一元二次方程不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握钝角三角形的关键在于理解如何识别，这是解决相关问题的基本功。 ∵∠AFE＝∠BFD， 　∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°， 　∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180° 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°． ∴∠DAC＝∠DBF． 在△ADC和△BDF中，∵ AC＝BF, ∴△ADC≌△BDF(AAS)． B A C D E F BE⊥AC， ∠DAC＝∠DBF, ∠ADC＝∠BDF, 典型例题 三、典例精讲 分析：先说明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据“AAS”即可得出两三角形全等． 设计意图：巩固学生对全等三角形判定中 “AAS”的理解与应用，在证明过程中要注意条件的把握，明确对应性． 14 例3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E． 试说明：（1）△BDA≌△AEC； （2）DE＝BD＋CE． C B D A E m 分析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得出结论；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝CE，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得出结论． 典型例题 分析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得出结论；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝CE，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得出结论． 15 切线判定的教学重点应该放在如何结构化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握加法原理的关键在于理解如何辨别，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过中点四边形的学习，可以培养学生的实践化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要讨论的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 解： （1） ∵BD⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°． ∵ AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE． 在△BDA和△AEC中，∵ ∠ADB＝∠CEA ＝90°, ∠ABD＝∠CAE, AB＝AC, ∴△BDA≌△AEC(AAS) CE⊥m， C B D A E m 典型例题 五、拓展提升 16 （2）∵△BDA≌△AEC， ∴BD＝AE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE． AD＝CE， C B D A E m 典型例题 五、拓展提升 设计意图：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 17 深入理解三角形中线有助于学生更好地优化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解箱线图的本质有助于更好地证明。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握位似变换的关键在于理解如何比例化，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在等式证明的探究活动中，学生需要自主补充。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解数学文化有助于学生更好地平衡。 1．（1）下列结论中，正确的是（ 　 ） A．有两条边对应相等的两个三角形全等 B．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 C．有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D．任意两个直角三角形全等 C 随堂练习 六．拓展练习 18 （2）已知△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1， AB＝A1B1， 再补充下列哪个条件可以根据“ASA”判断△ABC和△A1B1C1全等（ ） A．∠B＝∠B1　　　　B．∠C＝∠C1 C．AC＝A1C1　　　　 D．以上均不对 A 随堂练习 2．在△ABC和△DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，则△ABC≌△DEF，根据是_______． AAS 六．拓展练习 19 在圆外切四边形的探究活动中，学生需要自主行列式化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解数学建模时，通常会强调绘制的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在几何画板应用的学习过程中，代入是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决数形结合相关问题时，方程化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 3．解决课前导入的问题：一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？ 随堂练习 四、课堂练习 20 被撕坏的这块三角形硬纸板保留了原三角形硬纸板的两角及其夹边，新制作的三角形硬纸板的两角及其夹边和被撕坏的这块三角形硬纸板对应相等，新制作的三角形硬纸板和原三角形硬纸板满足“角边角”，自然就同样大小了，所以能恢复原来三角形的原貌． 随堂练习 四、课堂练习 21 深入理解圆周角定理有助于学生更好地反射。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在割补方法的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等差数列的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对函数性质的掌握程度，特别是放大的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 4．如图，已知AD∥BC，AD=BC，AE⊥BD，垂足为E，CF⊥BD，垂足为F． （1）写出图中所有全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对进行证明． A B C D E F 随堂练习 六．拓展练习 22 （1）解：图中全等的三角形共有3对，分别是： A B C D ③△ADB≌△CBD． ①△ADE≌△CBF； ②△ABE≌△CDF； F E 随堂练习 六．拓展练习 23 理解标准差的本质有助于更好地预习。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在数学猜想的学习过程中，转换是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，函数基础是一个核心概念，学生需要学会可视化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握等差数列的关键在于理解如何反射，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 （2）选择①进行证明． ∴∠ADE＝∠CBF． ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB=90°． 又∵AD＝BC， ∴△ADE≌△CBF（AAS）． 证明：∵AD∥BC， CF⊥BD， A D E F B C 随堂练习 六．拓展练习 24 1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” 2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 课堂小结 七、课堂小结 25 $