8.4.1 平面（第三课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4.1 平面（第三课时） 题型一——点、线共面问题 例 1 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 2 总结 证明点、线共面问题的常用方法： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 巩固练习 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 【证明】　方法一(纳入法)： ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 巩固练习 方法二(同一法)： ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 题型二——多线共点问题 例 2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q，P分别为AB，BC，CC1，C1D1的中点． (1)求证：M，N，P，Q四点共面；   页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型二——多线共点问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 题型二——多线共点问题 (2)求证：PQ，MN，DC三线共点． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 总结 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内． (2)证明三线共点或多线共点问题，一般方法是：先证两直线相交，再证交点在另外一条直线上，为了达到证出交点在直线上的目的，一般是令这条直线为某两个平面的交线，交点是这两个平面的公共点，由基本事实3即得结论． 巩固练习 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点． 【证明】　∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB与CD必交于一点， 设AB交CD于点M.则M∈AB，M∈CD， 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β， 又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点． 题型三——多点共线问题 例 3 如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是体对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1，M，A三点共线． 　 【思路】　连接AC，分别证明O1，M，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点即可． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 题型三——多点共线问题 【证明】　连接AC，∵在上底面中A1C1∩B1D1＝ O1，B1D1⊂平面B1D1A，A1C1⊂平面AA1C1C， ∴O1是平面B1D1A和平面AA1C1C的公共点． 又∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊂平面AA1C1C， ∴M是平面B1D1A和平面A1ACC1的公共点． ∵A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C， ∴A是平面B1D1A和平面A1ACC1的公共点． 所以O1，M，A都在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，即O1，M，A三点共线． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 总结 证明多点共线的问题，通常是从空间图形中找出某两个平面的交线，证明这些点均为两个平面的公共点即可． 巩固练习 如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，与直线AB交于点P. 求证：D，E，P三点共线． 【证明】　连接DE，则平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．   题型四——交线与截面 例 4 如图①②所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图①中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型四——交线与截面 【解析】　如图1所示，过点E作EN∥BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线． 如图2所示，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为有阴影的平面与平面ABCD的交线． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 总结 找平面交线的突破口： 基本事实3告诉我们，如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点． 巩固练习 如图，E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 【解析】　如图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M，连接MB，则BM为平面BED1F与平面ABCD的交线． 当堂检测 1．【多选题】下列结论中正确的是(　　) A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．若点A既在平面α内，又在平面β内，且α与β相交于b，则点A在b上 D．任意两条直线不能确定一个平面 √ √ √ 当堂检测 2. 如图所示，在四面体ABCD中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定(　　) A．在直线BD上 B．在直线AB上 C．在直线BC上 D．以上都不对 √ 解析　直线EF和GH相交，设交点为M. ∵EF⊂平面ABD，HG⊂平面CBD， ∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD. ∵平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴M∈BD，即EF与HG的交点在直线BD上．故选A. 当堂检测 3．如图，α∩β＝l，A∈β，B∈β，AB∩l＝D，C∈α，则平面ABC与平面α的交线是(　　) A．直线AC B．直线BC C．直线AB D．直线CD √ 解析　∵l⊂α，D∈l，∴D∈α.∵C∈α，∴CD⊂α.又CD⊂平面ABC，∴直线CD为平面ABC与平面α的交线． 当堂检测 4．两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　) A．相交　　　　　　　　　 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 √ 解析　若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交．若这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故选C. 当堂检测 5. 如图，在长方体AC1中，M，N分别是AD，AB的中点，求证：D1M，AA1，B1N三线共点． 用数学的眼光看世界 【证明】　如图所示，∵a∥b， ∴过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面． 【证明】　(1)连接BC1，NQ，MP，如图． ∵Q，N分别为CC1，BC的中点，∴NQ綉eq \f(1,2)BC1. ∵M，P分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，C1D1的中点， ∴PC1綉MB，∴四边形BC1PM为平行四边形． ∴BC1綉MP.∴NQ綉eq \f(1,2)MP. ∴M，N，P，Q四点共面． 【证明】　(2)由(1)知QN∥PM且QN≠PM， ∴PQ，MN必交于一点，设为E. ∵E∈PQ，PQ⊂平面DCC1D1，∴E∈平面DCC1D1. ∵E∈MN，MN⊂平面ABCD，∴E∈平面ABCD. 又∵平面ABCD∩平面DCC1D1＝CD， ∴E∈CD.即PQ，MN，DC三线共点． 证明　∵M为AD中点，∴MA綉eq \f(1,2)D1A1， ∴延长D1M，A1A可交于一点P. 由M为中点可知A为A1P中点，即A1A＝AP.① 同理，∵NA綉eq \f(1,2)A1B1，∴延长B1N，A1A可交于一点P1. 由N为中点可知A1A＝AP1.② 由①②可知P和P1重合．∴D1M，AA1，B1N三线共点． $