8.4.1 平面（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4.1 平面 第一课时 学习目标 1.正确理解平面的概念； 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用. 预学导读 阅读课本124-127页，思考并完成以下问题 1.平面的概念是什么？怎样表示一个平面？ 2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？ 3.平面有哪些基本事实？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 情景导入 生活中有哪些事物给我们以平面的形象？ 平静的海面 平整的纸张 教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面 类比直线，你能说出平面的一些几何特征吗？ 新知探究1——平面 平面的概念 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 平面的特征 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面在空间是无限延伸的. (2)无限延展性 (3)没有厚度 (1)平展性 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 小试牛刀 判断下列各题的说法正确与否： 1、一个平面长4米，宽2米； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是25cm2； ( ) 4、菱形的面积是4cm2； ( ) 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 新知探究——平面 平面的画法 a (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面： ß 当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的2倍。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 新知探究——平面 平面的表示 D C A B 平面AC或平面BD 平面 记作： 常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称． 平面ABCD 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 新知探究——平面的表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 两平面相交 表示 ABCD AC BD α β γ ①平行四边形的四个顶点：平面 ； ②对角顶点：平面 或平面 ； ③希腊字母：平面 ，平面 ，平面 看不见的用虚线或者不画 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 问题引领，深入思考 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ B C A 自行车支架 照相机支架 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 新知探究——平面的基本事实 基本事实1 文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． A C B 存在性 唯一性 确定平面的主要依据． 不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”． 作用？ 图形语言： 符号语言： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 新知探究——点、线、面的关系 集合的角度 直线上有无数个点，平面内有无数个点 直线、平面都可以看成点的集合 点看成是研究的对象，即为元素 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 新知探究——点与直线、平面的位置关系 A B 点A在平面 内， 记作 ． 记作 ． 点B在平面 外， 点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示． A l 点A在直线l上． 点A在直线l外． A l 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 新知探究——点与直线、平面的位置关系 A l A B l 直线l在平面 外． 直线l在平面 内． 平面 经过直线l． 平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 小试牛刀 元 素 点与直线 点与平面 直线与平面 直线与直线 平面与平面 直线a和直线b相交 平面α与平面β相交 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线l上 点B不在直线l上 点A在平面α内 点B在平面α外 直线a在平面α内 直线b,c在平面α外 问题引领，深入思考 如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？ A l A B l 直线l在平面 外． 直线l在平面 内． 平面 经过直线l． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 新知探究——平面的基本事实 基本事实2 文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． A B l 作用：判断直线是否在平面内． 判断点是否在一个平面内 符 号 语 言 图形语言： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 烧脑吧！ 我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征。而基本事实2反映了直线与平面的位置关系。我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”刻画平面的“平”用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”？ A C B 所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. 如图，由基本事实1，给定不共线三点A,B,C它们可以确定一个平面ABC； 连接AB,BC,CA,由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内， 进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内， 问题引领，深入思考 如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B 不止一个公共点。因为平面是无限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”课桌，可以想象，这两个平面相交于一条直线. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 问题引领，深入思考 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 问题引领，深入思考 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 21 新知探究——平面的基本事实 基本事实3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． l P 作用？ 图形语言 符号语言 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 22 两个相交平面的画法 在画两个平面相交时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些。   页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 23 新知探究——平面的基本事实的推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 A α B C 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论 作用：确定一个平面 上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 24 新知探究——平面的基本事实的推论 用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 25 小试牛刀 下列命题正确的是（ ） 经过三点确定一个平面 经过一条直线和一个点确定一个平面 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 四边形确定一个平面 解：A，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；D，空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C C 小试牛刀 下列叙述中，正确的是(     ) A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂ α B.若A∈α，B∈β，则α∩β=AB C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α，β重合 D.若A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β=AB AD 典例分析 例1 用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系． a l A B a l P b (1) (2) 典例分析 当堂检测 √ √ × × 当堂检测 D 当堂检测 B 当堂检测 课本练习 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）书桌面是平面． （ ） （2）平面α与平面β相交，它们有有限个公共点． （ ） （3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ） × × √ （1）× 平面是无限延展的； （3）√ 由基本事实1可知正确． （2）× 由基本事实2可知一定有无限个公共点； 课本练习 2．下列命题正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）一条直线和一个点确定一个平面 （C）圆心和圆上两点可确定一个平面 （D）梯形可确定一个平面 A 错误，因为三点可能共线，也可能不共线； C 错误，因为圆上两点可能是直径的端点，此时三点共线． B 错误，因为可能点在直线上，或不在直线上； D 课本练习 3．不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论． 不共面的四点可以确定4个平面． P A B C 课本练习 A B (1) M a a M (2) a (3) 课堂小结 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 基本事实2： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内． 基本事实2用符号表示为 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α． 基本事实3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线． 基本事实3用符号表示为 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l． 课堂小结 A 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 b b P P P 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 课堂小结 几何之务，不在知其然而在知其所以然； 不在知其所以然，而在何由以知其所以然. ——著名数学家、教育家傅仲孙 Lavf60.16.100 EVCapture4.1.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 例2如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 证明：　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点 P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α. 1．判断正误 (1)平面是处处平的面．(　　) (2)平面是无限延展的．(　　) (3)平面的形状是平行四边形．(　　) (4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　) 2．下列空间图形画法错误的是(　　) 　A　　　　B　　　　 C　　　　　D 3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　) A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α 4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上． 【证明】因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE. $