8.4.1 平面（第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4.1 平面(第二课时) 复习回顾 知识点1 平面的概念 几何中所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周_的. 知识点2 平面的表示 平面通常用希腊字母 , , 等表示,如平面 、平面 、平面 等,也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如平面ABCD、平面AC或者平面BD,还可以用平面内不共线的三点的字母表示,如平面ABC. 无限延展 复习回顾 知识点3 平面的基本性质 (1)基本事实1 过_的三个点,有且只有一个平面. 符号表示:A,B,C三点不共线 有且只有一个平面 ,使A∈ ,B∈ ,C∈ . 不在一条直线上 复习回顾 (2)基本事实2 如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 符号表示:A∈l,B∈l,且A∈ ,B∈ l⊂ . 两个点 复习回顾 (3)基本事实3 如果两个不重合的平面有_公共点,那么它们有且只有一条过该点的_. 符号表示:P∈ ,且P∈ ∩ =l,且P∈l. 一个 公共直线 复习回顾 知识点4 三个基本事实的推论 推论1:经过一条直线和_一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条_,有且只有一个平面. 推论3:经过两条_,有且只有一个平面. 这条直线外 相交直线 平行直线 问题引领,深入思考 1.几何中的“平面”有边界吗?用什么图形表示平面? 答:没有边界;常用平行四边形表示平面. 问题引领,深入思考 2.如何画两个相交平面? 答:(1)画表示两平面的两个平行四边形相交的两条边,如图①. (2)画两平面的交线,如图②. (3)过两条边的端点分别作与交线平行且相等的线段,如图③. (4)连线,遮住的线用虚线表示,如图④. 问题引领,深入思考 3.一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 答:因为平面是无限延展的,所以一个平面把空间分成两部分.而两个平面相交时,把空间分成四部分,平行时,把空间分成三部分. 4.“线段AB在平面 内,直线AB不全在平面 内”这一说法是否正确?为什么? 答:不正确.∵线段AB在平面 内,∴线段AB上的所有点都在平面 内,∴线段AB上的A,B两点一定在平面 内,∴直线AB在平面 内. 问题引领,深入思考 5.三个基本事实各有什么作用? 答:(1)基本事实1是确定平面的依据. (2)基本事实2是判断直线在平面内的依据. (3)基本事实3的作用:①判定两个平面相交;②作两个平面的交线; ③证明点共线或线共点. 问题引领,深入思考 6.如何用三种语言描述点、直线、平面之间的基本位置关系? 问题引领,深入思考 题型一——平面的概念及画法 √ 例 1 (1)给出下列结论: ①长为a,宽为b的矩形是面积为ab的一个平面; ②黑板面可以认为是平面的一部分; ③因为平展在桌面上的纸面是平面的一部分,且由于300页的书比100页的书厚,所以300个平面重叠起来,比100个平面重叠起来厚; ④平面是平滑的,无厚度的,可以无限延展的,只描述而不定义的数学概念. 其中正确的结论共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 13 题型一——平面的概念及画法 【解析】 平面有两个特征:一是“平”,二是“无限延展”.而作为平面的一部分,只需“平”即可;由平面的“无限延展性”知平面没有面积、大小、厚薄之分.故①③错误,②④正确. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 14 题型一——平面的概念及画法 (2)下列图形中,不正确的是( ) √ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 15 总结 (1)平面与平面图形是有本质差异的两个几何概念,一般地,前者是抽象的,是一个虽看不见、摸不着但可以想到的概念;而后者是一个与现实生活非常接近的数学概念,平面是最基本的几何概念,对它只加以描述而不定义. (2)平面的画法:①水平平面:通常把锐角画成45 ,横边等于邻边的两倍.②非水平平面:画成平行四边形.③直立的平面:一组对边为铅垂线. (3)画空间几何体的直观图时,被遮住的部分画成虚线. 巩固练习 (1)判断下列说法是否正确.并说明理由. ①平行四边形是一个平面; ②任何一个平面图形都是一个平面; ③在空间图形中,原图中的线都要画成实线,后补画的线都画成虚线; ④用平行四边形表示的平面,以四条边为边界. 巩固练习 【解析】 ①不正确.平面是无限延展的,而平行四边形是有限的,它只是平面的一部分. ②不正确.平面图形和平面是完全不同的概念.平面图形有的(如角)也可以无限延展,但不可能向四周无限延展. ③不正确.空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线(无论原先有的还是后来画的辅助线). ④不正确.平面是没有边界的. 巩固练习 (2)平面 可以表示成如图所示的形式吗? 【解析】 不能,用 表示平面时,不能加角标记. 题型二——三种语言的转换 例 2 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面 , , 相交于一点P,且平面 与平面 交于PA,平面 与平面 交于PB,平面 与平面 交于PC; 【解析】 (1)符号语言表示: ∩ ∩ =P, ∩ =PA, ∩ =PB, ∩ =PC.图形表示如图. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 20 题型二——三种语言的转换 (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC; 【解析】 (2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC. 图形表示如图. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 21 题型二——三种语言的转换 (3)直线a和b相交于平面 内一点M. 【解析】 (3)符号语言表示:a∩b=M,M∈ . 图形表示如图①②③. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 22 总结 (1)用符号语言描述位置关系时,“∈,⊂,∩”等符号虽然来源于集合符号,但在读法上却用几何语言.例如,A∈ 读作“点A在平面 内”;a⊂ 读作“直线a在平面 内”; ∩ =l读作“平面 , 相交于直线l”. (2)在“A∈ ,l⊂ ”中,A视为平面 (集合)内的点(元素),直线l(集合)视为平面 (集合)内的直线(子集). (3)几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致,但个别地方与集合符号略有差异.例如,不用a∩b={A}来表示直线a,b相交于点A,而是简记为a∩b=A,这里的A既可以理解为一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合. 巩固练习 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)平面 与 相交于直线l,直线a与 , 分别相交于点A,B; 【解析】 (1)用符号表示: ∩ =l,a∩ =A,a∩ =B,如图. 巩固练习 (2)点A,B在平面 内,直线a与平面 交于点C,点C不在直线AB上. 【解析】 (2)用符号表示:A∈ ,B∈ ,a∩ =C,C∉AB,如图. 题型三——平面的确定 例 3 空间四点可以确定几个平面?并画出图形. 【解析】 空间四点的位置关系有三种情况:四点共线,仅三点共线,任意三点不共线. (1)当四点共线时,这四点不能确定平面,如图①. (2)当四点中只有三点共线时,可以确定一个平面,如图②. (3)当四点中任意三点均不共线时,确定一个或四个平面,如图③④. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸;PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意: 1. 课名:微软雅黑48号字; 2.(第一课时):微软雅黑32号字; 3.学校名称:请填写全称; 4.学科、年级、主讲人、学校:华文楷体28号字(具体根据文字量可适当调整)。 英文 1.课名:字体以Times New Roman为主,字号一般使用32—36号,特别强调可以用40号; 2.(Period 1):字体使用Arial,字号为28; 3.正文一般用24—28号,特别强调可用32号。 注意标点的规范(例如:中文省略号为……,可用Shift+数字键6打出中文省略号,英文省略号为…) 26 总结 确定平面的根据是基本事实1及3个推论.要准确理解基本事实1及3个推论的内容. 巩固练习 (1)3条直线相交于一点,能确定_个平面;3条直线相交于三点,能确定_个平面. 1或3 1 【解析】 巩固练习 (2)空间有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定的平面个数最多是_. 7 【解析】 平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PAD,平面PAC,平面PBD,平面ABCD. 当堂检测 1.下列命题正确的是( ) A.一条直线和一点确定一个平面 B.两条相交直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.三条平行直线确定一个平面 √ 当堂检测 2.若一直线a在平面 内,则正确的作图是( ) √ 当堂检测 3.【多选题】下列命题中正确的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.梯形可以确定一个平面 C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合 √ √ 当堂检测 4.已知 ∩ =l,A∈l,B∉l,B∈ ,C∉l,C∈ ,则平面ABC∩ =_,平面ABC∩ =_,平面ABC∩l=_. AB AC A 当堂检测 5.完成下面两个相交平面的作图,图1,2,3,4,5,6中的线段AB分别是两个平面的交线. 当堂检测 解析 由两个相交平面的画法,本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可,如图所示. 用数学的眼光看世界 答: 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在 内 A∈ A在 外 A∉ l在 内 l⊂ l在 外 l⊄ 或 l,m相交于A l∩m=A l, 相交于A l∩ =A , 相交于l ∩ =l $