2025-2026学年湘教版八年级数学下册期末提升卷

2025-2026学年湘教版八年级数学下册期末提升卷 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 5 8 3 关于这若干户家庭的该月用水量的数据分析，下列说法正确的是（    ） A．众数是8 B．中位数为 C．平均数 D．平均数 2．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 5．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 6．如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且，，等边的顶点分别在线段上，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 8．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 9．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 12．已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 14．如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    15．如图，在菱形中，顶点到，的距离分别为，且都为，，那么菱形的边长为__________． 16．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求的值； (2)如果轴，且，求的值． 18．我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． (2)根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 19．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． (1)本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； (3)若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 20．（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 22．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 23．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湘教版八年级数学下册期末提升卷 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 5 8 3 关于这若干户家庭的该月用水量的数据分析，下列说法正确的是（    ） A．众数是8 B．中位数为 C．平均数 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查了求众数、中位数、平均数． 根据众数、中位数、平均数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由统计表可知，这组数据的众数是5，中位数是，平均数 只有D正确， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及点的位置确定、象限角平分线条件、象限判断及点到坐标轴的距离等概念，需逐一分析各说法的正确性． 【详解】解：① 距点A处20米的所有点构成一个以A为圆心，20米为半径的圆，仅距离不能确定具体位置，故 ①正确； ② 若，则，点A的坐标为，满足，在第二、四象限角平分线上，不一定在第一、三象限角平分线上，故②错误； ③ 点A在第一象限，则且，即且，点中，，所以点B在第二象限，故③正确； ④ 点A在第四象限，则且，点A到x轴的距离为，而，但与不一定相等，故④错误． 综上，正确说法有①和③，一共2个． 故选：C． 3．如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出内角 的度数及边 ，由等边三角形的性质得出 及 ，从而证得 是等腰三角形并求出顶角 的度数，最后利用三角形内角和定理及等边对等角求解即可． 【详解】解： 五边形是正五边形， ，． 是等边三角形， ，． ，． ． 4．甲、乙两车同时从A地出发前往B地，A，B两地相距，它们离出发地的距离与时间之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，下列结论中错误的是（    ） A．乙车先到达B地 B．甲、乙两车相遇时，乙车的速度是 C．当时，乙车比甲车慢 D．两车行驶了相遇 【答案】D 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：A、由图可知，乙车到达B地，甲车到达B地，则乙车先到达B地，故结论正确，不符合题意； B、两车相遇时乙车的速度为，故结论正确，不符合题意； C、由图象可知，当时，乙车的函数图象在甲车的下方，则乙车比甲车慢，故结论正确，不符合题意； D、由图象可知，甲车的速度为，当两车相遇时可得，解得，则两车行驶了相遇，故结论错误，符合题意． 5．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 6．如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且，，等边的顶点分别在线段上，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理．根据等边三角形的性质得出，结合已知条件证明是直角三角形，求出的长，再过点作轴的垂线，利用含度角的直角三角形性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是等边三角形，点在线段上， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴点的坐标为． 7．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 8．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 【答案】D 【详解】方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；方案丙，证，得，，则，证出，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，为的中点， ，， ，， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确． 9．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 10．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据全等，为中点，可得，，，，可求得直线的解析式为，直线的解析式为，从而解得，所以． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： ， ，，， 为中点， ， ，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入解析式得, ∴直线解析式为， 解方程组得， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形，一次函数以及勾股定理．建立平面直角坐标系，求出直线、解析式是解出本题的关键． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为_________． 【答案】16 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），熟练掌握以上知识点是关键． 计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据：， 均值为， 离差平方和为； 第二组数据：， 均值为， 离差平方和为； 组内离差平方和为． 故答案为：． 12．已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的增减性分两种情况讨论：一次函数的增减性由的符号决定，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．结合和的取值范围，将对应端点值代入函数解析式，通过解方程组求出和的值，即可得到函数表达式． 【详解】解：当时，一次函数，随的增大而增大； ∵自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是， ∴当时，；当时，， 得， 解得， ∴此时一次函数的表达式为． 当时，一次函数，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 得，解得， ∴此时一次函数的表达式为． 综上，该一次函数的表达式为或． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法，求出的长即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点C，P在直线上运动， ∴直线即为直线， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 过点作，交于点， ∵， ∴， ∴； 即的最小值为． 14．如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，    ∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为， ∴是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，取最小值， ∵当点与点重合时，取最大值， ∴当点与点重合时，取最大值，取最小值， 设则， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 15．如图，在菱形中，顶点到，的距离分别为，且都为，，那么菱形的边长为__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，通过全等三角形得出线段的垂直平分线，然后通过等面积，勾股定理以及完全平方公式等求出，假设，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵，且， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴，， 由勾股定理得，， 由等面积得， 即， 解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴假设， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴菱形的边长为． 16．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求的值； (2)如果轴，且，求的值． 【答案】(1) ， (2) ， 或 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0求解m，n； （2）根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等得到n的值，再根据的长度得到横坐标差的绝对值为6，求解m即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得； ∵点在x轴上， ∴， 解得． （2）解：∵轴， ∴点P和点Q的纵坐标相等，即， 解得； ∵， ∴两点横坐标差的绝对值等于6，即， 化简得，即， ∴或， 解得或． 18．我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． (2)根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 【答案】(1)12，8 (2) 【分析】（1）根据表格可得弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加，由此计算即可得出结果； （2）由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数，设，利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得：弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加， 当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是； （2）解：由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数， 设， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式为． 19．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． (1)本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； (3)若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 【答案】(1)5，图见解析 (2)30， (3)400 【分析】（1）根据组的实际数据和占比求出总数，求出组数据补全条形统计图； （2）根据条形统计图数据求出组的百分比，利用乘组的占比即可求出圆心角度数； （3）根据样本频数估计总体频数即可． 【详解】（1）解：学生总数为：（名）， B组人数为（名）， 补全条形统计图如下： （2）解：， ∴； D对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：该校不合格的学生人数为（名）． 20．（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了中心对称图形、轴对称图形，作垂直平分线以及垂直平分线的性质； （1）①直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； ②直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． （2）作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质，即可得出 【详解】（1）①解：画出下列其中一种即可 ②解：画出下列其中一种即可 （2）如图所示，点即为所求 21．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换得出，结合平行四边形的判定即可证明； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ∵E是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴． 22．我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，由推出相等的对角只能是和，先得出，再利用四边形内角和为，减去、、的度数，即可求出的度数； （2）由根据等边对等角得，结合已知，通过等式性质两边同时减去相等的角，推出，最后根据等角对等边即可证明； （3）根据“等对角四边形”的定义分两种情况讨论，第一种是，第二种是，两种情况均通过过点作和的垂线，构造直角三角形和矩形，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理分别计算出两种情况下对角线的长，最后综合即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当时， 过点作于点，作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中， ， ∴， 解得，即 ∴， 在中，； ②如图，当时，， 过点作于点，作于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， ∴， 在中，； 综上，对角线的长为或． 【点睛】本题的核心是紧扣“等对角四边形”的定义，关键是准确识别相等的对角组合，易错点是第三问极易遗漏其中一种相等对角的情况导致漏解，两种情况均通过作双高构造直角三角形和矩形，结合直角三角形性质与勾股定理完成计算． 23．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠性质，得出对角线互相垂直且平分，先判定是菱形；再结合已知对角线相等，用对角线相等的菱形是正方形判定即可． （2）利用折叠得，结合正方形直角，用同角的余角相等推出一组等角；再利用正方形边长相等、直角相等，证，由全等对应边相等得． （3）由正方形边长、，用勾股定理求出；借助第二问全等，得、；用面积法求出高；利用中点定义，得、长度，算出；在中勾股求；由，在中，再用勾股定理求出． 【详解】（1）解：沿折叠，点B与点D重合， ∴垂直平分，即，． 沿折叠，点A与点C重合， ∴垂直平分，即，． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）已知四边形是正方形， ∴，． ∵沿折叠，点A落在上的F处， ∴， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中： ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在中，，， 由勾股定理得： 由， 得．， ∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； ∴ ∴ ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中 ， ∴． 24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 (2)该商店共有5种进货方案 (3)①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【分析】（1）设种商品进价为元，根据用固定金额购进两种商品数量相同列分式方程求解 （2）设购进种商品件，根据资金限制和数量关系列一元一次不等式组，通过整数解的个数得到进货方案数． （3）先推导总利润关于的一次函数，根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得， ∵为正整数 ∴， ∴共5种不同的进货方案； （3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得： 的实际售价为，每件的利润为； 的售价为，每件的利润为． 则 整理得： ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $