求概率九题型归纳讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六讲 高中数学九大求概率题型归纳总结 题型一 用频率估计概率 例1：（1）（2024·北京·高考真题·节选）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 .假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. 估计一份保单索赔次数不少于2的概率； 【解析】设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. 求从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； 【解析】记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，则估计. 题型二 古典概型求概率 例2：（1）（2024·天津·高考真题·节选）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______. 【解析】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； （2）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. （3）（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 题型三 二项分布求概率 例3：（1）（24-25高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． 【解析】每包食盐的质量不低于的概率为，抽取了四包食盐， 则四包食盐质量不低于的包数服从二项分布， 所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为． 故选：A （2）（2025·河南焦作·二模·节选）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； 【解析】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 题型四 超几何分布求概率 例4：（1）（25-26高二下·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【解析】总文创产品数：，总选法：， 符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ， 所以概率：． （2）（26-27高二下·重庆·期中）已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【解析】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为， 由得，， 化简得，解得或； 又该产品的次品率不超过，； 应取. 题型五 正态分布求概率 例5：（1）（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． 【解析】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称， 因此：， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. （2）（23-24高三上·全国·月考）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________． 参考数据：若，则，，． 【解析】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 又， ， 所以， 所以， 即. 所以抽到“可用产品”的概率为. 故答案为：0.84. 题型六 求条件概率 例6：（1）（2024·天津·高考真题·节选）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【解析】解法一：列举法 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 乙选了活动，他再选择活动的概率为 （2）（25-26高二下·吉林·期中）从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 【解析】设选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数为事件，这两个数为一奇一偶为事件， 则，， 则在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为：. 题型七 全概率公式求概率 例7：（1）（25-26高二下·广东东莞·期中）某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【解析】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . （2）（25-26高二下·福建莆田·期中）甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 【解析】记事件飞碟被甲击中，事件飞碟被乙击中，则，， 记事件飞碟被人击中，事件飞碟被击落，则，， 其中， ， 由全概率公式可得. 题型八 贝叶斯公式求概率 例8：（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【解析】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 题型八 概率性质求概率 例8：（1）（25-26高二上·四川成都·月考）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【解析】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： （2）（25-26高二上·山东聊城·期中）已知事件与事件相互独立，，则__________. 【解析】因为事件与事件相互独立，且， 所以， 故答案为： （3）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则__________. 【解析】因为， 所以， 故答案为：. （4）（24-25高二下·湖北荆门·期末）设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 【解析】由题知，，，， ∴， ∴． 故答案为：. （5）（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 ______________. 【解析】由可得，故, 故答案为：, （6）（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则______． 【解析】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 课后练习 1.（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 2.（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【解析】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 3．（24-25高二下·吉林·期中）某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 【解析】根据超几何分布的概率公式，本题中， 将数值代入可得： . 故答案为：. 4.（25-26高二下·浙江·期中）随机变量，且，则__________． 【解析】因为随机变量，且， 所以， 所以， 故答案为：0.3 5．（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 【解析】由题意可知 ，故合格率约为95.45%. 6．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 【解析】依题意可得，， 所以. 7．（2026·甘肃陇南·三模）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 【解析】第一次取到0个新球的概率为， 第一次取到1个新球的概率为， 第一次取到2个新球的概率为， 所以第二次所取出的球都是新球的概率 ； 8．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【解析】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则______.______. 【解析】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 10．（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则______． 【解析】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 11．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 高中数学九大求概率题型归纳总结 题型一 用频率估计概率 例1：（1）（2024·北京·高考真题·节选）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 .假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. 估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. 求从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； 题型二 古典概型求概率 例2：（1）（2024·天津·高考真题·节选）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______. （2）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． （3）（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 题型三 二项分布求概率 例3：（1）（24-25高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为（    ）． A． B． C． D． （2）（2025·河南焦作·二模·节选）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； 题型四 超几何分布求概率 例4：（1）（25-26高二下·浙江台州·期中）为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（   ） A． B． C． D． （2）（26-27高二下·重庆·期中）已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 题型五 正态分布求概率 例5：（1）（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． （2）（23-24高三上·全国·月考）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________． 参考数据：若，则，，． 题型六 求条件概率 例6：（1）（2024·天津·高考真题·节选）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． （2）（25-26高二下·吉林·期中）从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 题型七 全概率公式求概率 例7：（1）（25-26高二下·广东东莞·期中）某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ （2）（25-26高二下·福建莆田·期中）甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 题型八 贝叶斯公式求概率 例8：（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 题型八 概率性质求概率 例8：（1）（25-26高二上·四川成都·月考）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． （2）（25-26高二上·山东聊城·期中）已知事件与事件相互独立，，则__________. （3）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则__________. （4）（24-25高二下·湖北荆门·期末）设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． （5）（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 ______________. （6）（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则______． 课后练习 1.（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 3．（24-25高二下·吉林·期中）某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 4.（25-26高二下·浙江·期中）随机变量，且，则__________． 5．（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 6．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 7．（2026·甘肃陇南·三模）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 8．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 9．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则______.______. 10．（24-25高三上·江西吉安·期末）若，，，则______． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $